二次型和標準型

1、關于二次型與標準型第1頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四引言：在解析幾何中，為了便于研究二次曲線把方程化為標準形的幾何性質，可以選擇適當?shù)淖鴺诵D變換 第2頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四上式的左邊是一個二次齊次多項式。從代數(shù)學的觀點看，化標準形的過程就是通過變量的線性變換化簡一個二次齊次多項式，使它只含有平方項這樣一個問題，在許多理論問題或實際問題中常會遇到。現(xiàn)在我們把這類問題一般化，討論n個變量的二次齊次多項式的化簡問題第3頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四定義1 含有n個變量 稱為二次型。 的二次齊次函數(shù)例如二元及三元二

2、次型（舉例）第4頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換 使二次型只含平方項，也就是代入能使之成為這種只含平方項的二次型，稱為二次型的標準形 (或法式)。第5頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四如果標準形的系數(shù)只在1，-1,0三個數(shù)中取值，也就是代入 能使之成為則稱上式為二次型的規(guī)范形。我們利用矩陣來解決這一問題第6頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四一。二次型與可逆線性變換的矩陣表示例1.將下列二次型表示成矩陣乘積的形式：解：先寫成對稱形式第7頁，共30頁，2022年，5月20日，18

3、點2分，星期四第8頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四利用內積寫成：第9頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四令：則：第10頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四矩陣是對稱矩陣，它是由二次型的系數(shù)來決定的，我們稱該二次型的矩陣，而二次型稱該矩陣的二次型，他們之間是一一對應的。矩陣A的秩稱對應二次型的秩，寫出了二次型的矩，就容易將二次型表示成矩陣乘積的形式。第11頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四將矩陣與二次型的系數(shù)比較，不難發(fā)現(xiàn)：1）對角元對應相應平方項的系數(shù)，2）非對角元對應相應交叉項系數(shù)的一半（另一半為其對稱元素

4、）我們將矩陣與未知數(shù)的系數(shù)列成下表：其中表中數(shù)字表對應變量乘積之系數(shù)第12頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四例2.寫出下列二次型對應的矩陣，并將二次型表示成矩陣乘積的形式：解:其矩陣分別為：第13頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四對應二次型分別寫為：下面將可逆線性變換第14頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四利用將線性方程組表示成矩陣的方法（變量X與線性方程組中的常數(shù)項對應）可將可逆線性變換用矩陣表示如下：其中C為線性變換對應的矩陣，X,Y為變量對應的向量表示用矩陣乘積表示第15頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星

5、期四二。將二次型化成標準型：。定義5.7 設n階矩陣A，若有可逆矩陣C使1.將可逆線性變換：代入二次型：得：則稱矩陣A與矩陣B合同第16頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四顯然，若A為對稱陣，則也為對稱陣，且R(A)=R(B)故B為對稱陣。又因也可逆，由矩陣秩的性質即知。由此可知，經(jīng)可逆線性變換后，二次型f的矩陣由A變成與A合同的矩陣。且二次型的秩不變。事實上因C可逆，故第17頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四矩陣等價，相似，合同是矩陣的三大關系，總結一下，各自的背景，判定條件，之間的關系，應用。矩陣合同關系是等價關系，故滿足：自反，對稱，傳遞2.用l

6、agrang配方法把二次型化標準型，第18頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四上一節(jié)我們講了用正交變換化二次型為標準形，這個問題稱主軸問題。由于正交變換有保持圖形不變的性質，因此在研究幾何圖形中被廣泛應用但在很多場合下我們只需要用一般可逆線性變換把二次型化標準形。下面我們介紹用Logrange配方法把二次型化成標準形。所用線性變換為可逆線性變換。第19頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四一、Logrange配方法的步驟起頭，首先集中所有含的項進行配方，剩下部分再不含起頭，則再集中所有含，情形1，如果二次型中含有平方項。不妨設以不妨設以的項的項進行配方。以

7、此類推，直至全部配成平方為止第20頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四情形2，如果二次型中不含有平方項。不妨設含則變換后即含有平方項，再按情形1進行配方即可。將以上每次新老變量的線性變換連乘，即得新變量組到終變量組間的可逆線性變量。的項，令注：通過以下例題可看到用Logrange配方法把二次型化成標準形。的步驟與過程，其一般性證明是類似的，留待讀者第21頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四例5.6.1 用配方法化下列二次型為標準形，設解 ，故可先將含的各項集中并進行配平方f中含有變量平方項，例如第22頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期

8、四 令可逆線性變換第23頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四即使得顯然如令上式又可化成規(guī)范型第24頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四例5.6.2 用配方法把下面二次型化為標準形解：因為f中不含有變量平方項，所以先做一個簡單的可逆線性變換使新二次型出現(xiàn)平方項。為此設即第25頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四代入原二次型得用例5.6.1配方步驟得第26頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四令可逆線性變換代入上式，得由上面，式，得可逆線性變換即 第27頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四一般非正交變換的可逆線性變換不再保持圖形形狀不變，但仍保持許多好的特性。首先保持秩不變，因此當二次型用可逆線性變換化標準形時，其非零平方項的個數(shù)或獨立變量個數(shù)）是不變的。不僅如此，還有如下結論定理5.9（慣性定理）設秩為r的的實二次型，經(jīng)可逆線性變換化標準形時，正平方項的個數(shù)第28頁，共30頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四請總結一下，用Logrange配方法把二次型化成標準形的步驟，并比較用正交變換化標準型各有什么特征，及不同。我們學過矩陣的初等變換，能否通過矩陣的初等變換將對稱矩陣化