北京版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專(zhuān)題11.1隨機(jī)事件與古典概型（講解練）教學(xué)講練

1、專(zhuān)題十一概率與統(tǒng)計(jì)11.1隨機(jī)事件與古典概型數(shù)學(xué) 北京專(zhuān)用考點(diǎn)一事件與概率考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.事件的分類(lèi)確定事件必然事件一般地,我們把在條件S下,一定會(huì)發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的必然事件不可能事件在條件S下,一定不會(huì)發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的不可能事件隨機(jī)事件在條件S下,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件fn(A)=為事件A出現(xiàn)的頻率.(2)概率:對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,如果隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增加,事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上,則把這個(gè)常數(shù)記作P(A),稱(chēng)為事件A的概率.3.事件的關(guān)系與運(yùn)算(1)包含關(guān)系:一般地,對(duì)于事件A與事件B,如果事件A發(fā)生,則事件B一定

2、發(fā)生,這時(shí)稱(chēng)事件B包含事件A(或稱(chēng)事件A包含于事件B),記作BA(或AB).(2)相等關(guān)系:一般地,若BA且AB,則事件A與事件B相等,記作A=B.(3)幾種運(yùn)算的比較2.頻率與概率(1)頻數(shù)與頻率:在相同條件S下進(jìn)行n次試驗(yàn),觀察某一事件A是否出現(xiàn),則稱(chēng)在n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù);事件A出現(xiàn)的比例 內(nèi)容解讀表示并事件(和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A或事件B發(fā)生,則稱(chēng)該事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)AB(或A+B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生,則稱(chēng)該事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)AB(或AB)互斥事件若AB為不可能事

3、件,則稱(chēng)事件A與事件B互斥AB=對(duì)立事件若AB為不可能事件,而AB為必然事件,那么事件A與事件B互為對(duì)立事件AB=且AB=U(U為全集)4.概率的基本性質(zhì)(1)任何事件的概率都在01之間,即0P(A)1.必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0.(2)當(dāng)事件A與事件B互斥時(shí),P(AB)=P(A)+P(B).(3)對(duì)立事件的概率之和為1,即若事件A與事件B對(duì)立,則P(A)+P(B)=1.考向等可能事件的概率考向突破例1(2019首師大附中一模,7)某校校慶期間,大會(huì)秘書(shū)團(tuán)計(jì)劃從包括甲、乙兩人在內(nèi)的七名教師中隨機(jī)選擇4名參加志愿者服務(wù)工作,根據(jù)工作特點(diǎn)要求甲、乙兩人中至少有1人參加,則甲、乙都被選

4、中且列隊(duì)服務(wù)時(shí)不相鄰的概率為()A.B.C.D. 解析從包括甲、乙兩人在內(nèi)的七名教師中隨機(jī)選擇4名參加志愿者服務(wù)工作,根據(jù)工作特點(diǎn)要求甲、乙兩人中至少有1人參加,且列隊(duì)服務(wù),基本事件總數(shù)n=(+)=720,甲、乙都被選中且列隊(duì)服務(wù)時(shí)不相鄰包含的基本事件個(gè)數(shù)m=120,故甲、乙都被選中且列隊(duì)服務(wù)時(shí)不相鄰的概率P=.答案C評(píng)析本題考查概率的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用.考點(diǎn)二古典概型考向基礎(chǔ)1.古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)(1)有限性:試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè).(2)等可能性:每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.2.古典概型的概率公式(1)在基本事件總數(shù)為n

5、的古典概型中,每個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是相等的,即每個(gè)基本事件的概率都是.(2)對(duì)于古典概型,隨機(jī)事件A的概率為P(A)=.考向突破考向古典概型概率的求解例2(2016課標(biāo)文,3,5分)為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中,余下的2種花種在另一個(gè)花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A.B.C.D. 解析從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種有以下選法:(紅,黃)、(紅,白)、(紅,紫)、(黃,白)、(黃,紫)、(白,紫),共6種,其中紅色和紫色的花不在同一花壇(亦即黃色和白色的花不在同一花壇)的選法有4種,所以所求事件的概率P=,故選C.答案C方法1隨

6、機(jī)事件的頻率與概率的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略1.補(bǔ)全或列出頻率分布表.可直接依據(jù)已知條件,逐一計(jì)數(shù),寫(xiě)出頻率.2.由頻率估計(jì)概率.可以根據(jù)頻率與概率的關(guān)系,由頻率直接估計(jì)概率.3.由頻率估計(jì)某部分的數(shù)值.可由頻率估計(jì)概率,再由概率估算某部分的數(shù)值.方法技巧例1(2015陜西,19,12分)設(shè)某校新、老校區(qū)之間開(kāi)車(chē)單程所需時(shí)間為T(mén),T只與道路暢通狀況有關(guān),對(duì)其容量為100的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下:(1)求T的分布列與數(shù)學(xué)期望ET;(2)劉教授駕車(chē)從老校區(qū)出發(fā),前往新校區(qū)作一個(gè)50分鐘的講座,結(jié)束后立即返回老校區(qū),求劉教授從離開(kāi)老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過(guò)120分鐘的概率.T(分鐘)25303540

7、頻數(shù)(次)20304010解析(1)由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得T的頻率分布為以頻率估計(jì)概率得T的分布列為從而ET=250.2+300.3+350.4+400.1=32(分鐘).(2)設(shè)T1、T2分別表示往、返所需時(shí)間,T1、T2的取值相互獨(dú)立,且與T的分布列相同.設(shè)事件A表示“劉教授共用時(shí)間不超過(guò)120分鐘”,由于講座時(shí)間為50分鐘,所以事件A對(duì)應(yīng)于“劉教授在路途中的時(shí)間不超過(guò)70分鐘”.解法一:P(A)=P(T1+T270)=P(T1=25,T245)+P(T1=30,T240)+P(T1=35,T2T(分鐘)25303540頻率0.20.30.40.1T25303540P0.20.30.40.135)

8、+P(T1=40,T230)=0.21+0.31+0.40.9+0.10.5=0.91.解法二:P()=P(T1+T270)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.40.1+0.10.4+0.10.1=0.09.故P(A)=1-P()=0.91.方法2古典概型的求解方法1.事件A的概率的計(jì)算,關(guān)鍵是分清基本事件總數(shù)n與事件A中所含的基本事件數(shù)nA.因此,必須解決好下面三個(gè)方面的問(wèn)題:(1)本試驗(yàn)是不是等可能的;(2)本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè);(3)事件A是什么,它包含多少個(gè)基本事件.2.用列舉法把古典概型試驗(yàn)的基本事件一一列舉出來(lái),然后求

9、出n、nA,再利用公式P(A)=求出事件A的概率,這是一個(gè)形象、直觀的好方法,但列舉時(shí)必須按某一順序做到不重復(fù)、不遺漏.也可用排列、組合求基本事件數(shù).3.求復(fù)雜事件的概率問(wèn)題,關(guān)鍵是理解題目的實(shí)際含義,必要時(shí)將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥事件的和,或者是先去求對(duì)立事件的概率,進(jìn)而再用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蟪鏊笫录母怕?4.含有“至多”“至少”等詞語(yǔ)的概率問(wèn)題,從正面突破比較困難或者比較煩瑣時(shí),可考慮其反面,即其對(duì)立事件,然后應(yīng)用對(duì)立事件的性質(zhì)P(A)=1-P()進(jìn)一步求解.5.求古典概型概率的基本步驟: 例2(2016江蘇,7,5分)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次,則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是.解析先后拋擲2次骰子,所有可能出現(xiàn)的情況可用數(shù)對(duì)表示為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(5,1),(5,2),(5,3),(