泛函分析第四章習(xí)題第一部分(1-18)

1、實變函數(shù)與泛函分析第四章習(xí)題 1-18第四章習(xí)題第一部分(1-18)1. 在 中令 x, ) = x ) x, ) = |x y| , 是否為 上的距離？1211212解 顯然 , 滿足距離空間定義中的非負(fù)性和對稱性但 不滿足三角不等式：取點x = 1, = 0, z= 1，則121 x, ) = 4 2 = x, ) + , ，所以 不是 上的距離。11111而x, , 1， x, ) =| x y | | x z | | z y | | x z | | z y | 2 | x z | z y |2= x, ) + , ； ( | x z | | z y |) | x z | | z y |

2、222所以 是1 上的距離22. 設(shè)X, x, ) =x, XX, 也是距離空(x, y)1n1間證明 顯然 滿足距離空間定義中的非負(fù)性和對稱性，1故只需證明 滿足三角不等式即可1實際上x, , X， (x, y) (x, y) (x, z) (z, y)nn1 (x, z) (z, y) M (x, y, z,n) n n n( (x, z) (z, y)nn (x, z) (z, y) (x, z) (z, y)nn113. 設(shè)X, 是距離空間，證明|x, ) , ) | x, ，x, , X；|x, ) , w) | x, ) +, w，x, , , wX證明 x, , , wX，由三角

3、不等式有x, ) x, ) , ) x, ，故第一個不等式成立由第一個不等式可直接推出第二個不等式：|x, ) , w) | |x, ) , ) | + |, z) , w) | x, ) +, w4. 用 Cauchy不等式證明(| |+ | |+ . + | |) n(| | + | | + . + | | 222211n11n證明 在 P159 中的 Cauchy 不等式中令 a = | ，b = 1，i= 1, 2, ., n 即可iii5. 用圖形表示 Ca, b上的 Sx , 0注 我不明白此題意義，建議不做6. 設(shè)X, d是距離空間，AXint(A表示 A int(A)是開集證明

4、 若 A = ，則 int(A) =，結(jié)論顯然成立若 A ，則xA，r 0 使得 Sx, ) A對Sx, ，令 s= r dx, ，則 s 0，并且 S, ) Sx, ) A；所以 A故 Sx, ) A，從而 int(A是開集7. 設(shè)X, dAXA 證明：A 是開集當(dāng)且僅當(dāng) A 是開球的并證明 若 A 是開球的并，由于開球是開集，所以 A 是開集1實變函數(shù)與泛函分析第四章習(xí)題 1-18若 A 是開集，xA，存在 x) ，使得 Sx, x)A顯然 A = Sx, xxA8. 舉例說明對于一般的距離空間 XxXr 0S(x,r) S(x,r)例 設(shè) X = a, b，定義 d :X X 為 da,

5、 a) =db, b) = ，da, b) = 則X, d是距離空間當(dāng) r= 1 時，不論 x 為 a 還是 b，總有S(x,r) x X S(x,r)9. 設(shè)X, d是距離空間，證明：，A B A BA,B XABA B證明 由于，故A B A BA AB B由于 和 都是閉集，所以B也是閉集，所以 A B A BAA B另一方面，由A, B A B這樣就證明了第一個等式，得，所以；A B A BA, B A B由得，所以。A B A BA B A,BA B A, B10. 證明：距離空間中的閉集必為可列個開集的交，開集必為可列個閉集的并證明 由開集與閉集的關(guān)系，實際上我們只需證明第一部分即

6、可設(shè)X, d是距離空間，AX，A 是閉集若 A =則結(jié)論顯然成立，下面設(shè) A n，定義 A = Sx, n，則 A 是開集，且 A 因此A A nxAnnnn若 xA，則由于 A 是閉集，N，使得 Sx, NA =；即 xA ，所以 x A 這樣就證明了 A = A 因此距離空間中的閉集必為可列個開集的交Nnnnn11. 設(shè)X, d是距離空間，是基本列，且有收斂子列證明x x xx xnnnk證明由于子列x 時 0Nm,n Nd (x , x ) nmn2，存在自然數(shù) ，當(dāng)K時，且x xk Kn Nd (x , x) knn2kk) 2當(dāng)時，因，故，從而n Nn Nd (x , xd (x,

7、x) d(x , x) K 1nnn2nK 1K 112. 設(shè)在非空集合 X 上定義了兩種距離 和 ，且存在正數(shù) 和 ，使得對任意ddab1的 x, yX 總有 a d x, ) dx, ) b d x, X, d和X, d )中，基本列與收斂點列是共同的并舉出這種空間的例子111證明 設(shè)x 是X, d中的基本列，則n對 0，N，當(dāng) m, n N 時 dx ,x ) amn此時有 d x ,x ) dx ,x a a a =，所以x 也是X, d 中的基本列相反方向的證明是類似的關(guān)于收斂點列的證明與關(guān)于基本列的證明類似1 mnmnn1一個簡單的例子就是在至少兩個點的距離空間X, d中定義新的距

8、離 d ，1使得 d = 2d113. 設(shè) X 是正整數(shù)集合，令 dx, ) = |x y，證明X, d是完備距離空間2實變函數(shù)與泛函分析第四章習(xí)題 1-18證明 首先從距離定義看，X, d實際上是 的子空間，當(dāng)然是距離空間1因1 是完備的，而 X 又是1 中閉集，所以X, d是完備距離空間14. 設(shè) X 是正整數(shù)集合，令 dx, ) = | 1/x y，證明X, d不是完備距離空間證明 首先直接驗證可知X, d是距離空間n，設(shè) x = n則x 是X, d中的基本列nn若x 收斂于xX，則 dx ,x) 0，即| x x | 0 當(dāng) n 時nnn由此推出 x = 0，而這是不可能的所以基本列x

9、 不收斂，因此X, d不是完備距離空間n15. 證明：離散距離空間X, d是完備距離空間證明 設(shè)是X, d中的基本列，x n則存在自然數(shù) ，當(dāng)時m,n Nd(x , x ) 1Nmn，所以應(yīng)有由離散距離空間定義知，；d(x , x ) 0m為常序列，因此x xnm必為收斂列n即從項開始N 1x x nn所以X, d是完備距離空間。16. 證明：c是可分的完備距離空間證明 首先證明 c是完備距離空間設(shè)是基本列，存在自然數(shù) ，當(dāng)N時x 0m,n Nd(x , x ) nmn記n可見對，則|i，數(shù)列，（i 1） x () (n)(n)(m )ii是 中的基本列，1i 1| n R(n)i，并記因此設(shè)

10、(n)n x ( )iii顯然當(dāng)時，有|(n)則i 1 有|(N 1)n Ni 1 n N 1 ii(N 1) 是收斂列，存在ii由于使得當(dāng)時，m,n Mx ()M NN 1i| (N 1)(N 1)n此時m| | | | | | 3(N 1)(N 1)(N 1)(N 1)nmnnn是 中的基本列，所以mmm故x ( )Rx c1i由前面可見，存在自然數(shù) ，當(dāng)N時i 1 有|(n)， 0 n Nii是收斂的故有(n)，即，所以基本列sup | d(x , x) x iinni1下面證明 c是可分的在 c中，令A(yù) x ( ) | N i N有 iiiN則 A 顯然為可數(shù)集，且 A 在 c中稠密，所以 c是可分的17. 證明：s是可分的完備距離空間證明 首先證明 s是完備距離空間設(shè)是基本列，存在自然數(shù) ，當(dāng)N時d(x , x ) x 0m,n Nnmn記，容易看出，數(shù)列是1中的基本列，x ()i 1| n R(n)(n)nii因此設(shè)，并記x ( ) (n)n iii3實變函數(shù)與泛函分析第四章習(xí)題 1-181| |1| |(n)(m )M(n)(m )注意令，故對任意自然數(shù) M iiii2 1 | |2 1 | |i(n)(m )i(n)(m )i1i1iiii1| |M(n)得到，對任意自然數(shù) Mm ii2 1 |i即基本列 |i(n