連續(xù)計(jì)息問題

1、實(shí)驗(yàn)二連續(xù)計(jì)息問題【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?加深對(duì)極限、微分求導(dǎo)、極值等基本概念的理解。.討論了微分學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用問題。.掌握MATLA歆件中有關(guān)極限、級(jí)數(shù)、導(dǎo)數(shù)等命令?！緦?shí)驗(yàn)內(nèi)容】若銀行一年活期年利率為 r ,那么儲(chǔ)戶存10萬元的人民幣，一年到期后結(jié)算額為10 x(1+ r)萬元。如果銀行允許儲(chǔ)戶在一年內(nèi)可任意次結(jié)算，在不計(jì)利息稅的情況下，若每三月結(jié)算一次，由于復(fù)利，儲(chǔ)戶存的10萬元一年后可得10X (1+r/4 )4萬元，顯然這比一年結(jié)算一次要多，因?yàn)槎啻谓Y(jié)算增加了復(fù)利。結(jié)算越頻繁，獲利越大?，F(xiàn)在我們已進(jìn)入電子商務(wù)時(shí)代，允許儲(chǔ)戶隨時(shí)存款或取款，如果一個(gè)儲(chǔ)戶連續(xù)不斷存款取款，結(jié)算本息的頻率趨于無窮大，每

2、次結(jié)算后將本息全部存入銀行，這意味著銀行要不斷地向儲(chǔ)戶支付利息，稱為連續(xù)復(fù)利問題。連續(xù)復(fù)利會(huì)造成總結(jié)算額無限增大嗎隨著結(jié)算次數(shù)的無限增加，一年后該儲(chǔ)戶是否會(huì)成為百萬富翁如果活期存款年利率為 那么一年、三年、十年定期存款的年利率就定為多少才是等 價(jià)的【實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備】.極限和連續(xù)極限是高等數(shù)學(xué)最基本的概念，它帶來了很多深刻的結(jié)果。數(shù)列極限：如果對(duì) 0,存在正整數(shù) N ,使得當(dāng)n N時(shí)有I Xn a 1V則稱a為數(shù)列Xn的極限，或稱Xn收斂于a o記為lim Xn = a ,或 Xn- a( 2)n直觀上表示：n趨于無窮大時(shí)，xn無限接近a。函數(shù)極限：如果當(dāng)x-xo時(shí)，有f(x) 一 A,則稱A為函數(shù)f

3、 (x)當(dāng)x-xo時(shí)時(shí)的極限。 記為lim f (x) = A(3)x xo若僅當(dāng)x x0且x x0,(或x v x0)時(shí)有f (x) 一 A ,則稱A為f (x)當(dāng)x - x0時(shí)的右極 限(或左極限)，記為 f(x0 0)(或 f(x 0)。當(dāng) f(x0 0) = f(x 0)時(shí)，f(x)的 極限存在且等于這個(gè)值。連續(xù)：若f(x0 0)=f(x)(f(x 0) = f(x),則f(x)在x0處右連續(xù)(或左連續(xù))。 若f(x)在x0處右連續(xù)且左連續(xù)國(guó)，則稱f (x)在x0處連續(xù)。若f (x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱 f (x)在開區(qū)間(a, b)連續(xù)。進(jìn)一步，若f(x)還在a處右

4、連續(xù)而且 在b處左連續(xù)，則稱f (x)在閉區(qū)間a, b連續(xù)。定理1連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必然能達(dá)到最大值和最小值，且可取得最大值和最小值間的任意值。.微分與導(dǎo)數(shù)設(shè)x與y是相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)變量，用函數(shù)表示為y = f (x)。對(duì)于x的一個(gè)無限小的增量x = x - x0 (稱為差分)，引起y的一個(gè)無限小的增量y = f(x) f (x0),若 TOC o 1-5 h z y = A x + o( x)(4)其中A是不依賴于 x的常數(shù)，而o( x)是x的高階無窮小量(即 o( x)/ x-0),那么 稱f (x)在x0可微，并記為dy = A dx(5)其中dx, dy分別稱為x和y的微分。函數(shù)f (x)

5、在點(diǎn)x = x0的導(dǎo)數(shù)定義為f(x0 h) f(x0)f (x0) = lim - (6)h 0 h它反映了在x0點(diǎn)附近函數(shù)f(x)的變化率。當(dāng)f (x0)0,函數(shù)在x0點(diǎn)附近是上升的，反 之f (x0) 0,(或 f (X0)0且足夠小，由(6)式的右極限得f儀)由(6)式的左極限得f儀)f儀)由(6)式的左極限得f儀)分別稱為向前差商和向后差商。式平均得f (x0)hf(x) f(x h)h事實(shí)上，對(duì)于連續(xù)函數(shù)，兩式正好求得右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù)，兩f(x h)f(x h)2h稱為中心差商，用中心差商求得的導(dǎo)數(shù)精度較高。Taylor公式是微分學(xué)中一個(gè)非常重要的結(jié)論，當(dāng) f (x)在含有x0某個(gè)開區(qū)

6、間內(nèi)具有直到n + 1階的導(dǎo)數(shù)，那么當(dāng)x ( a , b )有 TOC o 1-5 h z f (xn)2f (x) = f (x。)+ f (x) (x x) + (x x0) +2(x),、n J(n1)( ),.n1H(x x0) +- (x x0)(8)n!(n 1)!其中 是x0與x之間的某個(gè)值。Taylor公式表明，一個(gè)可微性很好的函數(shù)可局部地用多項(xiàng) 式函數(shù)近似地代替。特別地，當(dāng)n = 0可得到 微分中值定理f (x) f 區(qū))=f ( ) (x x)(9)它表明在x0與x之間存在一點(diǎn)，使得f ()恰為f(x)從x0到x的平均變化率，但中值定理不能給出的確定位置。當(dāng)x離x0不遠(yuǎn)，且

7、f (x)在x0附近連續(xù)，有f (x) = f (x0)+ f (x) (x x)(10)它表明任意光滑函數(shù)可局部線性化，常用于非線性函數(shù)的近似分析和計(jì)算。.求極限、導(dǎo)數(shù)和 MATLA瑜令求函數(shù)的極限，使用命令limitlimit( F , x , a )返回符號(hào)表達(dá)式 F當(dāng)x-a時(shí)的極限；.limit( F , x , a ,right)返回符號(hào)表達(dá)式 F當(dāng)x-a時(shí)的右極限；limit( F , x , a, left)返回符號(hào)表達(dá)式 F當(dāng)x一 a時(shí)的左極限。求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和Taylor展開式，可使用命令 diff、polyder和TaylorY = diff( X )返回向量X的差分；Y =

8、 diff( X , n )返回向量 X的n階差分；diff( S , v)返回符號(hào)表達(dá)式 S對(duì)變量v的導(dǎo)數(shù)；diff( S , v , n )返回符號(hào)表達(dá)式 S對(duì)變量v的n階導(dǎo)數(shù)；k = polyder( p )返回多項(xiàng)式 p的導(dǎo)數(shù)；k = polyder( a , b )返回多項(xiàng)式 ax b的導(dǎo)數(shù)；r = taylor( f , n , v , a )返回符號(hào)表達(dá)式 f關(guān)于變量v在a點(diǎn)處Taylor展開到n次式；有關(guān)上述命令的詳細(xì)用法可查閱MATLA即助。例1,導(dǎo)函數(shù)的值能反映函數(shù)的變化。當(dāng)當(dāng) f (xo) 0,函數(shù)在xo點(diǎn)附近是上升的，反 之f (xo) syms x;%定義x syms

9、 x; fun=x*x*cos(xA2+3*x-4); fun=x*x*cos(xA2+3*x-4);流義函數(shù)的表達(dá)式 fplot(fun,-2,2)%繪函數(shù)fun在區(qū)間2, 2內(nèi)的圖象 grid grid%添加網(wǎng)格h -15h -15-1 Q5 00.511.5圖 函數(shù)f(X)= x2 cos(x23x4)在2, 2內(nèi)的圖象在圖中可以明顯看到 f (x)在和附近各有一個(gè)局部極小值點(diǎn)，在 1附近有一個(gè)局部極大%求函數(shù)%求函數(shù)fun的導(dǎo)函數(shù) dfun=diff(fun)dfun = 2*x*cos(xA2+3*x-4)-xA2*sin(xA2+3*x-4)*(2*x+3) dfun=char(d

10、fun);%1 各 fun 轉(zhuǎn)換成字符串 hold on%在圖里繼續(xù)繪圖，圖 1中fun的圖形不變 fplot(dfun,-2 2,r)%在圖里用紅色線繪制導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間 2, 2的圖形圖函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)函數(shù)化情況： 化情況： hold off fplot(dfun, ,r)通過圖可以直觀地看到f(x)與f (x)的關(guān)系，進(jìn)一步我們考慮區(qū)間,內(nèi)函數(shù)的變%重新在另一個(gè)圖形窗口繪圖膾制f (x)在區(qū)間,內(nèi)的圖形 grid圖區(qū)間,內(nèi)極值點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)從圖可以明顯地看到，在一和0附近f (x)還有兩個(gè)零點(diǎn)，從 f (x)的變化趨勢(shì)知道前從圖可以明顯地看到，在一和者為f (x)的極小值點(diǎn)，后者為 f (x)的極

11、大值點(diǎn)?！緦?shí)驗(yàn)方法與步驟】1.引例問題的分析求解一般地，設(shè)儲(chǔ)戶結(jié)算結(jié)算頻率為n ,年利率為r ,第k次結(jié)算本息的結(jié)算額為ak,那么可以得到下列差分方程一 r、ak = (1 一 )ak1, a0 = 100000 n對(duì)上述差分方程化簡(jiǎn)，得-r、nan = 100000(1 一) n隨著結(jié)算次數(shù)的無限增加，即在上式中n 隨著結(jié)算次數(shù)的無限增加，即在上式中n 一 ，故一年后本息共計(jì):._ r nlim 100000(1 -) nn在MATLA瑜令窗口輸入下述命令： syms n a=limit(100000*(1+n)An,n,inf)a =+005可見，隨著結(jié)算次數(shù)的無限增加，一年后本息總和將穩(wěn)

12、定于+005元，儲(chǔ)戶并不能通過該方式成為百萬富翁，實(shí)際上，年利率為r , syms n r a=limit(100000*(1+r/n)An,n,inf)a =100000*exp(r)一年結(jié)算無限次，總結(jié)算額有一個(gè)上限，即100000*exp(r)元，它表明在n 一 時(shí)，結(jié)果將穩(wěn)定于這個(gè)值。我們把連續(xù)活期存款利率作為連續(xù)復(fù)利率，r0 = %設(shè)一年定期白年利率為r ,那么應(yīng)有1 + r = er0從而有r = er0 - 1 = %同理，三年定期的年利率為r = ( e3r0 -1) /3 =%相應(yīng)，十年定期的年利率為r = ( e10r 1) /10 =%一般情況下，銀行的定期利率要更高，以鼓勵(lì)長(zhǎng)期定期存款?！揪毩?xí)與思考】.本世紀(jì)初，瘟疫還常常在某些地區(qū)流行?，F(xiàn)假設(shè)有這樣一種