最值模型阿氏圓

1、最值模型阿氏圓“胡不歸”問題中，“kPA+PB嚎值問題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說的“阿氏圓”問題.所謂邛可氏圓”，是指由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯提出的圓的概念。在平面內(nèi)，到兩個(gè)定 距離之比等于定值（不為1）的點(diǎn)的集合叫做圓。|如下圖：已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA： PB=k （蜉1），則滿足條件的所有的點(diǎn)P構(gòu)成的圖形為圓.這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”圖形為圓.例題1：如圖，在RtAABC中，匕C=90，AC=4, BC=3，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓C，分別交AC、BC于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則1 PA PB的最小值為.2

2、法一：構(gòu)造相似三角形圓C半徑為2, CA=4,連接CP，構(gòu)造包含線段AP的CPA，在CA邊上取點(diǎn)M使得CM=2,連接 PM，可得CPAACMP，故 PA： PM=2:1,即 PM= -PA2問題轉(zhuǎn)化為PM+PB最小值，直接連BM即可.【問題剖析】因?yàn)閳AC半徑為2, CA=4，比值是1:2,所以構(gòu)造的是-PA2法二：阿氏圓模型P點(diǎn)軌跡圓的圓心C點(diǎn)和A點(diǎn)在直線AC上，故所求M點(diǎn)在AC邊上，考慮到PM：PA=1:2,不妨讓P點(diǎn)與D點(diǎn)重合，此時(shí)DM=1 DA =1，即可確定M點(diǎn)位置22 例題2：如圖1所示，圖O的半徑為R，點(diǎn)A、B都在圖O外，P為圖O上一動(dòng)點(diǎn)，已知R= 52解決辦法:如圖2,在線段OB

3、上截取OC使OC= 5 R，aBPODPCO則有| PB=PC“PA+5 PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小。問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”最小值，直接連AC即可?！炯记煽偨Y(jié)】計(jì)算PA + k PB的最小值時(shí)，利用兩邊成比例且夾角相等構(gòu)造母子型相似三角形問題：在圓上找一點(diǎn)P使得PA + kPB的值最小，解決步驟具體如下:如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)與圓心相連即OP，OB、OP ,計(jì)算出這兩條線段的長(zhǎng)度比 =kOBO ,PC 、在OB上取一點(diǎn)C，使得=k，即構(gòu)造IPOM11BOP，則 =k，PC = k PBO

4、PPB4.則PA + k PB =PA + PC AC，當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)可得最小值。5.問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”最小值，直接連AC即可。例題3如圖，已知正方ABCD的邊長(zhǎng)為4,圓B的半徑為2,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD - PC的最大值為2【解析】 當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC邊上時(shí)，此時(shí)PC=2，根據(jù)題意要求構(gòu)造-PC，在BC上取M使得此時(shí)2PM= 1，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻，均有PM=1 PC，從而將問題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值.2連接PD，對(duì)于PDM，PD-PMDM，故當(dāng)D、M、P共線時(shí)，PD-PM=DM為最大值.問題轉(zhuǎn)化連接PD故當(dāng)D、M、P共線時(shí)DM為最大值跟蹤練習(xí):1.如圖，四邊形

5、展CQ為邊長(zhǎng)為4的正方形，*的半徑為2, P是上一動(dòng)點(diǎn)，則PD+PC的最小值為2.如圖，四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為4的正方形，UB的半徑為2，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，則 形PD+4PC 的最小值為3.如圖，半圓的半徑為1, AB為直徑，AC. BD為切線，AC=1, BD=2, P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，PC+PDPC+PD的最小值為(1)如圖1,在口ABC中，AB=AC, BD是AC邊上的中線，請(qǐng)用尺規(guī)作圖做出AB邊上 的中線CE,并證明BD=CE：如圖2已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)PA = 3求PC-PD的最小值；如圖3，在矩形ABCD中，AB=18, BC=25，點(diǎn)M是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，MA

6、 = 15，當(dāng) MC皂MD最小時(shí)，畫出點(diǎn)M的位置，并求出MC皂MD的最小值.圖1圖2g|3如圖，RtDABC, ACB=90, AC=BC=2,以 C 為頂點(diǎn)的正方形 CDEF (C、D、E、F 四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列)可以繞點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且CD=丑，連接AF, BD求證：UBDC口口AFC；J2當(dāng)正方形CDEF有頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)，直接寫出BDAD的值；J2直接寫出正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過程中，BDAD的最小值.如圖1,拋物線y=axi+ (a+3) x+3 (岸0)與x軸交于點(diǎn)A (4, 0),與y軸交于點(diǎn)瓦在 x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E (m, 0) (0m4)，過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)M

7、交拋物 線于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PMUAB于點(diǎn)M.(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；(2)設(shè)U(2)設(shè)UP的周長(zhǎng)為q, AEN的周長(zhǎng)為C2,=g，求m的值;5如圖2,在(2)條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE,旋轉(zhuǎn)角為a (0a90），連接 EA、EB,求 EA的最小值.V*7.如圖，拋物線y=-x2+bx+c與直線AB交于A (-4,-4), B (0, 4)兩點(diǎn)，直線AC： y=-1 x-6交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFx軸交AC于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn)G.求拋物線y= - x2+bx+c的表達(dá)式；連接GB, EO,當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；在y軸