二次型與二次曲面

1、 X一1一11XI一A=一1X1一1=(X-1(X+3)一11X一11一1一1X所以A的特征值為九=1C重根)久=-3。12=1時(shí)，由C/A)x=0，求得三個(gè)線性無關(guān)的特征向量a=6,1,0,0,a=6,0,1,0,a=(1,0,0,1123用施密特正交化方法求得三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量為：(112丫，,0，O(112丫，,0，O6小護(hù)丿T一,0,0，yM2T2丿(1一111丫(1一111丫(2222丿久=3時(shí)，求得一個(gè)單位特征向量為y-24取正交矩陣：11一11一1尹屈、12111v6J12102,/12300P=12121212則P%P=diag(1,1,1,-3)“作正交變換x=Py,得Q(a)

2、=xtAx=yrPrAPy=yrdiag(1,1,1,一3)y=y2+y2+y2一3y21234配方法：(適用于任意二次型)例：用配方法將二次型qG)=x2+2x2+5x2+2xx+2xx+8qG)123121323化為標(biāo)準(zhǔn)形。3(y)1y:2l打丿rx)1x:lx丿3)23(y)1y:2l打丿rx)1x:lx丿3)2-(x+x)223TOC o 1-5 h z112323+2x2+5x2+8xx2323(x+x+x)2+x2+4x2+6xx1232323(x+x+x)2+(x+3x)2-5x21232廠yx+x+x HYPERLINK l bookmark92 o Current Docum

3、ent i23yx+3x23yx33xy-y+2y123xy-3y23xyri1iri1irx1013x2l001丿lx3丿ri-12)01-3yl001丿ly=Pyi23丿作可逆線性替換x=Py,得Q(a)=xtAxyTPTAPyy2+y2一5y232r1iri2-i-1-3l2r1-3-1-5人例：用配方法將二次型Q)解：令rx)1x2IX丿3-y)+4(y2x=y+y112x=y-y即212x=y33則Q(a)=2(y+y)(y12121二2y2-2y2+4yy+4yy121323二2(y+y1-22-2yy+y2二2(J+y31310)-100仏+y2)y3ry)1y2丿223-y3r

4、r1rr0ri0-2(y2rry1)r1rry2Iy3丿二2z?-2z為所求的標(biāo)準(zhǔn)形。rr1rr1ri0rr1rr1ri0z=y+y113z=yy223z=y33則qG)rx)r1x=r2Ix丿3rz)r1rz2人Z3丿11-1020)0Jiy30-21y1)1y二2丿)rz)1-10所作的坐標(biāo)變換為rz)r1rzr2丿匕3丿0)r1010-1)10r1rzr2丿1Z3丿定理：任意一個(gè)二次型都可以通過可逆線性替換化成標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的初等變換法定理：對(duì)每個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣A,存在初等矩陣P1，P2，P使得PtPtPtAPPP=diag(d,d，,d)s2112s12n方法：先將二次型的對(duì)應(yīng)矩陣A寫出，然后

5、將單位矩陣寫在A的下面，構(gòu)成一個(gè))xn階矩陣，當(dāng)列進(jìn)行初等變換后，對(duì)行向量也進(jìn)行相同的初等變換，則當(dāng)A變成對(duì)角陣時(shí)，I就成了所作的變換矩陣。例：用初等變換法將下列二次型Qa丿=x2+2x2+5x2+2xx+2xx+8xx123121323化為標(biāo)準(zhǔn)形r111r100、r100、124113013JT-fra145(2)-(1)134034解：Ti丿100(3)-(1)1-1-11-1-1010010010001丿001丿001丿r1001r1001010010(3)-3(2)03-500-5T1-12T1-1201-301-3001J1001J廠1-12、令P=01-3,當(dāng)作坐標(biāo)變換x=Py后，

6、得到001丿QG)=y：+y25y;即為標(biāo)準(zhǔn)形。例：用初等變換法將下列二次型Q（a）=xt廠o21、211J11丿化為標(biāo)準(zhǔn)形。解：（o21、（2o1、121、2111212o1111（2）/）111111T1ooo1oo1oo1o1oo1oo0o1j0o1j0o1j（A丿廠o121ooGoo丿例：用初等變換法將下列二次型Q（a）=xt化為標(biāo)準(zhǔn)形。解：（o12、112、212、1oo1001002oo（2）+G200200TT1oo100100o1o1101100o1j001j001j（A丿慣性定理和二次型的規(guī)范形設(shè)Q6)為復(fù)二次型，它的秩為八其標(biāo)準(zhǔn)形為dy2+dy2+dy21122rr其中dg

7、C,d豐0,i=12r，令iiyiyii=yiyii=1,2,r=z,i=r+1,n,i=z2+z2+12規(guī)范形定理：任意一個(gè)復(fù)系數(shù)二次型總可以經(jīng)過一個(gè)適當(dāng)?shù)目赡婢€性替換化為規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的。定義：稱形如z2+z2+z2一z2一12pp1r的二次型為實(shí)二次型的規(guī)范形。稱p為二次型的正慣性指數(shù),r-p為負(fù)慣性指數(shù)，正、負(fù)慣性指數(shù)的差p-(r-p)=2p-r叫符合差。定理(慣性定理)任意一個(gè)實(shí)系數(shù)的二次型，總可以經(jīng)過一個(gè)適當(dāng)?shù)目赡婢€性替換，化成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的，即正、負(fù)慣性指數(shù)由二次型唯一確定。證明：只證p的唯一性。設(shè)QG)為實(shí)二次型。QG)x=Pgp2P+2z-2z-一(1丄TO

8、C o 1-5 h z12pp1rQ(a)x=T1p2p*+2u2u(212qp1r假設(shè)p主q,不妨設(shè)p()方程組有非零解，設(shè)為x0=沖),x20),xn0豐0，則,znz=P-1x=(0,0,znu=T-ixu=T-ix=(u,u,0,0f豐0001q分別代入和，有Q(x0)J0和Q(x)0,矛盾.推論對(duì)任意的實(shí)對(duì)稱矩陣4,存在可逆矩陣Q使得QtA3d(ag-I,p-rp注：可逆矩陣Q不唯一，但pr由A唯一確定。注：兩個(gè)實(shí)對(duì)稱陣4,B合同當(dāng)且僅當(dāng)有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)。實(shí)二次型的正定性定義：如果對(duì)于任意非零向量x=(x1,x2，x)t，恒有12nQ(x,x,x)=xtAx012n則稱實(shí)二次型

9、xtAx為正定二次型；稱矩陣A為正定矩陣。例1二次型Q(叫，x，x)=x2+x2+x2是正定二次TOC o 1-5 h z12n12n型；但二次型Q(X,X，x)=x2+x2+X2(rVn)不是12n12r正定二次型(單位矩陣是正定矩陣)。例2設(shè)A,B均為n階正定矩陣，k,l為正數(shù)，證明kA+lB為正定矩陣。例3設(shè)V是歐氏空間,2例3設(shè)V是歐氏空間,2a1a2,1(a(aQ是V的一組基，定義221n2aa(a,a)(a,a)(a,a)n1n2nn則G是正定矩陣。性質(zhì)：二次型經(jīng)過可逆線性替換，其正定性不變；或者說，若矩陣A與B合同，則A正定當(dāng)且僅當(dāng)B正定。證明：設(shè)Q(a)=xTAx,令x=Py,

10、貝Ijx主0當(dāng)且僅當(dāng)y主0,且Q(a)=xTAx=()PTy(A)P=yT(Ty)PAPy所以xta正定當(dāng)且僅當(dāng)T(pLip定y定理若A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則下列命題等價(jià):(1)xTAx是正定二次型(或A是正定矩陣)；(2)A的正慣性指數(shù)為n(或二次型的正慣性指數(shù)為n);A與單位矩陣合同，即存在可逆矩陣C,使得CrAC=h存在可逆矩陣，使得A=BTB;A的n個(gè)特征值九，九，,九都大于零。12n證明：(1)=(2)設(shè)二次型的正慣性指數(shù)卩n，則經(jīng)過可逆線性替換兀=O線性替換兀=O，二次型化為Q()=xtAx=取y0=0,1型矛盾。+y2y2一y2pp+1r）-0與XTAx是正定二次n顯然成立。n(4

11、)由于CTAC=I，所以A=Ct)iC-i=BtB,其中B=C-i.(4)n設(shè)九是A的一個(gè)特征值，兀是屬于九的特征向量，則x主0，Ax=，由于A=BTB，B逆，所以xtAx=AxtxnxtBtBx=Axtxn（BX）tBx=Axtx即有（fix,Bx）=A（x,x）因?yàn)閤h0，B可逆，所以（Bx，Bx）0,Gx）0，因此（Bx,Bx）A=（）0Vx,x）。(5)n(1)對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣A，存在正交矩陣P，使得PtAP=diag(,A，,A)12n做可逆線性替換兀=Py，得Q(a)=y2+2y2hf2y21122nn由已知，20(i=1,2，,n)，則對(duì)任意y豐0，有Q(a)=xtAx=2y2+2y

12、2ff2y201122nn所以Q(a)=xtAx正定。結(jié)論：與正定矩陣合同的矩陣只能是正定矩陣。例1證明：若A是正定矩陣，則A-1也是正定矩陣。定理2若二次型xtAx正定，則A的主對(duì)角線元素aoC=12，n)；iiA的行列式|A|o。證明：取xi=G，0，0,即可(2)IAI=久久久CZMij，子式IA1=ka11a21aCZMij，子式IA1=ka11a21a12a22a1ka2k,k=1,2，nak1ak2akk稱為矩陣A的k階順序主子式。定理3n元二次型xTAx正定當(dāng)且僅當(dāng)A的n個(gè)順序主子式大于0。,xk，則證明：（必要性）取X=（x1,x2,x，0）T豐0記x=（yT,0）T,y=（x

13、,x,xk，則kk120 xtAx00。k（充分性）對(duì)n歸納。n=1時(shí)，因?yàn)楣?，所以xTAx-aux2（vx主0），因此xTAx正定。假設(shè)充分性對(duì)n-1元二次型成立。因?yàn)?A11n111n1l0因?yàn)?A11n111n1l0C-1Aa、n1、ata丿nn0，所以An1可逆，取n1rIn1IaTA-1,其中at-(a,a,n1n2,a)nn1CTAC-11A-1an11丿,則CT1n一1latA1n10aatA1a丿nnn10YAn1aTrA-n1Il0因?yàn)镮AI0,IAl0，所以Q0。n1ran1Il0a丿lnn0n一10ATn11丿由歸納假設(shè)A正定，即存在可逆矩陣P,使得PtAP-In1n1

14、n1rP0、rPT0取C-c1,則CT-C-12022II0l加yP丿廠P0(A0廠P0、0丿n-10a丿0丿nCTCTACC2112所以，A與單位矩陣合同，因此A正定。定理4n元二次型xtAx正定當(dāng)且僅當(dāng)A的所有主子式全大于0。例1判斷二次型QG)二x2+x2+x2一xX+xx1231223是否是正定二次型。例2t為何值時(shí)下列二次型是正定的？Q(a)=2x2+x2+x2+2xx+txxo1231223例3A是mxn的實(shí)矩陣，B=XI+AtA，證明九0時(shí)，B正定。例4設(shè)A是實(shí)對(duì)稱正定矩陣，B是mxn的實(shí)矩陣，證明：BTAB正定的充分必要條件是r(B)=n.例5設(shè)A,B都是n階正定矩陣，且AB=

15、BA,證明：AB為正定矩陣。例6設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，證明:A是正定矩陣的充要條件是,對(duì)任意正整數(shù)加，存在正定矩陣B,使得A=B例7設(shè)A是n階可逆實(shí)矩陣，試證明:ATA是正定矩陣；A可分解為一個(gè)正交矩陣和一個(gè)正定矩陣的乘積，即A=QS，其中Q是正交矩陣，S是正定矩陣。例8設(shè)A,B都是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，其中A正定，證明：當(dāng)實(shí)數(shù)t充分大時(shí)，tA+B也是正定矩陣。其它有定二次型定義：設(shè)Q）是實(shí)二次型，若對(duì)任意非零向量（1）恒有Q%0，且存在叫，使得Q（）=0，則稱實(shí)二次型Q）是半正定的；（2）恒有Q）0(i-1,2，,n),則Q(a)正定；0(i-1,2,n)且存在i,使得-0,則Q(a)半正定;d0(i

16、-1,2,n),則Q(a)負(fù)定；d0(i-1,2,n)且存在i,使得d-0,則Q(a)半負(fù)定。Q(a)-x2+2x2-x2，則Q(a)是不定的。123結(jié)論：A正定（半正定）當(dāng)且僅當(dāng)-A負(fù)定（半負(fù)定）。定理：設(shè)Q（a）-xTAx是實(shí)二次型，以下命題等價(jià)。（1）Q（a）是半正定二次型，或A是半正定矩陣；（2）Q（a）的正慣性指數(shù)p=rn，其中r是A的秩;3)A相合于diag(Ir,0)，rn；r存在非滿秩n階方陣C,使得A=CTC；A的所有特征值非負(fù)，且至少有一個(gè)特征值為0；6)A的所有主子式均大于等于零，且至少有一個(gè)為0。n/n/丿x2例1：判斷二次型nxii=1呵是否是有定二次型。i=1例2：

17、設(shè)B是n階實(shí)矩陣，r(B)0,轉(zhuǎn)面方程為則以曲線r為母線，)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋fxf(x,y)=0,y0,轉(zhuǎn)面方程為Uo)Uo)證明：在旋轉(zhuǎn)面上任選一點(diǎn)P(x,y,z),P是由r上的點(diǎn)P0S0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而得，則P和P0點(diǎn)坐標(biāo)之間滿足x=x0何丐=y0/因?yàn)镻0在曲線r上,所以有f；)=0，即即f,Jy2+z2)=0.反之，若一點(diǎn)P(x,y,z)滿足/X*y2+z2=0，則Oxy坐標(biāo)面上的點(diǎn)P(x,y,0)滿足方程f,y0)=0，其中00000 x0=x,y0=Jy2+z2，因此點(diǎn)P0在曲線r上，而點(diǎn)p恰是由X繞x軸旋轉(zhuǎn)而得，于是P(x,y,z)在該旋轉(zhuǎn)面上，所以亍云力0為所求旋轉(zhuǎn)面的方程。Ix2

18、+y2=r2例：球面由|z=0繞x軸旋轉(zhuǎn)而得，所以球面方程為(r-)X2+.；y2+z2=r2nx2+y2+z2=r2Iy=r例圓柱面由直線1x=0繞Z軸旋轉(zhuǎn)而成，所以圓柱面方程為Jy2+x2=rnx2+y2=r2Iy=x2例：K=0分別繞x軸和y軸的旋轉(zhuǎn)面方程分別為x軸：Jy2+z2=x2ny2+z2=x4y軸：y=x2+z2ny=x2+z2空間曲線方程(x,y),=z0,g(x,y),=z0二次曲面的分類二次曲面：二次代數(shù)方程ax2+by2+cz2+d=0所代表的曲面。橢球面T+蘭+匚=1(abc0)a2b2c2若a=b=c時(shí)，是半徑為a的球面。平面截割法：用一系列平行于坐標(biāo)軸的平面去截割方程的圖形，得到一些截線，通過研究這些截線去想象空間的圖形。x2y2z2.+二+=1c時(shí)，平面z=z0不切割橢球面；當(dāng)lz0l=c時(shí)，平面z=z0與橢球面交于一點(diǎn);當(dāng)lz0lc時(shí)，得截線為橢圓。一般二次型方程的化簡(jiǎn)三元二次方程的一般形式為ax2+ay2+az2+2axy+2axz+11223312132ayz+bx+by+bz+c=023123令aaa、fbrxiii213iA=aaa，其中a=a,b=b,X=y2i2223ijji2.a3ia32a)33(bJ3y(z丿則有XTAX+bX+c=0因?yàn)锳是對(duì)稱矩陣，所以存在正交替換X=PY