機(jī)械振動(dòng)課后習(xí)題和答案第二章習(xí)題和答案

1、2.1彈簧下懸掛一物體，彈簧靜伸長為。設(shè)將物體向下拉，使彈簧有靜伸長3，然后無初速度地釋放，求此后的運(yùn)動(dòng)方程。解：設(shè)物體質(zhì)量為m，彈簧剛度為k，則:mg=kmg=k,即：，取系統(tǒng)靜平衡位置為原點(diǎn)x二0，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為:mxkx=0 x=2(參考教材P14)x0=0.、0解得：x(t)=2cos,t2.2彈簧不受力時(shí)長度為65cm,下端掛上1kg物體后彈簧長85cm。設(shè)用手托住物體使彈簧回到原長后無初速度地釋放，試求物體的運(yùn)動(dòng)方程、振幅、周期及彈簧力的最大值。解：由題可知：彈簧的靜伸長0.85-0.650.2(m)所以,已所以,已卩豎取系統(tǒng)的平衡位置為原點(diǎn),系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：x+,2x0其中

2、，初始條件：x(0):防(參考教材P14)所以系統(tǒng)的響應(yīng)為：x(t)-0.2cos,t(m)n彈簧力為：Fkx(t)mgx(t)-cos,t(N)kn因此：振幅為0.2m、2兀周期為蘭(s)、彈簧力最大值為1N。7111123重物m懸掛在剛度為k的彈簧上并處于靜平衡位置，另一重物m從高12度為h處自由落到m上而無彈跳，如圖所示，求其后的運(yùn)動(dòng)。1解：取系統(tǒng)的上下運(yùn)動(dòng)x為坐標(biāo)，向上為正，靜平衡位置為原點(diǎn)X0，則當(dāng)m有x位移時(shí)，系統(tǒng)有：(m+m)x212u2(m+m)x212u2kx2由d(E+U)=0可知:(m+m)x+kx=012即：,=k/(m+m)n12系統(tǒng)的初始條件為:mgx=20km H

3、YPERLINK l bookmark20X=20m+mi122gh1111其中:0其中:0(能量守恒得：mgh=*(m+m)x2)TOC o 1-5 h z22120因此系統(tǒng)的響應(yīng)為：x(t)=Acos,t律Asin,t0n1n2ghkm+m HYPERLINK l bookmark10512nn即：x(t)=mg2(COStknt)nn24質(zhì)量為m、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I的圓柱體作自由純滾動(dòng)，圓心受到一彈簧k約束，如圖所示，求系統(tǒng)的固有頻率。靜平衡位置時(shí)=0，則當(dāng)m解：取圓柱體的轉(zhuǎn)角靜平衡位置時(shí)=0，則當(dāng)mI2,m(r)2I2,m(r)2=(I，mr2E2Tnn由d(E,U)=0可知：(I+mr2)

4、+kr2=0kr2/(kr2/(I+mr2)(rad/s)2.5均質(zhì)桿長乙、重G,用兩根長h的鉛垂線掛成水平位置，如圖所示,試求此桿相對(duì)鉛垂軸OO微幅振動(dòng)的周期。1111111126求如圖所示系統(tǒng)的周期，三個(gè)彈簧都成鉛垂，且k2k,kk。2131解：取m的上下運(yùn)動(dòng)x為坐標(biāo)，向上為正，靜平衡位置為原點(diǎn)x有x位移時(shí)，系統(tǒng)有：則當(dāng)mE1mx2T2觀5U=kx2+kx2=kx2(其中：k2i6ikk、12k+k121-5由d(E+U)0可知：即：,3m(rad/S)，T3m5k(s)27如圖所示，半徑為r的均質(zhì)圓柱可在半徑為R的圓軌面內(nèi)無滑動(dòng)地、以圓軌面最低位置O為平衡位置左右微擺，試導(dǎo)出柱體的擺動(dòng)方

5、程，求其固有頻率。解：設(shè)物體重量W，擺角坐標(biāo)如圖所示，逆時(shí)針為正，當(dāng)系統(tǒng)有擺角時(shí)，則：2U=W（Rr）（1cos）沁W（Rr）2設(shè)為圓柱體轉(zhuǎn)角速度，質(zhì)心的瞬時(shí)速度：二（R一r）=r，即：=廠）cr記圓柱體繞瞬時(shí)寸扌接觸點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，貝IJ：A+g1(3W2(2)()2(R一r)22（或者理解為：豊=2-2+2W（R一r）22，轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)的動(dòng)能）由+U)=0可知:3W(Rr)2由+U)=0可知:2g即：=：麗匕（應(yīng)）00mx+Y(Ax)g=0，即：=n丫Agm有初始條件為mx+Y(Ax)g=0，即：=n丫Agm有初始條件為:x0 x子靜止在比重為的液體中。設(shè)從平衡位置|工壓低距離以見圖)，

6、然后無初速度地釋放，若二三三不計(jì)阻尼，求浮子其后的運(yùn)動(dòng)。二三解：建立如圖所示坐標(biāo)系，系統(tǒng)平衡時(shí)x二0，由牛頓第二定律得:所以浮子的響應(yīng)為：x(t)=xsin(tAg+)m22.9求如圖所示系統(tǒng)微幅扭振的周期。圖中兩個(gè)摩擦輪可分別繞水平軸O,O2轉(zhuǎn)動(dòng)，它們相互嚙合，不能相對(duì)滑動(dòng)，在圖示位置（半徑O#與o2b在同一水平線上），彈簧不受力。摩擦輪可以看做等厚均質(zhì)圓盤，質(zhì)量分別為m.，m2。解：兩輪的質(zhì)量分別為m,m，因此輪的半徑比為:12rm11rm22由于兩輪無相對(duì)滑動(dòng)，因此其轉(zhuǎn)角比為：0r01210r0212|取系統(tǒng)靜平衡時(shí)00,則有:111111E(mr2)02,(mr2)02=(m,m)r2

7、02t22111222241/1121由d巴21由d巴,U）0可知:m)r202211(k,k)r20121100002(k，k)m+m即：12(rad/s)，T二212(s)nm,m2(k+k)1212210如圖所示，輪子可繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為厶輪緣繞有軟繩，下端掛有重量為P的物體，繩與輪緣之間無滑動(dòng)。在圖示位置，由水平彈簧維持平衡。半徑R與a均已知，求微振動(dòng)的周期。解:取輪的轉(zhuǎn)角為坐標(biāo)，順時(shí)針為正，系統(tǒng)平衡時(shí)=0，則當(dāng)輪子有轉(zhuǎn)角時(shí)，系統(tǒng)有：11p1pE=I2,(R)2=(I,R2)2T22g丿2g丿U=1k(a)2P由，U)=0可知：(I,R2)2,ka2=0gka2一PR2g

8、I,ka2一PR2g(s)(rad/s)，故T=2兀=2(s)3ka2n2211彈簧懸掛一質(zhì)量為m的物體，自由振動(dòng)的周期為0,如果在m上附加一個(gè)質(zhì)量mx，則彈簧的靜伸長增加l，求當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?。解?12用能量法求圖所示三個(gè)擺的微振動(dòng)的固有頻率。擺錘重P,(方)與(c)中每個(gè)彈簧的彈性系數(shù)為k/2。(1)桿重不計(jì);(2)若桿質(zhì)量均勻，計(jì)入桿重。1fFt1a解：取系統(tǒng)的擺角為坐標(biāo)，靜平衡時(shí)=0(a)若不計(jì)桿重，系統(tǒng)作微振動(dòng)，則有:1pt2g丿*1U=PgL(1-cos)沁PgL22pTOC o 1-5 h z由d(EU)=0可知：心+PL=0Tg HYPERLINK l bookmark99g

9、即：=(rad/s)nL如果考慮桿重，系統(tǒng)作微振動(dòng)，則有: HYPERLINK l bookmark871P111Pm叮Jg呼22(3計(jì)2=2(gJ網(wǎng)2LpU=PgL(1cos)+mg(1一cos)(+L2g22由d(E+U)=0可知：(+m)L2,+(+m)gL,=0rad/s)Trad/s)即：=(b)如果考慮桿重，系統(tǒng)作微振動(dòng)，則有：111pmE=_(_L2),2+(mL2),2=(+L)L2,2t2、g丿23l丿2、g3722222)gL巴1222Pm、kL HYPERLINK l bookmark115g2丿4(g+豊)L(c)如果考慮桿重，系統(tǒng)作微振動(dòng),1P11E=-(L2),2+

10、(mL2),2=T2、g丿23L丿rad/s)則有：2(g+氣2u-(pm)gL匕1(k)(,l222、2八222即：nkLPmlrad/s)213求如圖所示系統(tǒng)的等效剛度，并把它寫成與x的關(guān)系式。答案：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程mx2kx=0214-臺(tái)電機(jī)重470N,轉(zhuǎn)速為1430r/min,固定在兩根5號(hào)槽鋼組成的簡(jiǎn)支梁的中點(diǎn)，如圖所示。每根槽鋼長12m,重6528N，彎曲剛度EI=1.66105Nm2。）不考慮槽鋼質(zhì)量，求系統(tǒng)的固有頻率；（方）設(shè)槽鋼質(zhì)量均布，考慮分布質(zhì)量的影響，求系統(tǒng)的固有頻率；（c）計(jì)算說明如何避開電機(jī)和系統(tǒng)的共振區(qū)。215質(zhì)量m固定于長厶彎曲剛度為EI，密度為的彈性梁的一端

11、,如圖所示，試以有效質(zhì)量的概念計(jì)算其固有頻率。wL3/(3EI)216求等截面U形管內(nèi)液體振動(dòng)的周期，阻力不計(jì)，假定液柱總長度為L。解：假設(shè)U形管內(nèi)液柱長I，截面積為4，密度為，取系統(tǒng)靜平衡時(shí)勢(shì)能為0左邊液面下降x時(shí)，有:1E=oAlx2T2U=pA,x,g,x由d(E+U)=0可知：pAlx+2gpAx=0即:2g(rad/s)，T豁21(s)g2.17水箱1與2的水平截面面積分別為AxA2,底部用截面為A0的細(xì)管連接。兒今求液面上下振動(dòng)的固有頻率。妄乏三解：設(shè)液體密度為，取系統(tǒng)靜平衡時(shí)勢(shì)能為0，當(dāng)左邊液面下降x時(shí)，右1邊液面上升x，液體在水箱1與2和細(xì)管中的速度分別為x,x,x，則有:21

12、23111E=pA(h一x)x2+pALx2+pA(h+x)x21T211123J3222n2Ah+AL(A?+Ah(A1)2213A2A(由于：h一xh1x+xU=pAxq1212hAx=Ax=Ax112233Ax=Ax)1122由d巴+U)=0可知：h(1AA+1)+L(1)x+g(1123+j)xi二02即：=n(1+A1)A2ah(1+A1)+L(A1)23(rad/S)218如圖所示，一個(gè)重W、面積為A的薄板懸掛在彈簧上，使之在粘性液體中振動(dòng)。設(shè)片、T2分別為無阻尼的振動(dòng)周期和在粘性液體中的阻尼周期。試證明：2,WgATT12并指出卩的意義（式中液體阻尼力Fd=2Av）。219試證明

13、：對(duì)數(shù)衰減率也可用下式表示6=1ln九,（式中?！笔墙?jīng)過nnxnn個(gè)循環(huán)后的振幅）。并給出在阻尼比,為0.01、0.103時(shí)振幅減小到50%以下所需要的循環(huán)數(shù)。解：設(shè)系統(tǒng)阻尼自由振動(dòng)的響應(yīng)為x（t）；t時(shí)刻的位移為x；tt+nT時(shí)刻的位移為x；則:00n0nXe-,n?0cos(t)1Xe-,n(to+nTd)cos(t+nT)d0d所以有：In規(guī)=,nT所以有：In規(guī)=,nT=n6=nlnxndnx-0，x1即：x=lnonxnn=n=1ln2=ln2卩,262兀,當(dāng)振幅衰減到50%時(shí)，x=0.5x，即：n01）當(dāng),=0.01時(shí)，n=11；要11個(gè)循環(huán);2）當(dāng),=0.1時(shí)，n=1.1；要2個(gè)

14、循環(huán)；3)當(dāng),=0.3時(shí)，n=0.34；要1個(gè)循環(huán);220某雙軸汽車的前懸架質(zhì)量為竹=1151kg,前懸架剛度為k=102105N/m,若假定前、后懸架的振動(dòng)是獨(dú)立的，試計(jì)算前懸架垂直振動(dòng)的偏頻。如果要求前懸架的阻尼比匚，0.25，那么應(yīng)給前懸架設(shè)計(jì)多大阻尼系數(shù)(c)的懸架減振器?221重量為P的物體，掛在彈簧的下端，產(chǎn)生靜伸長,在上下運(yùn)動(dòng)時(shí)所遇到的阻力與速度卩成正比。要保證物體不發(fā)生振動(dòng)，求阻尼系數(shù)c的最低值。若物體在靜平衡位置以初速度卩0開始運(yùn)動(dòng)，求此后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：設(shè)系統(tǒng)上下運(yùn)動(dòng)為x坐標(biāo)系，系統(tǒng)的靜平衡位置為原點(diǎn)，得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：Px+cx+x，0g系統(tǒng)的阻尼比：匚，一4，-

15、2jmk2cPPg系統(tǒng)不振動(dòng)條件為：匚1系統(tǒng)的阻尼比：匚，一4，-2jmk2cPPg系統(tǒng)不振動(dòng)條件為：匚1，即:x物體在平衡位置以初速度開始運(yùn)動(dòng)，即初始條件為：0此時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)為：（可參考教材P22）1）當(dāng)匚1時(shí):x(t)，e-叫(Ae代2i+Ae-叫t比2i)n1n2nA1,21，+.02、匸21n2）當(dāng)匚，1時(shí):A，ox(t)，Ae叫+Ate叫，其中:，I200000即：x(t即：x(t)=3)當(dāng)1時(shí)：C其中：Jc12、dte，tnx(t)二e-t(Ccost+Csint)TOC o 1-5 h zn1d2d0u/，即：x(t)=e，t亠sint0ddJI2dn222-個(gè)重5500N的炮管

16、具有剛度為303105N/m的駐退彈簧。如果發(fā)射時(shí)炮管后座12m,試求：炮管初始后座速度；減振器臨界阻尼系數(shù)（它是在反沖結(jié)束時(shí)參加工作的）；炮管返回到離初始位置005m時(shí)所需要的時(shí)間。2.23設(shè)系統(tǒng)阻尼比匚，0.1，試按比例畫出在=05、10、2.0三種情n況下微分方程的向量關(guān)系圖。224試指出在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下系統(tǒng)復(fù)頻率響應(yīng)、放大因子和品質(zhì)因子之間的關(guān)系，并計(jì)算當(dāng)匚，0.2、=5rad/s時(shí)系統(tǒng)的品質(zhì)因子和帶寬。n2.25已知單自由度系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)其阻力為cv（其中c是常數(shù)，卩是運(yùn)動(dòng)速度）,激勵(lì)為F，F(xiàn)sint,當(dāng)，即共振時(shí)，測(cè)得振動(dòng)的振幅為X,求激勵(lì)的0n幅值F0。若測(cè)得共振時(shí)加速度的幅值為4,求此

17、時(shí)的F0。226某單自由度系統(tǒng)在液體中振動(dòng)，它所受到的激勵(lì)為F二50cost(N),系統(tǒng)在周期0=020s時(shí)共振，振幅為0005cm，求阻尼系數(shù)。TOC o 1-5 h z解：由T二0.20s時(shí)共振可知，系統(tǒng)固有頻率為：=10,nTF當(dāng)T時(shí)，已知響應(yīng)振幅：X=7，(參教材P30)nc所以：c=4=巴!(Ns/m)X,一個(gè)具有結(jié)構(gòu)阻尼的單自由度系統(tǒng)，在一周振動(dòng)內(nèi)耗散的能量為它的最大勢(shì)能的1.2%，試計(jì)算其結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)。要使每一循環(huán)消耗的能量與頻率比無關(guān)，需要多大的阻尼系數(shù)。若振動(dòng)物體受到的阻力與其運(yùn)動(dòng)速度平方成正比，即Fax2x0d求其等效阻尼系數(shù)和共振時(shí)的振幅。解：實(shí)際上，這是一種低粘度流體阻

18、尼。設(shè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為：x(t)Xcos(ot-申)oax2dx卜/wax2d(A|H(w)|w)(wt申)卜/waaH(w)|w(wt申)2一|H(w)|wAsin(wt)dxk/waX3w3A3sin3(ot申)dtbA3J/waw3X3sin3(ot一弔)dtaX3w22(0)申2(0)3申34ax302d3o8ax302d38ax302CnoX23C803Xo?e32.29xXcos(ot一申)x=Xsin（t（p）W=JaX2dx+J2ax2dxc0/=J/a2X2sin2（tp）（2Xcos（tp）dt+J2/O2X2sin2（tp）（2Xcos（tp）dt/=8aX323W二W二CK

19、X2PCC二8aX3X=-Ft=盤FtTOC o 1-5 h zc8aX23叭8axw23叭8axw2n2w22anFd2Fd2ax2axx0=JFdx=4J4ax2dxd0=4JT/4ax3dx=4JT/4Z33C0S3（tp）dt0=8aZ323，CnrnZ2PC，_8-aZe3Z，嗚Z，衛(wèi)仔C08aZo2230KG1II電動(dòng)機(jī)重巴裝在彈性基礎(chǔ)上，靜下沉量為。當(dāng)轉(zhuǎn)速為nr/min時(shí)，由于轉(zhuǎn)子失衡，沿豎向有正弦激勵(lì)，電機(jī)產(chǎn)生振幅為A的強(qiáng)迫振動(dòng)。試求激勵(lì)的幅值，不計(jì)阻尼。231電動(dòng)機(jī)重尸，裝在彈性梁上，使梁有靜撓度。轉(zhuǎn)子重。，偏心距為e。試求當(dāng)轉(zhuǎn)速為時(shí)，電動(dòng)機(jī)上下強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅4,不計(jì)梁重。2

20、32飛機(jī)升降舵的調(diào)整片鉸接于升降舵的O軸上（圖T32），并由一聯(lián)動(dòng)裝置控制。該裝置相當(dāng)于一剛度為婦的扭轉(zhuǎn)彈簧。調(diào)整片轉(zhuǎn)動(dòng)慣降舵門薊量為I，因而系統(tǒng)固有頻率=K/1，但因kT不能精確計(jì)nT算，必須用試驗(yàn)測(cè)定。為此固定n圖T2.32升降舵，利用彈簧處對(duì)調(diào)整片做簡(jiǎn)諧激勵(lì)，并用彈簧k來抑制。改變激勵(lì)頻率圖T2.32。試以和試驗(yàn)裝置的參數(shù)來表示調(diào)整片的固有頻率。TOC o 1-5 h zTTn解：設(shè)調(diào)整片的轉(zhuǎn)角為，系統(tǒng)的微分方程為:=kLysint2I,+k+(k+k)L2=kLysint2T12系纟統(tǒng)的共振頻率為：0/+（節(jié)沖因此：k=I2一(k+k)L2T012調(diào)整片的固有頻率為：2二kT=2-(k

21、1+中LnI0I233如圖所示由懸架支承的車輛沿高低不平的道路行進(jìn)。試求W的振幅與行進(jìn)速度的關(guān)系，并確定最不利的彳丁進(jìn)速度。解：由題目2.33TLw2兀2兀VVTLyYcos2兀vtLwX一K(x一y)wXkycos2兀VtLwXCKx=KYcos2兀vtLwS2X(s)+KX(s)ky2r(2叩)2+s2LX(s)KY2L2K(s2+(2叩)2)(ws2+K)nwLX2詳sina+2aYsint2+a2n71，(a/71，(a/2)n+0Y1，(a/2)2n1，4兀2V2wKL2KL2YKL2加2V2w2.33，汝TTvL-2ffivLmXX2.33，汝TTvL-2ffivLmXX+KXKy

22、X+,2xn,2ynn,22nXY,2n,2,2nYh、2nYh、2n,24兀十nL24兀2mbb234單擺懸點(diǎn)沿水平方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)(圖02.34),=asint。試求在微幅的強(qiáng)迫振動(dòng)中偏角的變化規(guī)律。已知擺長為L,擺錘質(zhì)量為m。2.35-個(gè)重90N的飛機(jī)無線電要與發(fā)動(dòng)機(jī)的頻率16002200r/min范圍的振動(dòng)隔離，為了隔離85%，隔振器的靜變形需要多少？2.36試從式(2.95)證明：1.無論阻尼比取何值，在頻率比，/，=2時(shí)，恒有X=4。n2.在，/，2、XIA隨增大而減小，而在，/，2、XIA隨nn增大而增大。237某位移傳感器固有頻率為475Hz，阻尼比=065。試估計(jì)所能測(cè)量的最低

23、頻率，設(shè)要求誤差1%，2%02.38位移傳感器的固有頻為率2Hz，無阻尼，用以測(cè)量頻率為8Hz的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，測(cè)得振幅為0132cm。問實(shí)際振幅是多少?誤差為多少？239振動(dòng)記錄儀的固有頻率為九=30Hz,阻尼比=050。用其測(cè)量某物體的振動(dòng)，物體的運(yùn)動(dòng)方程已知為x=205sin4t+10sin8t(cm)證明：振動(dòng)記錄儀的振動(dòng)z將為z=103sin(4t-5Oo)+115sin(8t-12Oo)(cm)解：a240求單自由度無阻尼系統(tǒng)對(duì)圖所示激勵(lì)的響應(yīng)，設(shè)初始條件為零。h(t)ie-,/sintm3ddh(t-)i解：a240求單自由度無阻尼系統(tǒng)對(duì)圖所示激勵(lì)的響應(yīng)，設(shè)初始條件為零。h(t)ie-,/sintm3ddh(t-)ie-如”(t-)sin3(t-)m3dh(t)isin3tm3ddh(t2)isinw(t)m3ddX(t)Jtdcos3(t)F(cos3t)0nRnF1X(t)isin3(t)d(t)m3n0nF(t)h(t)d+01F(t)h(t)d.2iF1cos3(