圓錐曲線聯(lián)立及韋達定理上課講義

1、學習資料圓錐曲線聯(lián)立及韋達定理1、圓錐曲線與直線的關系橢圓與雙曲線與給定直線的關系通過聯(lián)立方程所得解的情況來判定：橢圓： x2y21 (a b0)a2b2雙曲線： x2y21 (a、 b0)a2b2直線： ykxm(PS：這里并沒有討論橢圓的焦點在y 軸、雙曲線的焦點在y 軸及直線斜率不存的情況，做題需要補充)（ 1）橢圓與雙曲線聯(lián)立：1k 22 2kmm2(2b2 ) xb2 xb2 1 0a(PS：聯(lián)立時選擇不通分，原因？看完就知道了)類一元二次方程： Ax 2Bx C 01 k 2( 2 b2 ) ，所以 A 0 ，即方程為一元二次方程。a判別式：B24 AC2km24(1k 2m21)

2、(2 )a2b2 )(b2b化解得：4(1k 2m22 )2b22baa當0 ，方程無實根，直線與橢圓沒有交點；當 0 ，方程有兩個相同的根，直線與橢圓相切；（相切是因為重根，而不是只有一個根）當0 ，方程有兩個不同的實根，直線與橢圓相交.各種學習資料，僅供學習與交流學習資料（ 2）雙曲線與直線聯(lián)立：1k222kmm20(2b2 ) xb2xb21a( 122類一元二次方程中，Ak2 ) ， B ( 2km2 )abb4( 1k 2m2)a2b2a2 b21)當 A0, B0 時，方程為10 ，無解，直線與雙曲線相離；（此時為漸近線）當 A 0, B 0 時，方程為一元一次方程，只有一個解，直

3、線與雙曲線只有一個交點（此時為漸近線的平行線）當 A 0,0 時，一元二次方程無實數解，直線與雙曲線相離；4)當 A0,0時，一元二次方程有兩個相同實數解，直線與雙曲線相切；5)當 A0,0時，一元二次方程有兩個不同實數解，直線與雙曲線相交.PS：注意雙曲線與直線聯(lián)立和橢圓與直線聯(lián)立的方程及最后判定的異同！各種學習資料，僅供學習與交流學習資料2、聯(lián)立方程與韋達定理（ 1）韋達定理：Ax2BxC 0 運用韋達定理的前提：A 0,0 x1x2B ， x1 x2C ， x1 x2( x1x2 )24x1 x2AAA（ 2）橢圓與直線聯(lián)立相關的韋達定理：( 1k 2) x22km xm21 0a2b2

4、b2b22kmx1x2b2；1k 2a2b2m21x1 x2b2；1k 2a2b221k 2m2a2b2a2b2x1x21k 2a2b2由 ykxm 可得到關于 y 的韋達定理：y1y2(kx1 m) (kx2m) k ( x1 x2 ) 2m22m( 1222k 2mk2 )bab1k2a2b22my1y2a21；k 2a2b2y1 y2(kx1m)( kx2 m) k 2 y1 y2 km( x1 x2 ) m2各種學習資料，僅供學習與交流學習資料22km2)m2 ( 122k 2 ( m21)km(k2 )bbab1k2m2a2b2k 2y1 y2a2k 2；1a2b2y1y2( kx1

5、m)(kx2m) k x1x22k1k 2m2a2b2a2b2y1y21k 2；a2b2（ 3）雙曲線與直線聯(lián)立相關的韋達定理：( 1k2) x22km xm21 0a2b2b2b22kmx1x21b2k 2；a2b2m21x1 x2b2k 2；1a2b221k 2m2x1x2a2b2a2b21k 2a2b2由 ykxm 可得到關于 y 的韋達定理：y1y2(kx1m) (kx2m) k ( x1 x2 ) 2m2k 2m2m(1k 2b2a2b2 )1k 2a2b2各種學習資料，僅供學習與交流學習資料2my1y21a2k 2；a2b2y1 y2(kx1m)( kx2m)k 2 y1 y2km( x1 x2 ) m2k2(m21)km(2kmm2(1k 2b22)22 )bab1k2m2a2b2k 2y1 y2a2k 2；1a2b2y1y2( kx1m)(kx2m)k x1 x22k1k 2m2y1y2a2b2a2b2；1k 2a2b2PS：1、所有韋達定理所得的結果分母都一樣，之后的處理就不需要通分；2、記住部分結論（聯(lián)立的一元二次方程和判別式必須記住）會事半功倍；3、雙曲線相關的式子與橢圓相關式子的區(qū)別，所有