模態(tài)邏輯概述

1、模態(tài)邏輯概述Ps：本文整理編輯-論文文庫工作室（QQ1548927986）：畢業(yè)論文寫作與發(fā)表.模態(tài)邏輯，或者叫（不很常見）內(nèi)涵邏輯，是處理用模態(tài)如“可能”、“或許”、“可以”、“一定”、 “必然”等限定的句子的邏輯。模態(tài)邏輯可以用語義的“內(nèi)通性”來描述其特征：復(fù)雜公式的真 值不能由子公式的真值來決定的。允許這種決定性的邏輯是“外延性的”，經(jīng)典邏輯就是外延 性的例子。模態(tài)算子不能使用外延語義來形式化:“喬治布什是美國總統(tǒng)”和“2 + 2 = 4”是真 的，但是“喬治布什必然是美國總統(tǒng)”是假的，而“2 + 2 = 4是必然的”是真的。形式模態(tài)邏輯使用模態(tài)判決算子表示模態(tài)?；镜哪B(tài)算子是匚 和0

2、 （有時(shí)分別使用“L”和“M”）。它們的意義依賴于特定的模態(tài)邏輯，但它們總是以相互定義的方式來定義Op = -, pp = -1。真勢(shì)模態(tài)在真勢(shì)模態(tài)邏輯（就是說必然性和可能性的邏輯）中匚 表示必然性，而表示可能性。所 以Jones有兄弟是“可能的”，當(dāng)且僅當(dāng)Jones “沒”有兄弟是“非必然的”。句子被認(rèn)定為可能的如果它“可能”為真（不管實(shí)際上是真是假）；必然的如果它“不可能”為假；偶然的如果它“不是”必然為真，就是說，可能為真可能為假。偶然的真理是“實(shí)際上” 為真，但“可能曾經(jīng)不是”的真理。其他模態(tài)認(rèn)識(shí)模態(tài)邏輯最經(jīng)常用來談?wù)撍^的“真勢(shì)模態(tài)”:“.是必然的”或者“.是可能的”，這些模態(tài)（包

3、括形而上學(xué)模態(tài)和邏輯模態(tài)）最容易混淆于認(rèn)識(shí)模態(tài)（來自希臘語episteme,知識(shí)）:“.確實(shí)是 真的”和“.（對(duì)給定的可獲得的信息）或許是真的”。在普通的話語中這兩種模態(tài)經(jīng)常用類似 的詞來表達(dá)；下列對(duì)比可能有所幫助：一個(gè)人Jones可以合理的“同時(shí)”說出：（1）“我確信大腳怪不可能存在”，還有（2）“大腳怪存在 的確是可能的”。Jones通過（1）表達(dá)的意思是，對(duì)于給定的所有可獲得的信息，大腳怪存在 與否是沒有疑問的。這是一個(gè)認(rèn)識(shí)上的斷言。通過（2）表達(dá)的意思是這個(gè)事物可能曾是其它 樣子的。他的意思不是“就我所知而言，大腳怪可能存在。（所以這不矛盾于（1）。而是，他 做了一個(gè)“形而上學(xué)”上的斷

4、定，“即使我不知道，大腳怪存在仍是可能的”。在其他方面，Jones可以說（3）“哥德巴赫猜想可能為真，也可能為假”，還有（4） “如果它是 真的，則它必然是真的，不可能是假的”。這里Jones的意思是，“就他所知而言，它為真 為假都是在認(rèn)識(shí)上可能的（哥德巴赫猜想仍未被證明是真還是假）。但是如果有這么一個(gè)證明 （至今仍未發(fā)現(xiàn)），則哥德巴赫猜想為假在邏輯上是不可能的”。邏輯上的可能性是一種“真 勢(shì)”（alethic）可能性；（4）做了對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)真理曾經(jīng)為假是否可能的一個(gè)斷言，而（3）只做了對(duì)“就 Jones所知而言”這個(gè)論斷被證實(shí)為假是否可能的一個(gè)斷言，所以Jones還是不自相矛盾。 認(rèn)識(shí)上的可能

5、性還以一種非形而上學(xué)的方式關(guān)注真實(shí)世界。形而上學(xué)的可能性以“可能曾是” 的方式關(guān)注世界，而認(rèn)識(shí)上的可能性以（就我所知而言廣可能正是”的方式關(guān)注世界。比如， 我想知道在離開前是否要帶把傘。如果你告訴我“外面可能在下雨”-在一種“認(rèn)識(shí)上可能” 的意義上-那么這會(huì)影響我是否帶傘的決定。但是如果你告訴我“外面下雨是可能的”-在一 種“形而上學(xué)上可能”的意義上-那么我從這種大道理中沒有得到任何啟示。大量的哲學(xué)文獻(xiàn)關(guān)心“真勢(shì)”而非“認(rèn)識(shí)”模態(tài)。（實(shí)際上，其中大多數(shù)關(guān)心一種最廣泛的真勢(shì) 模態(tài)，就是邏輯典性）。這不是說真勢(shì)可能性比我們?nèi)粘Ｓ玫恼J(rèn)識(shí)可能性更重要（考慮上面 決定是否帶傘的例子）。只是說在哲學(xué)研究中

6、的優(yōu)先權(quán)不是日常生活中的重要性帶來的。道義和時(shí)間言語中有一些類似的模式，盡管不大可能與真勢(shì)模態(tài)混淆但仍密切的相關(guān)。其一是有關(guān)時(shí)間 的談?wù)摗Ｃ魈炜赡軙?huì)下雨，但也可能不下好像是合理的；在另一方面，如果昨天下雨了，如 果實(shí)際上已經(jīng)下了，則說“昨天可能沒有下雨”就不是完全正確的。過去好像固定的”或必然 的，而將來在某種程度上不是。很多哲學(xué)家和邏輯學(xué)家認(rèn)為這種推理不是很好；但是我們經(jīng) 常以這種方式談話，所以最好有一種邏輯能捕獲它的結(jié)構(gòu)。類似的有關(guān)道德的談?wù)摚蛘哒f 義務(wù)和規(guī)范一般好像也有模態(tài)結(jié)構(gòu)。在“你必須這么做”和“你可以這么做”之間的區(qū)別看起來 很像在“這是必然的”和“這是可能的”之間的區(qū)別。這種邏

7、輯叫做道義邏輯，“道義”來自希臘 語 duty。模態(tài)邏輯的釋義在模態(tài)邏輯的最常見解釋中，你要考慮“所有邏輯上可能的世界”。如果一個(gè)陳述在所有可能 世界中是真的，則它是必然的真理。如果一個(gè)陳述碰巧在我們的世界中是真的，但不是在所 有可能世界中是真的，則它是偶然的真理。在某些不是必須在我們自己的）可能世界中是真 的陳述叫做可能的真理。這種”可能世界”是否是解釋模態(tài)邏輯的最佳方式，怎樣在文字上接受這種方言，是形而上學(xué) 的鮮活的問題。例如，可能世界的方言可以把關(guān)于大腳怪的斷言翻譯為“有某個(gè)可能世界， 在其中大腳怪存在”。要主張大腳怪的存在性是可能的，但不是現(xiàn)實(shí)的，你可以說有某個(gè)可 能世界，在其中大腳怪

8、存在；但是在現(xiàn)實(shí)世界中，大腳怪不存在”。但是對(duì)使模態(tài)斷言對(duì)我 們負(fù)責(zé)的那個(gè)東西是什么仍是不清楚的。我們真的要宣稱可能世界的存在性嗎？它在每一點(diǎn) 都同我們的現(xiàn)實(shí)世界一樣真實(shí)，卻惟獨(dú)不是現(xiàn)實(shí)的。David Lewis強(qiáng)硬的說就是這樣，可能 世界同我們自己的世界一樣真實(shí)。這種立場(chǎng)叫做模態(tài)現(xiàn)實(shí)主義”。不足為奇的，多數(shù)哲學(xué)家 不愿意接受這種特別的學(xué)說，在搜尋一種可替代的方式來釋義我們的模態(tài)斷言所蘊(yùn)含的本體 論承諾。公理系統(tǒng)有很多有不同性質(zhì)的模態(tài)邏輯。在其中很多必然性和可能性的概念滿足下列德摩根定律的 聯(lián)系：X是非必然的”等價(jià)于”非X是可能的”?！盭是非可能的”等價(jià)于”非X是必然的”。盡管模態(tài)邏輯教科書比

9、如Hughes和Cresswell的A New Introduction to Modal Logic覆 蓋了這個(gè)定律不成立的一些系統(tǒng)。模態(tài)邏輯向命題邏輯的“合式公式”增加上必然性和偶然性。在一些記號(hào)中“必然的p”使用 “方塊”（，”）表示，而“可能的p”使用“菱形”6?。┍硎?。無論是什么樣的記號(hào)，兩個(gè)算子是 以相互定義的方式定義的：匚心必然的p）等價(jià)于;尸（非可能的非p）心p（可能的p）等價(jià)于匚-尸（非必然的非p）因此，匚 和 叫做對(duì)偶算子。要建立模態(tài)邏輯的可用系統(tǒng)，必須向命題邏輯的增加什么公理是非常有爭(zhēng)議的主題。得名于 Saul Kripke的K，只向經(jīng)典命題邏輯公理體系增加了如下規(guī)則：必

10、然性規(guī)則：如果p是K的定理，則匚；也是。分配律公理：如果 匚項(xiàng)則匚（這也叫做公理K）但K是一個(gè)弱模態(tài)邏輯。特別是留下了一個(gè)公開的問題，命題是必然的但只偶爾是必然的。 如果 #為真則匚匚；為真不是K的定理，它是說，必然的真理必然是必然的。這可 能不是K的大缺陷，因?yàn)檫@些好像是十分奇怪的問題，而試圖解答它們的任何嘗試都把我 們卷入混亂的難題中。無論如何，對(duì)這種問題的不同解決方式生成了不同的模態(tài)邏輯系統(tǒng)。 這些規(guī)則缺乏從p的必然性到p的實(shí)際情況的公理，所以通常要補(bǔ)充上下列“自反性”公 理，這就生成經(jīng)常叫做T的一個(gè)系統(tǒng)。戶 七如果p是必然的，則p是事實(shí)）這是多數(shù)但不是全部模態(tài)邏輯系統(tǒng)的規(guī)則。Jay Z

11、eman的書Modal Logic覆蓋了沒有這 個(gè)規(guī)則的系統(tǒng)如S1AQo其他周知的基本公理：4：匚1匚匚尸B fD：E： ?這些公理產(chǎn)生的系統(tǒng)：K ：= K + NT ：= K + TS4 ：= T + 4S5 ：= S4 + B 或 T + ED ：= K + D.K到S5形成了嵌套的系統(tǒng)層級(jí)，建造了正規(guī)模態(tài)邏輯的核心。D主要對(duì)探索模態(tài)邏輯的 道義解釋的人有價(jià)值。今天最常見的系統(tǒng)是模態(tài)邏心5，它通過增加使所有模態(tài)真理是必然的公理來粗壯的解答 了這個(gè)問題：例如，如果p是可能的，則p必然是可能的，如果p是必然的，則它必然 是必然的。很多人認(rèn)為它正當(dāng)?shù)母鶕?jù)是，它是在我們需要每個(gè)可能的世界相對(duì)于每個(gè)

12、其他世 界都是可能的時(shí)候所獲得的系統(tǒng)。不過，模態(tài)邏輯的其他系統(tǒng)已經(jīng)被公式化了，部分的因?yàn)?S5不能很好的適合我們感興趣的所有種類的形而上學(xué)模態(tài)。(若此則意味著可能的世界的談 論不能很好的適合這些種類的模態(tài))。模態(tài)邏輯的發(fā)展盡管亞里士多德的邏輯幾乎全部都關(guān)注直言三段論的理論，他的著作還包含在模態(tài)邏輯要點(diǎn) 上的一些延伸討論(比如他著名的在解釋篇 9中海戰(zhàn)悖論)，并且它們與潛在性和時(shí)間有關(guān) 連。遵從他的著作，經(jīng)院學(xué)者為模態(tài)邏輯的嚴(yán)格理論開發(fā)出了根基，大多在關(guān)于本質(zhì)性和偶 然性的陳述的邏輯的注釋的上下文中。在中世紀(jì)的作家中，在William of Ockham和John Duns Scotus的著作中

13、找到了關(guān)于模態(tài)邏輯的一些最重要的工作。形式模態(tài)邏輯的締造者是 dXewis，他在專著A Survey of Symbolic Logic(1918)中介 入了一個(gè)系統(tǒng)(后來叫做S3)，并(同C. H. Langford 一起)在書Symbolic Logic(1932)中 介入了系統(tǒng)S1-S5。J. C. C. McKinsey在1941年使用代數(shù)方法(帶有算子的布爾代數(shù))來證 明Lewis的S2和S4的可判定性。Saul Kripke從1959年開始為模態(tài)邏輯設(shè)計(jì)了關(guān)系語 義或可能世界語義。Vaughan Pratt在 1976 年介入了動(dòng)態(tài)邏輯。Amir Pnueli在 1977 年提 出

14、使用時(shí)態(tài)邏輯來公式化頻繁操作并發(fā)程序的行為。時(shí)間邏輯，在1957年由A. N. Prior發(fā)明，與模態(tài)邏輯有密切的關(guān)聯(lián)，因?yàn)樵黾恿四B(tài)算 子F和P，分別意味著今后和至今，導(dǎo)致了時(shí)間邏輯的一個(gè)系統(tǒng)。時(shí)間邏輯的風(fēng)味包括: 命題動(dòng)態(tài)邏輯(PDL)，命題線性時(shí)間邏輯(PLTL),線性時(shí)間邏輯(LTL),計(jì)算樹邏輯(CTL)， Hennessy-Milner 邏輯和 T。模態(tài)邏輯的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，也就是擴(kuò)充一元運(yùn)算的布爾代數(shù)(經(jīng)常叫做“模態(tài)代數(shù)”)，開始出現(xiàn)于 J. C. C. McKinsey在1941年對(duì)S2和S4是可判定性的證明，并于阿爾弗雷德塔斯基和 他的學(xué)生Bjarni Jonsson的工作(Jon

15、sson與Tarski 1951-52)中得到完全能力。這項(xiàng)工作顯 示了 S4和S5是內(nèi)部代數(shù)的模型，它是最初設(shè)計(jì)用來捕獲拓?fù)鋵W(xué)的內(nèi)部算子和閉包算子的 性質(zhì)的布爾代數(shù)的真擴(kuò)展。關(guān)于模態(tài)邏輯的課本典型不太多提及它與布爾代數(shù)和拓?fù)鋵W(xué)研究 的聯(lián)系。形式模態(tài)邏輯與有關(guān)數(shù)學(xué)的歷史概述可參見Goldblatt (2006)。引用M. Fitting and R.L. Mendelsohn (1998) First Order Modal Logic. Kluwer Academic Publishers.James Garson (2003) Modal logic. Entry in the Stanf

16、ord Encyclopedia of Philosophy.Rod Girle (2000) Modal Logics and Philosophy. Acumen (UK). The proof theory employs refutation trees (semantic tableaux). A good introduction to the varied interpretations of modal logic.Robert Goldblatt (1992) Logics of Time and Computation, CSLI Lecture Notes No. 7,

17、Centre for the Study of Language and Information, Stanford University, 2nd ed. (distributed by University of Chicago Press).Robert Goldblatt (1993) Mathematics of Modality, CSLI Lecture Notes No. 43, Centre for the Study of Language and Information, Stanford University. (distributed by University of

18、Chicago Press).G.E. Hughes and M.J. Cresswell (1968) An Introduction to Modal Logic, Methuen.G.E. Hughes and M.J. Cresswell (1984) A Companion to Modal Logic, Medhuen.G.E. Hughes and M.J. Cresswell (1996) A New Introduction to Modal Logic, Routledge.E.J. Lemmon (with Dana Scott), 1977, An Introduction to Modal Logic, American Philosophical Quarterly Monograph Series, no. 11 (ed. by Krister Segerberg), Basil Blackwell, Oxford.J. Jay Zeeman (1973) Modal Logic. D. Reidel Publishing Company.參見可能世界De dicto and de re混合邏輯內(nèi)部