【數(shù)學(xué)·參考答案】2023年普通高等學(xué)校招生星云線上統(tǒng)一模擬考試Ⅰ

1、絕密啟用前2023 年普通高等學(xué)校招生星云線上統(tǒng)一模擬考試數(shù)學(xué)試題參考答案選擇題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 A B D C D B B C AC 填空題 13 14 15 16 7491 4 4解答題17解：（1）由已知得 (na a 2S 1，1 2 n n(na 2a a 2S 1 1 2 n n1 n1-S a 1 S 1 S n n n nS S1 2 n n特別地，在中令n1a S S 1 1 2 n 1S ，1 1S 是首項為1，公比為2的等比數(shù)列；n S 1， n1，S 所以a 1（2）由（1）可知 2n 1 n S S 2 ，nn n 2 2 n n1故

2、1， n1，1 2 n ni ， a a a 1 n 21 2 n i22 i2注意到i i1 i2 ，所以當(dāng)n22i2 2i3 2i21 2 n 1 2 2 2 n i i n n1 ( ) 1 (6 ) 7 7a a a i3 i2 n2 n2 1 2 n2 2 2 2 i2證畢數(shù)學(xué)試題參考答案第 1頁（共 518解：（1x11 (4.95.15.1，x21 (4.85.1，1s (4 2 )2 2 21，1s (2 5 )2 2 22（2）由（1）可知Fs 2 2 ，2 s 621因此在 的顯著性水平下，無法推測機床在周期出現(xiàn)了比周期更嚴(yán)重的問題19解：（1 與交于點O，連接；在平面 于

3、F ， ，所以 ， ， ，平面 ，就是二面角P D 的平面角，從而 因為底面 是矩形， ，所以矩形是正方形 2， 2 又因為 ，所以是等邊三角形，故6 2 ， ， O，所以 是四棱錐P 的高1 1 6 2 6故四棱錐P 的體積V AB2 2 3 3 2 3（2 G1 1 ， ，所以G 是 的重心，故 3 3 ，所以即為直線 與平面 所成角于是 3， 13因此，直線 與平面所成角的正弦值為3 數(shù)學(xué)試題參考答案第 2頁（共 520解：（1）由正弦定理及已知可得2B1 sinB b 2A1 sin A a，整理可得2aBa bAb 由余弦定理可得a c b b c a2 2 2 2 2 22a a

4、b b ，整理可得2(ab)(ab)(ab)c ，所以 2 c2(ab)（2）由（1）可知c2 4(ab)2 ab)2 ab 由余弦定理可得16a b 2abC (a) 22abC 422abC ，2 2 2化簡可得67C記 的面積為S 1 1 6 3sinCS absinC sinC 2 2 7 C 7 C3注意到7S 3sinC SC 9S2 ，所以S ，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)C 4 34此時回代有7 ，可反解出82 2a 1 ，b1 ，c 2，易知符合題意4 4 面積的最大值為3421解：p（1）由題可知C的焦點為 )2，依距離公式可得p|20 2 5| 6 5 (p2 ( 2 22 25，

5、p 2所以C的方程為x2 4y ；（2x x2 2(x , ) ，1 B(x , 2 )1 24 4由xy ，可知直線的方程為2x x2y (xx ) 1 114 2x x x2y 1 1 2 4同理直線的方程為x x x2y 2 22 4 x x x2y 1 1 2 4x x x2 y2 2 2 4，x x x xP( 1 2 , 1 2)2 4，Pt,2t ，則有x x t，1 2所以可寫出直線 的方程為x x t 1 2數(shù)學(xué)試題參考答案第 3頁（共 5x x x x x x x t2 2 2(x x y )( )(xx ) 1 2 1 22 1 2 y x y xt 5 1 2 24 4

6、 4 4 4 2由 與l相交可知t 4聯(lián)立y 2x5， t t Q( , ) ty xt 5， t 4 t 4 2設(shè)H(x,y)，則由 t t (xt,yt (x ,y ) t 4 t 41 (xt,y(2tt4)xt5),(t4)ytt 41 t x,2t(y(xt4(x(yt4(yt 41 (xt (x t4x(x2(yt (y 2 2 2 2t 410yt 4(yy1 (x2yt (x y 10yt4(x y 5x02 2 2 2 2t 4上式關(guān)于t恒成立當(dāng)且僅當(dāng)x2y0， x y 10y0，2 2 x y 5x 02 2xy0，或5x8， y 1因此，存在定點H(0,5)或H，使得 2

7、2解：（1 f(x)sinxxax3 f(x)x1ax2 令g(x)x1ax2 g(x)sinx6 令h(x)sinx6 h(x)x6a（1a h(x)x10h(x)0當(dāng)且僅當(dāng)xk(kZ)，6g(x)在) 單調(diào)遞增，故g(x)g(0) 0g(x)0當(dāng)且僅當(dāng)x0 f(x)在) 也單調(diào)遞增，故 f(x) f(0) 0 f(x)0當(dāng)且僅當(dāng)x0 f(x)在) 仍單調(diào)遞增，故 f(x) f(0) 0 ；（01 a 時，注意到h(x)在 )6 2單調(diào)遞增，且h(0)6a10，h( )6a 0，2所以存在唯一x ，使得0 )2h(x )0，且在x )有h(x)00 0g(x )在x 單調(diào)遞減，故在x 有g(shù)(

8、x) g(0)00 0 0 f(x)在x 也單調(diào)遞減，故在0 x 有 f(x) f(0)0 0數(shù)學(xué)試題參考答案第 4頁（共 5 f(x)在x 仍單調(diào)遞減，故0f(x ) f(0)0 ， f(x)0不恒成立；0（a0時，由（）可知當(dāng)x0 f(x)sinxx 0， f(x)0不恒成立；1 1（a 時，由（）可知 f(x)sinxx x30 6 61綜合上述討論，a的取值范圍為 ,)；6（2）對于右側(cè)：由（）可知1 1 1 n 1 n 1 sin sin sin sin 13 24 (n k(k k(kk1 k11 n 1 1 1 1 1 1 3 ， ( ) )2 k k 2 2 2 n n2 4k

9、1所以該側(cè)不等號始終成立；1對于左側(cè)：由（1）可知當(dāng)x0sinx x x36 1 1 1 (xx設(shè)F(x) x x3 x)F(x)1 x2 6 2 x1 2(x在有F(x)0 ，所以F(x)在單調(diào)遞增，故當(dāng)0 x1F(x)0此時1sinx x x x) 36令1x nN )n(n1 1 (n n1 n22sin n(n n(n n(n n n1所以當(dāng)n2，nN1 1 1 1 1nsin sin sin sin sin13 24 (n 3 k(kk21 n 1 2n nsin )3 n n1k21 3 1sin )3 2 n1，令1 3 1sin )23 2 n11 3 1 3，注意到sin )