GCT數(shù)學排列組合二項式定理和概率課件

1、第7章 排列、組合、二項式定理和概率一、兩個原理二、排列三、組合五、二項式定理四、排列、組合的應用題六、概率（ 古典概型 ）（加法公式）（乘法公式）第7章 排列、組合、二項式定理和概率一、兩個原理二、排列三、第7章 排列、組合、二項式定理和概率一、兩個原理1. 分類計數(shù)原理（加法原理）若完成一件事有 類辦法。在第一類辦法中有 種不同的方法；在第二類辦法中有 種不同的方法；在第 類辦法中有 種不同的方法。則完成這件事共有：種不同的方法。第7章 排列、組合、二項式定理和概率一、兩個原理1. 分類2. 分步計數(shù)原理（乘法原理）若完成一件事需要分成 個步驟。做第一步有 種不同的方法；做第二步有 種不同

2、的方法；做第 步有 種不同的方法。則完成這件事共有：種不同的方法。例 城 城 ； 汽車3 火車2 飛機1 村 村 村 2. 分步計數(shù)原理（乘法原理）若完成一件事需要分成 例 4人報名參加3項比賽，每人報且只報一項， 則不同的報法有（ ）種。A. B. C. D. 解按人分步B二、排列1. 排列：從 個不同的元素中任取 個（ ）元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 個不同元素中取出 個元素的一個排列。特別：當 時，稱為全排列。 即 個不同元素全部取出的排列。例 4人報名參加3項比賽，每人報且只報一項， 2. 排列數(shù)從 個不同的元素中取出 個（ ）元素的所有排列的個數(shù)。記作：或例 例 由2，5，7

3、，8可組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？ 解（若可以有重復數(shù)字的三位數(shù)？）例 5人排成一排照相，共有多少種排法？ 解指 .2. 排列數(shù)從 個不同的元素中取出 個（ 3. 排列數(shù)公式特別：例 補 由 可組成多少個8位數(shù)的電話號碼？ 多少個沒有重復數(shù)字的8位數(shù)的電話號碼？ 3. 排列數(shù)公式特別：例 補 由 可三、組合1. 組合：從 個不同的元素中任取 個（ ）元素并成一組，叫做從 個不同元素中取出 個元素的一個組合。2. 組合數(shù)從 個不同的元素中取出 個（ ）元素的所有組合的個數(shù)。記作：例 指 . 由定義知三、組合1. 組合：從 個不同的元素中任取 3. 組合數(shù)公式例 4. 組合數(shù)的性質(zhì)（常當 時用

4、）例 3. 組合數(shù)公式例 4. 組合數(shù)的性質(zhì)（常當 C（ ）.補解A. B. C. D. 原式等差數(shù)列前n項和公式C（ ）.補解A. B. C. D. （ ）.補解原式（ ）.補解原式四、排列、組合的應用題（大致分為三類）1. 無限制條件的排列或組合題直接根據(jù)有關(guān)公式求。2. 有限制條件的排列或組合題直接計算法間接計算法直接計算法：把符合限制條件的排列（或組合）數(shù)直接計算出來。間接計算法：先算出無限制條件的所有排列（或組合）數(shù)，再從中減去全部不符合條件的排列（或組合）數(shù)。3. 排列、組合綜合題通常先考慮組合，后考慮排列。四、排列、組合的應用題（大致分為三類）1. 無限制條件的排例 5名學生和2

5、位教師排成一排照相，兩位教師 不在兩端，且要相鄰的排法共有（ ）種。DA. B. C. D. 解直接計算法分步法一法二先安排老師先安排學生例 5名學生和2位教師排成一排照相，兩位教師 補 6人排成一排照相，其中甲、乙兩人不能相鄰 的排法有（ ）種。 解法一（間接計算）法二（直接計算）分步先安排其余4人，再安排甲、乙。補 6人排成一排照相，其中甲、乙兩人不能相鄰 例 5個男生和2個女生站成一排照相。 （1）共有多少種排法？（2）男生甲必須站在左端或右端，且2個女生必須相鄰，有多少種排法？（3）男生甲必須站在中間，且2個女生必須相鄰，有多少種排法？解（3）（2）先安排甲甲先安排兩個女生（1）例 5

6、個男生和2個女生站成一排照相。 例 100件產(chǎn)品中，有3件次品，其余均為合格品， （1）恰有1件次品的取法有多少種？從這100件中任取3件，則：（2）至少有1件次品的取法有多少種？（3）至多有2件次品的取法有多少種？解（3）（2）（1）間接計算間接計算直接計算例 100件產(chǎn)品中，有3件次品，其余均為合格品， 補 從4名男生和3名女生中挑出3人站成一排， 3人中至少有一名男生的排法共有（ ）種。 A. B. C. D. 解C法一（間接計算）法二（直接計算）補 從4名男生和3名女生中挑出3人站成一排， 例 將4本不同的書分給3個人，每人至少1本， 不同分配方法的種數(shù)是（ ）。BA. B. C. D

7、. 解分步由題知，3人中有一人得到2本，其余2人各得1本。先把書分組，再例 將4本不同的書分給3個人，每人至少1本， 例 把4封不同的信投入3個不同的郵箱，且每個郵箱 至少投一封信，共有（ ）種投法？C解分步A. B. C. D. 例 把4封不同的信投入3個不同的郵箱，且每個郵箱 例 4個不同的小球放入甲、乙、丙、丁4個盒中， 恰有一個空盒的放法共有（ ）種。DA. B. C. D. 解甲乙丁丙分步先選一個空盒法二先把球分組，法一分步再把球放入4個盒中。例 4個不同的小球放入甲、乙、丙、丁4個盒中， 五、二項式定理定理對任意 ，都有：共 項上式稱為 的二項展開式。 展開式的通項： 展開式的二項

8、式系數(shù)即五、二項式定理定理對任意 ，都有：共 當 的二項式系數(shù)可排成下表：“楊輝三角” 二項式系數(shù)中，兩端都是1，且中間的系數(shù)最大. 二項式系數(shù)具有對稱性。 相鄰兩行系數(shù)間的關(guān)系（除兩端的1以外，每個系數(shù)都等于它“肩上”的兩數(shù)之和）。當 的二項式系 二項式系數(shù)的性質(zhì)（令 ） 展開式中某項的二項式系數(shù)與該項的系數(shù)不同。例 在 的展開式中， 第四項的二項式系數(shù)為：而第四項的系數(shù)為：（ 第四項為： ）第四項 r=3 二項式系數(shù)的性質(zhì)（令 B 右圖是我國古代的“楊輝三角形”，按其數(shù)字 構(gòu)成規(guī)律，圖中第八行所有 中應填數(shù)字的和補A. B. C. D. （09年）等于（ ）.解B 右圖是我國古代的“楊輝三

9、角形”，按其數(shù)字 求 的展開式中 的系數(shù)。 補解展開式的通項為： 令 ，得 的系數(shù)為： 注意：符號問題 求 的展開式中 的的展開式的二項式系數(shù)之和為64， 補則展開式中常數(shù)項為（ ）。 DA. B. C. D. 解由題知 展開式的通項為： 令 ，得 展開式中常數(shù)項為： 注意：二項式系數(shù)與第幾項系數(shù)的區(qū)別 的展開式的二項式系數(shù)之和為64， 補則展已知 展開式中所有系數(shù)之和等于81， 補則展開式中 項的系數(shù)為（ ）。 DA. B. C. D. 解設(shè)令 ，得 展開式的通項為： 展開式中 的系數(shù)為： 已知 展開式中所有系數(shù)之和等于8的展開式中， 的系數(shù)是（ ） 補難A. B. C. D. B解的系數(shù)為

10、：又的展開式中， 的系數(shù)是（ ） 補則 的值是（ ）. 補A若A. B. C. D. 解令 ，得 令 得 則 六、古典概率1. 基本概念 隨機現(xiàn)象：某些現(xiàn)象，在個別試驗中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，而在大量重復試驗中其結(jié)果又具有統(tǒng)計規(guī)律性，這些現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象。為了研究隨機現(xiàn)象，我們所進行的觀察或?qū)嶒?，稱為試驗。 隨機試驗：若一個試驗具有下列三個特點： 在相同條件下可以重復進行。 每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且事先可以 進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。知道試驗的所有可能結(jié)果。則稱這一試驗為隨機試驗。記為：六、古典概率1. 基本概念 隨機現(xiàn)象：某些現(xiàn)象，在個別試隨機試驗的樣本點：隨機試驗中

11、的每一個基本結(jié)果。隨機試驗的樣本空間：隨機試驗的全體樣本點組成的集合。記為： 隨機事件：隨機試驗的樣本空間的子集。（簡稱事件）（隨機試驗中，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的結(jié)果）。通常用 表示。例拋硬幣擲骰子出現(xiàn)反面出現(xiàn)正面，出現(xiàn)的點數(shù)小于3例拋擲一枚硬幣，觀察正面和反面出現(xiàn)的情況。擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。隨機試驗的樣本點：隨機試驗中的每一個基本結(jié)果。隨機試驗的樣本基本事件：由一個樣本點構(gòu)成的集合。（或 隨機試驗的每一個基本結(jié)果）事件 發(fā)生：在一次試驗中，當且僅當 中包含的一個一個樣本點出現(xiàn)。 事件的關(guān)系及運算設(shè) 為兩事件：“事件 與 中至少有一個發(fā)生”的事件。稱為事件 與 的并（和）.（或 事件“

12、 或 ”）。：“事件 與 同時發(fā)生”的事件。稱為事件 與 的交（積）.（或 事件“ 且 ”）。基本事件：由一個樣本點構(gòu)成的集合。（或 隨機試驗的每一個基本互斥事件（互不相容事件）：在一次試驗中，若 與 不可能同時發(fā)生。例基本事件是兩兩互斥的。擲骰子出現(xiàn)1點，例出現(xiàn)3點則 與 互斥。對立事件：在一次試驗中，若 與 不可能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，則稱 與 互為對立事件。的對立事件記為：事件 的概率：互斥事件（互不相容事件）：在一次試驗中，若 與 2. 古典概型若隨機試驗 滿足： 基本事件只有有限個。 每一個基本事件的發(fā)生是等可能的。（等可能概型）定理在古典概型中， 是一個隨機事件，則基本事件的總

13、數(shù)事件 所包含的基本事件的個數(shù)其中：則稱此試驗（試驗模型）為古典概型。 計算 常要用排列、組合的知識。2. 古典概型若隨機試驗 滿足： 基本事件只有有例 一袋內(nèi)有10個大小相同的球，其中有6個白球， 4個黑球?，F(xiàn)從中任取2球，求：（2）取出的2球恰好一黑一白的概率；解此題屬古典概型（1）取出的2球都是白球的概率；（3）取出的2球中至少有一個黑球的概率。法一（1）（2）（3）法二先不講！例 一袋內(nèi)有10個大小相同的球，其中有6個白球， 例 某市電話號碼由8位數(shù)字組成，設(shè)每位數(shù)字可以 是從0到9這10個數(shù)字中的任意一個，電話號碼A由8個不同數(shù)字組成的概率是（ ）。A. B. C. D. 解此題屬古

14、典概型例 某市電話號碼由8位數(shù)字組成，設(shè)每位數(shù)字可以 例 桌上有中文書6本、英文書6本、俄文書3本。 從中任取3本，其中恰有中文書、英文書、俄文書C各1本的概率是（ ）。A. B. C. D. 解此題屬古典概型例 桌上有中文書6本、英文書6本、俄文書3本。 例 將5個相同的球放入位于一排的8個格子中， 每格至多放一個球，則3個空格相連的概率是（ ）CA. B. C. D. 解此題屬古典概型 “3個空格相連”可看成占一個格子三個空格相連的放法共有6種，有兩種理解： 直接數(shù)出來例 將5個相同的球放入位于一排的8個格子中， 從 這十個數(shù)中任取四個數(shù)， 補A. B. C. D. B解其和為奇數(shù)的概率是

15、（ ）。（選最接近的一個選項）此題屬古典概型1奇3偶2奇2偶3奇1偶4奇4偶從 這十個數(shù)中任取若從 這十個數(shù)中任取3個不同的數(shù)， 補A. B. C. D. B則它們能構(gòu)成公比大于1的等比數(shù)列的概率是（ ）.解此題屬古典概型能構(gòu)成公比大于1的等比數(shù)列的3個數(shù)只有：四種情況。若從 這十個數(shù)中任取有長為1cm, 2cm，3cm, 4cm, 5cm, 6cm的六根細 補A. B. C. D. D木條，任取其中3根為邊能構(gòu)成一個三角形的概率解此題屬古典概型為（ ）.能構(gòu)成三角形的3根木條共有如下7種情況：有長為1cm, 2cm，3cm, 4cm, 5cm, 6cm 3. 互斥事件有一個發(fā)生的概率（加法公

16、式）定理若事件 與 互斥，則有：可推廣一般地，推論（常用于：“至少有一個 ） 3. 互斥事件有一個發(fā)生的概率（加法公式）定理若事件 例 一袋內(nèi)有10個大小相同的球，其中有6個白球， 4個黑球?，F(xiàn)從中任取2球，求：解（3）取出的2球中至少有一個黑球的概率。法二例 在10件產(chǎn)品中，有6件一等品，4件二等品。從中任 取3件，其中至少有一件為二等品的概率是多少？解有兩種方法例 一袋內(nèi)有10個大小相同的球，其中有6個白球， 例 在 中任取一數(shù)，求該數(shù)能被2整除或能被5整除的概率。解設(shè)該數(shù)能被2整除，則該數(shù)能被5整除（ ）例 在 中任取一數(shù)，求該數(shù)能被2整除 4. 相互獨立事件同時發(fā)生的概率（乘法公式）定

17、理若事件 與 相互獨立，則有：可推廣若一個事件是否發(fā)生對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響，則稱這兩個事件是相互獨立。（投籃、射擊）定理若事件 與 相互獨立，事件 與 ； 事件 與 ； 事件 與 。 都相互獨立。則： 4. 相互獨立事件同時發(fā)生的概率（乘法公式）定理若事件例 甲、乙兩人獨立射擊一目標，各射擊一次，已知甲命中概率為0.7，乙命中概率為0.6，試求：（2）恰有一人命中的概率；（1）兩人都命中的概率；（3）至少有一人命中的概率。解設(shè)甲命中，乙命中則由題知，（1）（2）互斥例 甲、乙兩人獨立射擊一目標，各射擊一次，已知甲命中概率為（3）法二法一設(shè)至少有一人命中，則法三（3）法二法一設(shè)至少有一

18、人命中，則法三例 打印一頁文件，甲出錯的概率為0.04，乙出錯的概率為0.05。從兩人打印的文件中各任取一頁，C其中恰有一頁出錯的概率是（ ）。A. B. C. D. 解設(shè)甲出錯，乙出錯則由題知，互斥例 打印一頁文件，甲出錯的概率為0.04，乙出錯的概率為0例 有兩個獨立的報警器，當緊急情況發(fā)生時，它們發(fā)出信號的概率分別是0.95和0.92，則在緊急情況D出現(xiàn)時，至少有一個報警器發(fā)出信號的概率是（ ）.A. B. C. D. 解設(shè)甲報警器發(fā)出信號則由題知，乙報警器發(fā)出信號法一法二例 有兩個獨立的報警器，當緊急情況發(fā)生時，它們發(fā)出信號的概在一段電路中并聯(lián)著3個自動開關(guān)，只要其中補A. B. C. D. A解有一個開關(guān)閉合，線路就能正常工作。已知在某段時間內(nèi)每個開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7，則在這段時間內(nèi)線路能正常工作的概率為（ ）.設(shè)某段時間內(nèi)甲