吳云建濟南組合

1、組合(組合計數(shù)、組合不等式與恒等式、調(diào)整、操作與博弈)吳云建 東南人學(xué)性質(zhì)1： n-集中所有不同可重組合的個數(shù)為：性質(zhì)2： n-集中每個元素重數(shù)至少為1的所有不同r-可重組合的個數(shù)為：方程衍+七+ %3 +Mo = 3的非負(fù)整數(shù)解共有多少個？方程2帀+x2 + x3 + xio = 3的非負(fù)整數(shù)解共有多少個？3用A(n,k)表示集合1,2, - -,n的不含連續(xù)整數(shù)的k元子集的個數(shù)。求處】，k)。性質(zhì) 3：設(shè)k一集S =a1/a2, .,ak,而n1,n2,.,nk是 k 個正整數(shù),且n+n2 +- + nk,則S中元素Hi(i= 1,2k)出現(xiàn)g次的所有n可重排列的個數(shù)為多少？4.4個A,

2、3個B, 2個C能組成多少個具有9位字母的字？平面上有相異的11個點，每兩點連成一條直線，共得48條不同的直線。則這口個點可 構(gòu)成多少個不同的三角形？ 有6個紅球，3個藍(lán)球，3個黃球。將這些球放在一條直線上，假設(shè)同色的球沒有區(qū)分。 試問：有多少種不同的放法，使得同色的球不相鄰？在9x9的象棋盤上用黑白兩色染色，使得相鄰的格子不同色，問有多少種方法將9只互不 攻擊的車放在同色的格子里？又若是8只呢？以一個正611 (neN+)邊形的頂點為頂點的互不全等的三角形有多少個？某學(xué)生在一次數(shù)學(xué)奧林匹克考試中嘗試解答了六道題，每道題都標(biāo)有0-10的分?jǐn)?shù)。已知 他在后面題目的得分從未超過此題前面題目的得分。

3、試問：他在這六個題目中的得分有多少 種不同的排列？設(shè)1】是正整數(shù)，若由1】個正整數(shù)組成的數(shù)列(可以相同)稱為“滿的”，則這個數(shù)列應(yīng)滿 足條件：對于每個正整數(shù)k(k 2),如果k在這個數(shù)列中，則k-l也在這個數(shù)列中，且k-l第一次出現(xiàn)的位置在k最后一次出現(xiàn)的位置的前面。問對于每個1】，有多少個“滿的”數(shù)列？一個mxn的矩形，每個單位正方形要么被染成黑色，要么被染成白色。若一個照色的 單位正方形在其所在行中，其左邊有某個單位正方形是白色的，且在其所在的列中，其上邊 有某個單位正方形是白色的，則稱這個黑色的單位正方形為“擱淺的”。求沒有擱淺的黑格 的2x11的矩形的數(shù)目。給定由+1)個點組成的正三角

4、形點陣，記以點陣中三個點為頂點的所有正三角形的 個數(shù)為f(n) o求f(n)的表達(dá)式。設(shè)心1，心，*是集合1,2, -,11中11個元素的一個排列。記比為滿足下面條件的(6*2,，J)的集合：k| 2(% +a2 4ak) (k = 1, 2,n).求14丨的值。14已知有三個委員會，對于任意兩個不同委員會的工作人員，第三個委員會中恰有10人都 認(rèn)識他們，也恰有10人都不認(rèn)識他們.試求工作人員的總數(shù).設(shè)m, n是正整數(shù)，IVnVm1。一個盒子被鎖上了若干把鎖，不同的鎖的鑰匙是不 同的。盒子上的所有鎖被打開后盒子才能打開。現(xiàn)有m個人，每個人都有其中某些鎖的鑰 匙。已知任何n個人均不能打開盒子，而

5、任何n+1個人均能打開這個盒子，求這個盒子上 鎖地數(shù)目的最小值d,并求此時每個人有多少把不同的鑰匙。將凸n邊AlA2 .An的邊與對角線染上紅藍(lán)兩色，使得沒有三邊均為藍(lán)色的三角形。對 k= lf2，,n, itlbk是由頂點去引出的藍(lán)色邊的條數(shù)。求證：加+52+ . + * yo什么時 候等號成立？怎么推廣？組合恒等式 = = jk! (n-k)lI 0knnk若n,k是非負(fù)整數(shù),且kn,則(3 = (=。Pascal 定理：若 n,k 是整數(shù)，且 0 kd,則 =J) + (；)。二項式定理及其推論：恒等式證明八ii k丿眄 +111八ii k丿眄 +1112f （T）叫（:卜1 + g +

6、牛27 證明:KW 211c c1 c2 cn n . 128設(shè)I】為正整數(shù)。求證：+5）棋盤的每個方格都隨意染黑白兩色之一，每次操作是將其中同行、同列、同對角線的連續(xù)五個方格改變成相反的顏色。試問：能否經(jīng)過有限次操作，使得所有方 格的顏色變成與原先相反的顏色？24Jack船長與他的海盜們掠奪到6個珍寶箱A，A，A，A，A，4，其中，A （i=l,2,-,6）內(nèi)有金幣枚（互不相等）。海盜們設(shè)計了一種箱子的布局圖，并推派一人和船長輪流拿珍寶箱。每次可以任意拿走與兩個或兩個以上的箱子相連的整個箱子。如 果船長最后所取得的金幣不少于海盜們所取得的金幣，那么船長獲勝。問：若船長先拿，他是否有恰當(dāng)?shù)娜》?/p>

7、保證獲勝？桌上有2009枚硬幣，將其一面染上白色，另一面染上照色。起初，將所有硬幣排成一排， 其中一枚硬幣黑面朝上，其余208枚硬幣均白面朝上。按如卞規(guī)則操作：每一次操作中，選 擇一枚黑面朝上的硬幣，并翻轉(zhuǎn)與其相鄰的兩枚硬幣：若所選的黑面朝上的硬幣在這一排硬 幣的兩端，則只需翻轉(zhuǎn)與端點相鄰的那一枚硬幣。請找出初始狀態(tài)時那枚黑面朝上的硬幣的 所有可能位置，使得經(jīng)過若干次操作后，所有的硬幣均黑面朝上。在一個圓的周圍放3k枚硬幣，其中k為正整數(shù)。定義一次變動：選取1枚數(shù)字朝上的書 簽，將這枚硬幣和它相鄰的2枚硬幣同時反過來。假設(shè)開始時，只有一枚硬幣是數(shù)字朝上的， 問可否經(jīng)過若干次變動將所有碩幣都變成

8、國徽朝上呢？ 3k + l或3k + 2情況又如何？有2012張卡片，每張卡片一面為金色，另一面為黑色，且在一張長桌子上排成一排。開 始時，所有卡片的金色面朝上。兩個玩家站在桌子的同側(cè)，且交替地進(jìn)行操作。每次操作規(guī) 則如下：選擇相鄰的50張卡片，且最左邊的一張卡片的金色面朝上，其翻轉(zhuǎn)卡片，使得金 色面朝上的變成黑色面朝上，黑色面朝上的變成金色面朝上，并規(guī)定最后一個按照上述規(guī)則 操作的玩家獲勝。問：（1）操作是否一定會結(jié)束？（2）先操作的玩家是否有取勝策略？ 求所有的正整數(shù),使得mxn的矩形能被分成若干個由三個單位正方形構(gòu)成的如圖 的圖形。 桌上有10堆核桃,每堆中分別有1, 2,10個核桃。兩

9、人輪流做取走核桃的游戲。 規(guī)定：每人每次只能取走一個核桃，一直進(jìn)行到剩卞三個核桃為止。如呆所剩下的三個核桃 屬于不同的三堆，則先開始的人輸；否則就是他贏。試問：誰有取勝策略？幢房子有偶數(shù)盞燈分布在若干個房間內(nèi)，每個房間內(nèi)至少有3盞燈。每盞燈恰好和另 外一盞燈共用一個開關(guān)（不一定是同一個房間的燈），每改變一次開關(guān)的狀態(tài)，共用這個開 關(guān)的兩盞燈同時改變它們的開關(guān)狀態(tài)。證明：對于一個初始狀態(tài)，都存在有限次操作，使得 每個房間中的燈既有開著的，又有關(guān)著的。某屆比賽共有64名選手參賽。每兩名選手比賽一場（允許平局）。所有比賽結(jié)束后，知 對所有以平局結(jié)束的比賽雙方，剩余的62名選手都至少戰(zhàn)勝過這兩名選手之一，且至少有 兩場比賽以平局結(jié)束。證明：可將所有的選手排成一列，使得每名選手都負(fù)于他后面的那一 名選手。甲、乙兩人進(jìn)行魔法比賽，他們輪流向?qū)Ψ绞┲湔Z（咒語是包含至少一個字母的有限個字 母排序），并