傳染病模型1課件

1、3.5 傳染病模型 傳染病是人類的大敵，通過疾病傳播過程中若干重要因素之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規(guī)律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作。在本節(jié)中，我們將主要用多房室系統(tǒng)的觀點來看待傳染病的流行，并建立起相應的多房室模型。 醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)，在一個民族或地區(qū)，當某種傳染病流傳時，波及到的總人數(shù)大體上保持為一個常數(shù)。即既非所有人都會得病也非毫無規(guī)律，兩次流行（同種疾?。┑牟叭藬?shù)不會相差太大。如何解釋這一現(xiàn)象呢？試用建模方法來加以證明。 問題的提出： 設某地區(qū)共有n+1人，最初時刻共有i人得病，t時刻已感染（infective）的病人數(shù)為i(t)，假定每一已感染者在

2、單位時間內將疾病傳播給k個人（k稱為該疾病的傳染強度），且設此疾病既不導致死亡也不會康復模型1 此模型即Malthus模型，它大體上反映了傳染病流行初期的病人增長情況，在醫(yī)學上有一定的參考價值，但隨著時間的推移，將越來越偏離實際情況。 已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區(qū)別，有必要將人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對每一類中的個體則不加任何區(qū)分，來建立兩房室系統(tǒng)。 則可導出：故可得： （3.15） 模型2 記t時刻的病人數(shù)與易感染人數(shù)（susceptible）分別為i(t)與s(t)，初始時刻的病人數(shù)為 i。根據(jù)病人不死也不會康復的假設及（競爭項）統(tǒng)計籌算律， 其中：解得：（3.17）

3、可得：（3.16） 統(tǒng)計結果顯示，(3.17)預報結果比(3.15)更接近實際情況。醫(yī)學上稱曲線 為傳染病曲線，并稱 最大值時刻t1為此傳染病的流行高峰。令：得：此值與傳染病的實際高峰期非常接近，可用作醫(yī)學上的預報公式。 模型2仍有不足之處，它無法解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，且當時間趨與無窮時，模型預測最終所有人都得病，與實際情況不符。 為了使模型更精確，有必要再將人群細分，建立多房室系統(tǒng)infectiverecoveredsusceptiblekl （3.18） l 稱為傳染病恢復系數(shù) 求解過程如下： 對（3）式求導，由（1）、（2）得： 解得：記： 則： 將人群劃分為三類（見右圖）：易感染者、已

4、感染者和已恢復者（recovered）。分別記t時刻的三類人數(shù)為s(t)、i(t)和r(t)，則可建立下面的三房室模型： 模型3infectiverecoveredsusceptiblekl 由(1)式可得： 從而解得：積分得：（3.19） 不難驗證，當t+時，r(t)趨向于一個常數(shù)，從而可以解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象。 為揭示產生上述現(xiàn)象的原因（3.18）中的第（1）式改寫成： 其中 通常是一個與疾病種類有關的較大的常數(shù)。下面對 進行討論，請參見右圖如果 ，則有 ，此疾病在該地區(qū)根本流行不起來。如果 ，則開始時 ，i(t)單增。但在i(t)增加的同時，伴隨地有s(t)單減。當s(t)減少到小于等于 時， i(t)開始減小，直至此疾病在該地區(qū)消失。鑒于在本模型中的作用， 被醫(yī)生們稱為此疾病在該地區(qū)的閥值。 的引入解釋了為什么此疾病沒有波及到該地區(qū)的所有人。圖3-14 通常情況下，傳染病波及的人數(shù)占總人數(shù)的百分比不會太大，故 一般是小量。利用泰勒公式展開取前三項，有： 代入（3.20）得近似方程：積分得：其中：這里雙曲正切函數(shù) ：而：對r(t)求導 ：（3.21）曲線 在醫(yī)學上被稱為疾病傳染曲線。圖3-14（a）給出了（3.21）式曲線的圖形，可用醫(yī)療單位每天實際登錄數(shù)進行比較擬