截長補短法練習(xí)

1、截長補短法例：截長補短法是幾何證明題中十分重要的方法。通常來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系。FDCHG截長補短法有多種方法。截長法：BA在正方形 ABCD 中，DE=DF，DG CE，交 CA 于 G，GH AF，交（1）過某一點作長邊的垂線邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。補短法AD 于P，交CE 延長線于H，請問三條粗線 的數(shù)量關(guān)系方法一（好想不好證）（1）延長短邊。FDC合到一起。EHPGBA方法二（好證不好想）FDCEHPGBMA例題不詳解。請問現(xiàn)在 又有什么數(shù)量關(guān)系？2 AB（1）變形 cFADCEF（1）正方形 ABCD 中，點 E 在 CD 上，E點 F 在 BC 上，EAF=

2、45 。oBjC求證：EF=DE+BFD（1）變形 a正三角形 ABC 中，E 在 AB 上，F(xiàn) 在 AC上EDF=45 。DB=DC，BDC=120 。ooADB請問現(xiàn)在 又有什么數(shù)量關(guān)系？CE（1）變形 dADBF正方形 ABCD 中，點E 在 CD 延長線上，F(xiàn)點 F 在 BC 延長線上，EAF=45 。oC請問現(xiàn)在 又有什么數(shù)量關(guān)系？E正方形 ABCD 中，點 E 在 CD 上，點 F在 BC 上，EAD=15 ，F(xiàn)AB=30 。oo（1）變形 bAD=3F求 AEF 的面積ABCDE正方形 ABCD 中，點E 在 DC 延長線上，點 F 在 CB 延長線上，EAF=45 。o由四邊形

3、ABCD是正方形得ABADE=ABG=90oAD=ABF又DE=BG所以ADE ABG（SAS）EAD=GABGDCE延長CD到點AG。 AE=AG由四邊形ABCD是正方形得由四邊形ABCD是正方形得ADG=ABF=90DAB=90 =DAG+GABooAD=AB=DAG+EAD=GAE又DG=BF所以GAF=GAE-EAF所以ADG ABF（SAS）GAD=FABAG=AF=90 -45 =45oooGAF=EAF=45o由四邊形ABCD是正方形得又AG=AEAF=AFDAB=90 =DAF+FABo=DAF+GAD=GAF所以GAE=GAF-EAF所以EAF GAF（SAS）EF=GF=B

4、F-BG=BF-DE=90 -45 =45ooo變形bGAE=FAE=45o又AG=AFAE=AEFAB所以EAG EAF（SAS）EF=GE=GD+DE=BF+DEDCE變形aGEF=DE-BFAB在DC上截取AG。由四邊形ABCD是正方形得GADG=ABF=90oDCEAD=AB又DG=BF所以ADG ABF（SAS）GAD=FABAG=AFFEF= BF-DE在BC上截取AG。 由四邊形ABCD是正方形得EDB=GDCDE=DGo又DBC=120 =EDB+EDCo=GDC+EDC=EDG所以GDF=EDG-EDFoooooo所以EAG EAF（SAS）EF=EG=ED-GD=DE-BF

5、所以GDF EDF（SAS）EF=GF=CG+FC=BE+FC變形 c A變形 d FEBCGD延長 AC 到點 DG。 過 E 作 EHAG.前面如（1）所證，由ABC 是正三角形得ADG ABF，EAG EAFoo在 Rt ADG 中， GAD=30 ，AD=又 DB=DC，BDC=120oo3所以DBC=DCB=30oDBE=ABC+DBC=60 +30 =90ooooACD=ACB+DCB=60 +30 =90oooo所以GCD=180 -ACD=90ooDBE=DCG=903o又 DB=DC，BE=CG所以DBE DCG（SAS）3（2）加強版56NABABOEFCDE（2）DCM正

6、方形 ABCD 中，對角線AC 與 BD 交于O，點 E 在 BD 上，AE 平分DAC。求證：AC/2=AD-EO正方形 ABCD 中，M 在 CD 上，N 在 DA延長線上，CM=AN，點 E 在 BD 上，NE平分DNM。請問 MN、AD、EF 有什么數(shù)量關(guān)系？過 E 作 EGAD 于 G，作 EQAB 于 Q，過 B 做 BPMN 于 P按照（2）的解法，可求證，GNE FNE（AAS）ABDGE 為等腰直角三角形AG=AD-DG=AD-EF，OGD因為四邊形 ABCD 為正方形，ECABC=GAQ=BCM=90o過 E 作 EGAD 于 G因為四邊形 ABCD 是正方形BD 平分AB

7、C，BC=BAABD=ABC/2=45 ，又EQB=90oooADC=90 ，BD 平分ADC，ACBDoEQB 為等腰 Rt 三角形，BEQ=45所以ADB=ADC/2=45o因為GAQ=EGA=EQA=90o因為 AE 平分DAC，EOAC，EGAD所以EAO=EAG，所以四邊形 AGEQ 為矩形，EQ=AG=AD-EF，EQ/AGDGE= AOE=AGE=90 又 AE=AE，oQEN=ENG所以AEO AEG（AAS）所以 AG=AO，EO=EG又ENG=ENF，所以QEN=ENF由 BC=BA，BCM=BAN=90 o又ADB=45 ，DGE=90oo所以BCM BAN（SAS）BM=BN，CBM=ABN所以DGE 為等腰直角三角形DG=EG=EOABC=90 =ABM+CBMoAD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2=ABM+ABN=MBN，又 BM=BN所以MBN 為等腰 Rt 三角形，又 BP斜邊 MN 于 P，所以NPB 為等腰 Rt 三角形。BP=MN/2，PNB=45 。oBNE=ENF+PNBBEN=QEN+QEB又QEN=ENF，PNB