高考數學直線方程訓練2

1、直線方程一. 教學內容： 直線方程知識點直線方程兩點式：l P x 求直線l 的方程？k y2 y1 1122212x x解：21y y k x 121 y y y2 y1 x x 1x x121 y y1y y21x x1x x211）x1 或1 不能用兩點式表示，即與x 軸平行或與x 軸垂直的直線不能用兩點式表示，故平面上的直線與兩點式方程不是一一對應。2）（y x x ）（y y （x ）121211此方程與平面上的直線一一對應。直線方程的截距式：公式推導：已知直線與x 軸交于A，）與y 軸交于B（，0，其中，0）求l 的方程。y 0 x a y a xb00 aba x y 1 （截距

2、式）ab1）特殊情況：當0 或b0 時不能用上式，即過原點或與x 軸平行或與y 行的直線不能用截距式。（2）截距式是兩點式的特殊情況。直線方程的一般式：方程形式：Ax By C 0，A、B不同時為零。適用范圍：平面直角坐標系中，任何一條直線都可由一般式表示出來。關于直線方程形式間的互化方法?！镜湫屠}】例1.已知直線過點P（-，且與兩坐標軸圍成三角形面積為5，求直線l 的方程。設直線的截距式方程為：x y 1解：5 ab4 1則有ab12 ab 5 a 5，b 2或a 5 ，b 4 2 直線方程為 8x 5y 20 0或2x 5y 10 0例2.如圖，已知直線l經過點P，且與x軸、y軸的正半軸

3、分別交于點A。求三角形AOBl 的方程。l在兩坐標軸上的截距之和的最小值及此時直線的方程。yyBNP（3，2）OMAx1法一：設（，Bb，0（，b）則直線方程為 x y 1ab以P（3，2）代入得： 3 2 1 b ab2a a 的面積S 1ab a2a 6a 3 92a3a 3 9a 1296a 3 6當a39，即a 6，b 4a 3AOB值最小。x y 164由1 法二：ab 243 2 26 得： 2ab6ababab6故S ab 12121當 3 2 1 ，即a 6，b 4時，S 12 .ab2a2min法三： S ，a2 Sa 0a 3a 為實數，0 S 2 12S 0 S 12代入

4、上式得：a 6，b 4.過P 分別作x軸、y軸的垂線PMP（N為垂足，并設PABPNS S S SOMPNPAMPBN 6 1 2 2 cot 1 3 3tan22 62cot 9 6 29 129 tan 2當2 cot 9 tan，即tan 2 1223min 3 2 1法一： ab a b 3 2 b 33b 2a 2abab 3b 2a 55 5 22a2aabab6a2a ，即a 36，b 26時，(a 6a6 5 26a b MA NBmin法二： 3 2 cot 3tan 5 2 cot 3tan2 cot32 cot3tan6 5 26 當2 cot 3 tan，即tan ，即

5、a 36，b 26時，66366bmin 5 23. 已知直線mxny120 在x y -3 4，求m，n 的值。（1）將直線方程化成截距式后（或直接）求出直線在兩軸上的截距、解關于，n2）由已知條件，直線經過點（-0，由此得n 的方程組，解之即可。1：由截距意義知，直線經過A（-3，0）和B（0，4）兩點，因此有m 3 n 0 12 0m 0 n 4 12 0解之得：m 4，n 3解法 2：將方程mxny120 化為截距式，得：x 12y1 12mn因此有12m 312 4n解之得：m 4，n 3例4.兩條直線：a x b111y 3 和 l ：a2x b2y 3 相交于點P（1，2），求經

6、過點Aa ，b11和，b2的直線AB的方程。11，l P（1，2），得：2a11 3，a2 32即點Aa ，b112x 2y 3l：x 2y 3 0例5.在直線3x y 1 0上求一P，使到兩點1），（2，0）的距離相等。（）設P（，則有3x，故點P 的坐標為x，3，由距離公式得x的方程，解得x0。2）設P（x，求出兩點-（）的中垂線方程為10，再解方程組得P0。解法：設Px，則有31故點P 的坐標為（x，3x1）x x 2 3x 22x 22 3x 2解之得：x0所求的點為P（0，1）解法：設Px，兩點-（0）所連線段的中垂線方程為：x y 1 0又3x y 1 1 2 解由、組成的方程組得

7、：P（0，1）例6.已知直線l：kx y12k 0(k R)l過定點；l x 軸負半軸于y 軸正半軸于 的面積為S 的最小值，l 的方程；若直線不經過第四象限，求k （）證直線系過定點，可用分離參數法。求AOB S 的最小值，應先求出目標函數Sf(k)選擇最小值的求法。直線不經過第四象限的充要條件是：直線在x -2，在y 1。或由直線經過定點知斜率大于或等于零。1）直線l 的方程是：k 2 y 0 x 2 0 x 2令y0得：y 1無論k 取何值，直線總經過定點（-2，1）l的方程，得： 12kk，B 012k 1 2k 0依題意得：k12k 012解得：k12 S OA OB 112k1 2

8、1 2kk 12k) 1 4k1 42k2k 1 2 442 ”成立的條件是k 0且4k 1 ，即k 1k2S 4minl：x 2y 4 0由（2）知：直線在x12kk在y軸上的截距為1 2k 1 2k 2要使直線不經過第四象限，則必須k12k 1解之得：k0小結：本題證明直線系過定點問題所使用的“分離參數法方法。2x 3y 6 0 對稱的直線方程。例 7.分析：利用所求直線上任意一點P 關于點A P解：設為所求直線上任一點，則： P（x ，y ）在已知直線2x 3y 6 0上002x3y 6 000線段 PP的中點為 A（1，-1）1 x x y y， 1022x 2 2 y00 x y 6

9、 02x 3y 8 0故所求直線的方程為 2x 3y 8 0注意：本題是一個關于點對稱的直線的求法問題，要注意利用點對稱的特點求解。例 8. 一根彈簧掛 6 公斤的物體時，長11 cm，掛 9 公斤的物體時，長 17 cm。已知彈簧長度 l（cm）和所掛物體的重量 w（公斤）的關系可以用直線方程來表示。用兩點式表示這個方程， 并根據這個方程，求彈簧長為 13 cm 時所掛物體的重量。解：以 Ow 為橫坐標軸，以Ol 為縱坐標軸建立直角坐標系（如圖所示）由題意知直線過點（6，11）和點（9，17） 由直線的兩點式方程得所求直線的方程為：l 11 w 617119 6l 1313 11 w 6w7

10、17119 6即彈簧長為 13 cm 時所掛物體的重量為 7 公斤。l w 6 公11 c；彈簧掛9 17 c（1和917。l、w 關系，得解。例9.求直線axbyc 0的傾斜 。當b 0時，斜率不存在，傾斜角 解：2當b 0時，方程ax by c 0可化為y a x cbb直線的斜率k a ，即tan abba 0，則tan a 0， arctan abbb若 a 0，則tan a 0bb arctan a arctanabb小結：由直線方程的一般式求直線的傾斜角時，須先求其斜率，這時通常把直線方程化成斜（若直線沒有斜率即y 的系數為9然 k0 時，直線的傾斜角為。例 10.11在直線 By

11、 C 0B 0)的上方。求證：Ax By C 011證明：如圖所示，過P（x1，y1）作直線垂直于x l 于M設M 點的坐標為x ，y ，則：12Ax By C 012y A x C2B1BP 在M 的上方y y12y1 A x CB1B兩端同乘以B，得：By1 Ax C1即 Ax By C 011小結：如果Px ，y1在直線的下方，則y1 y y2 A x CB1B兩端同乘以B，得：By1 Ax C1 Ax By C 011點 P 縱坐標。【模擬試題】直線axby1(ab0)與兩坐標軸圍成的三角形的面積是（）1ab2ab 1212112ab22ab過點A（4，1）且在兩坐標軸上的截距相等的直

12、線的方程是（）x y 5x y 5x y 5x 4y 0 x y 5x 4y 0已知直線AxByC0的橫截距大于縱截距，則A、C應滿足的條件是（）B. C C 0C C 0C.ABD.AB直線：ax y b 0，l121：bx y a 0(ab 的圖象只可能是下圖中的（）直線2x y 7 0在x 軸上的截距為a，在y 軸上的截距為b，則、b 的值是（）A.a 7，b a 7，b 7277a ，b 72a ，b 7727 arctan 1l2l 的傾斜角為且過點，的方程為。由已知條件求下列直線的斜截式方程。P 2，1、P 0，3直線經過點 12；直線在x2，在y軸上的截距為l m2 2m 3 x

13、 2m2 m 1 y 6 2m 0，根據下列條件分別確定實數m 的值。l x軸上的截距是；。過點P（2，1）l x 軸、y 軸的正半軸于B PAPB 取最小值時， l 的方程。已知直線與坐標軸圍成的三角形面積為3，且在x y 5，求這樣的直線的條數。已知點P（-，1Q2，直線y kx1與線段PQ 相交，求實數k的范圍?！驹囶}答案】D解析：在方程ax by 1中y 1令x 0得b ；x x 令y 0得a。直線ax by 1 (ab 0) 與兩坐標軸圍成的三角形面積是：1 1 12 a1 1 12 a b2abCy k y k xk 解析：設過點A（4，1）的直線的方程為令 x 0 ，得 y 1

14、4k ；y0 x 4 1k 。由已知得：1 4k 4 1kk 1 k 1或4所求直線的方程為 x y 5x 4 y 0 （論。解析：Ax by C 0中，y Cx 0y0B ；x CA C CC C 0由BAB得：AB解析：由：axyb0l1得11得 ax b由l ：bx y a0l bx 由22下面用排除法，在A 選項中，由的圖象知a0，b0，判斷知l2的圖象不符合。21B 選項中，由1的圖象知a0，b0，判斷知l的圖象符合，所以應選B。12D12解析：在方程2x y 7 0 中分別令 x 0，y 0 ，得：7b 7，a 26.x2y1 0解析：的傾斜角為 arctan 12直線 l的斜率1

15、k 2，由點斜式得直線l的方程為：y 0 1 2x2y1 07. 分析：）直線的兩點式方程為：y 2 x 2310 2化為斜截式方程為 y 2x 3x y 1（2）直線截距式方程為23y 化為斜截式方程為32 x 38. ）m2 2m 3 x 2m2 m 1 y 6 2m 0中，x 2m x 令 y 0 ，得m2 2m 32m6 3 2m 3解得：m ，m 535（舍去）為所求。m2 2m 3 1（2）12m2 m 1m 解得：43 為所求（m 1舍去）y k xy k xk 解：l 的方程為分別令 x 0，y 0 得：1 k 2 1 k 2 8 k212 2 2k 012 1 2，0kPAPB k222 2k2 4k0，當且僅當k 1時， xy3PAPB取得最小值4x