高考數(shù)學(xué)直線方程訓(xùn)練2

1、直線方程一. 教學(xué)內(nèi)容： 直線方程知識(shí)點(diǎn)直線方程兩點(diǎn)式：l P x 求直線l 的方程？k y2 y1 1122212x x解：21y y k x 121 y y y2 y1 x x 1x x121 y y1y y21x x1x x211）x1 或1 不能用兩點(diǎn)式表示，即與x 軸平行或與x 軸垂直的直線不能用兩點(diǎn)式表示，故平面上的直線與兩點(diǎn)式方程不是一一對(duì)應(yīng)。2）（y x x ）（y y （x ）121211此方程與平面上的直線一一對(duì)應(yīng)。直線方程的截距式：公式推導(dǎo)：已知直線與x 軸交于A，）與y 軸交于B（，0，其中，0）求l 的方程。y 0 x a y a xb00 aba x y 1 （截距

2、式）ab1）特殊情況：當(dāng)0 或b0 時(shí)不能用上式，即過(guò)原點(diǎn)或與x 軸平行或與y 行的直線不能用截距式。（2）截距式是兩點(diǎn)式的特殊情況。直線方程的一般式：方程形式：Ax By C 0，A、B不同時(shí)為零。適用范圍：平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可由一般式表示出來(lái)。關(guān)于直線方程形式間的互化方法?！镜湫屠}】例1.已知直線過(guò)點(diǎn)P（-，且與兩坐標(biāo)軸圍成三角形面積為5，求直線l 的方程。設(shè)直線的截距式方程為：x y 1解：5 ab4 1則有ab12 ab 5 a 5，b 2或a 5 ，b 4 2 直線方程為 8x 5y 20 0或2x 5y 10 0例2.如圖，已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且與x軸、y軸的正半軸

3、分別交于點(diǎn)A。求三角形AOBl 的方程。l在兩坐標(biāo)軸上的截距之和的最小值及此時(shí)直線的方程。yyBNP（3，2）OMAx1法一：設(shè)（，Bb，0（，b）則直線方程為 x y 1ab以P（3，2）代入得： 3 2 1 b ab2a a 的面積S 1ab a2a 6a 3 92a3a 3 9a 1296a 3 6當(dāng)a39，即a 6，b 4a 3AOB值最小。x y 164由1 法二：ab 243 2 26 得： 2ab6ababab6故S ab 12121當(dāng) 3 2 1 ，即a 6，b 4時(shí)，S 12 .ab2a2min法三： S ，a2 Sa 0a 3a 為實(shí)數(shù)，0 S 2 12S 0 S 12代入

4、上式得：a 6，b 4.過(guò)P 分別作x軸、y軸的垂線PMP（N為垂足，并設(shè)PABPNS S S SOMPNPAMPBN 6 1 2 2 cot 1 3 3tan22 62cot 9 6 29 129 tan 2當(dāng)2 cot 9 tan，即tan 2 1223min 3 2 1法一： ab a b 3 2 b 33b 2a 2abab 3b 2a 55 5 22a2aabab6a2a ，即a 36，b 26時(shí)，(a 6a6 5 26a b MA NBmin法二： 3 2 cot 3tan 5 2 cot 3tan2 cot32 cot3tan6 5 26 當(dāng)2 cot 3 tan，即tan ，即

5、a 36，b 26時(shí)，66366bmin 5 23. 已知直線mxny120 在x y -3 4，求m，n 的值。（1）將直線方程化成截距式后（或直接）求出直線在兩軸上的截距、解關(guān)于，n2）由已知條件，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-0，由此得n 的方程組，解之即可。1：由截距意義知，直線經(jīng)過(guò)A（-3，0）和B（0，4）兩點(diǎn)，因此有m 3 n 0 12 0m 0 n 4 12 0解之得：m 4，n 3解法 2：將方程mxny120 化為截距式，得：x 12y1 12mn因此有12m 312 4n解之得：m 4，n 3例4.兩條直線：a x b111y 3 和 l ：a2x b2y 3 相交于點(diǎn)P（1，2），求經(jīng)

6、過(guò)點(diǎn)Aa ，b11和，b2的直線AB的方程。11，l P（1，2），得：2a11 3，a2 32即點(diǎn)Aa ，b112x 2y 3l：x 2y 3 0例5.在直線3x y 1 0上求一P，使到兩點(diǎn)1），（2，0）的距離相等。（）設(shè)P（，則有3x，故點(diǎn)P 的坐標(biāo)為x，3，由距離公式得x的方程，解得x0。2）設(shè)P（x，求出兩點(diǎn)-（）的中垂線方程為10，再解方程組得P0。解法：設(shè)Px，則有31故點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（x，3x1）x x 2 3x 22x 22 3x 2解之得：x0所求的點(diǎn)為P（0，1）解法：設(shè)Px，兩點(diǎn)-（0）所連線段的中垂線方程為：x y 1 0又3x y 1 1 2 解由、組成的方程組得

7、：P（0，1）例6.已知直線l：kx y12k 0(k R)l過(guò)定點(diǎn)；l x 軸負(fù)半軸于y 軸正半軸于 的面積為S 的最小值，l 的方程；若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求k （）證直線系過(guò)定點(diǎn)，可用分離參數(shù)法。求AOB S 的最小值，應(yīng)先求出目標(biāo)函數(shù)Sf(k)選擇最小值的求法。直線不經(jīng)過(guò)第四象限的充要條件是：直線在x -2，在y 1。或由直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)知斜率大于或等于零。1）直線l 的方程是：k 2 y 0 x 2 0 x 2令y0得：y 1無(wú)論k 取何值，直線總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（-2，1）l的方程，得： 12kk，B 012k 1 2k 0依題意得：k12k 012解得：k12 S OA OB 112k1 2

8、1 2kk 12k) 1 4k1 42k2k 1 2 442 ”成立的條件是k 0且4k 1 ，即k 1k2S 4minl：x 2y 4 0由（2）知：直線在x12kk在y軸上的截距為1 2k 1 2k 2要使直線不經(jīng)過(guò)第四象限，則必須k12k 1解之得：k0小結(jié)：本題證明直線系過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題所使用的“分離參數(shù)法方法。2x 3y 6 0 對(duì)稱的直線方程。例 7.分析：利用所求直線上任意一點(diǎn)P 關(guān)于點(diǎn)A P解：設(shè)為所求直線上任一點(diǎn)，則： P（x ，y ）在已知直線2x 3y 6 0上002x3y 6 000線段 PP的中點(diǎn)為 A（1，-1）1 x x y y， 1022x 2 2 y00 x y 6

9、 02x 3y 8 0故所求直線的方程為 2x 3y 8 0注意：本題是一個(gè)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的求法問(wèn)題，要注意利用點(diǎn)對(duì)稱的特點(diǎn)求解。例 8. 一根彈簧掛 6 公斤的物體時(shí)，長(zhǎng)11 cm，掛 9 公斤的物體時(shí)，長(zhǎng) 17 cm。已知彈簧長(zhǎng)度 l（cm）和所掛物體的重量 w（公斤）的關(guān)系可以用直線方程來(lái)表示。用兩點(diǎn)式表示這個(gè)方程， 并根據(jù)這個(gè)方程，求彈簧長(zhǎng)為 13 cm 時(shí)所掛物體的重量。解：以 Ow 為橫坐標(biāo)軸，以O(shè)l 為縱坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系（如圖所示）由題意知直線過(guò)點(diǎn)（6，11）和點(diǎn)（9，17） 由直線的兩點(diǎn)式方程得所求直線的方程為：l 11 w 617119 6l 1313 11 w 6w7

10、17119 6即彈簧長(zhǎng)為 13 cm 時(shí)所掛物體的重量為 7 公斤。l w 6 公11 c；彈簧掛9 17 c（1和917。l、w 關(guān)系，得解。例9.求直線axbyc 0的傾斜 。當(dāng)b 0時(shí)，斜率不存在，傾斜角 解：2當(dāng)b 0時(shí)，方程ax by c 0可化為y a x cbb直線的斜率k a ，即tan abba 0，則tan a 0， arctan abbb若 a 0，則tan a 0bb arctan a arctanabb小結(jié)：由直線方程的一般式求直線的傾斜角時(shí)，須先求其斜率，這時(shí)通常把直線方程化成斜（若直線沒(méi)有斜率即y 的系數(shù)為9然 k0 時(shí)，直線的傾斜角為。例 10.11在直線 By

11、 C 0B 0)的上方。求證：Ax By C 011證明：如圖所示，過(guò)P（x1，y1）作直線垂直于x l 于M設(shè)M 點(diǎn)的坐標(biāo)為x ，y ，則：12Ax By C 012y A x C2B1BP 在M 的上方y(tǒng) y12y1 A x CB1B兩端同乘以B，得：By1 Ax C1即 Ax By C 011小結(jié)：如果Px ，y1在直線的下方，則y1 y y2 A x CB1B兩端同乘以B，得：By1 Ax C1 Ax By C 011點(diǎn) P 縱坐標(biāo)?！灸M試題】直線axby1(ab0)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是（）1ab2ab 1212112ab22ab過(guò)點(diǎn)A（4，1）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直

12、線的方程是（）x y 5x y 5x y 5x 4y 0 x y 5x 4y 0已知直線AxByC0的橫截距大于縱截距，則A、C應(yīng)滿足的條件是（）B. C C 0C C 0C.ABD.AB直線：ax y b 0，l121：bx y a 0(ab 的圖象只可能是下圖中的（）直線2x y 7 0在x 軸上的截距為a，在y 軸上的截距為b，則、b 的值是（）A.a 7，b a 7，b 7277a ，b 72a ，b 7727 arctan 1l2l 的傾斜角為且過(guò)點(diǎn)，的方程為。由已知條件求下列直線的斜截式方程。P 2，1、P 0，3直線經(jīng)過(guò)點(diǎn) 12；直線在x2，在y軸上的截距為l m2 2m 3 x

13、 2m2 m 1 y 6 2m 0，根據(jù)下列條件分別確定實(shí)數(shù)m 的值。l x軸上的截距是；。過(guò)點(diǎn)P（2，1）l x 軸、y 軸的正半軸于B PAPB 取最小值時(shí)， l 的方程。已知直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為3，且在x y 5，求這樣的直線的條數(shù)。已知點(diǎn)P（-，1Q2，直線y kx1與線段PQ 相交，求實(shí)數(shù)k的范圍。【試題答案】D解析：在方程ax by 1中y 1令x 0得b ；x x 令y 0得a。直線ax by 1 (ab 0) 與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是：1 1 12 a1 1 12 a b2abCy k y k xk 解析：設(shè)過(guò)點(diǎn)A（4，1）的直線的方程為令 x 0 ，得 y 1

14、4k ；y0 x 4 1k 。由已知得：1 4k 4 1kk 1 k 1或4所求直線的方程為 x y 5x 4 y 0 （論。解析：Ax by C 0中，y Cx 0y0B ；x CA C CC C 0由BAB得：AB解析：由：axyb0l1得11得 ax b由l ：bx y a0l bx 由22下面用排除法，在A 選項(xiàng)中，由的圖象知a0，b0，判斷知l2的圖象不符合。21B 選項(xiàng)中，由1的圖象知a0，b0，判斷知l的圖象符合，所以應(yīng)選B。12D12解析：在方程2x y 7 0 中分別令 x 0，y 0 ，得：7b 7，a 26.x2y1 0解析：的傾斜角為 arctan 12直線 l的斜率1

15、k 2，由點(diǎn)斜式得直線l的方程為：y 0 1 2x2y1 07. 分析：）直線的兩點(diǎn)式方程為：y 2 x 2310 2化為斜截式方程為 y 2x 3x y 1（2）直線截距式方程為23y 化為斜截式方程為32 x 38. ）m2 2m 3 x 2m2 m 1 y 6 2m 0中，x 2m x 令 y 0 ，得m2 2m 32m6 3 2m 3解得：m ，m 535（舍去）為所求。m2 2m 3 1（2）12m2 m 1m 解得：43 為所求（m 1舍去）y k xy k xk 解：l 的方程為分別令 x 0，y 0 得：1 k 2 1 k 2 8 k212 2 2k 012 1 2，0kPAPB k222 2k2 4k0，當(dāng)且僅當(dāng)k 1時(shí)， xy3PAPB取得最小值4x