Pythagoras完全比例的推廣研究

1、PAGE PAGE 5Pythagoras完全比例的推廣研究（110001 中國醫(yī)科大學(xué)數(shù)學(xué)教研室 李明 362000 福建省泉州市現(xiàn)代中學(xué) 富明遠(yuǎn)）摘要：運用類比思想試著將Pythagoras完全比例從2元推廣至一般的元()，提出了“元平均完全比例”的概念，并運用歸納法對“元平均完全比例”成立的充要條件進(jìn)行了研究.最后，定義了更一般的“元次冪平均完全比例”，并指出它成立的條件和“元平均完全比例”成立的條件一致.關(guān)鍵詞：完完全比例例 推推廣 元平均均 充充要條件件 冪冪平均Abstrractt: Tryy too exxtennd tthe Pytthaggoraas pperffectt p

2、rropoortioon ffromm 2 varriabbless too thhe ggeneerall n() vaariaablees byy anaaloggy, andd raaisee thhe cconcceptt “n-vvariiablle mmeann peerfeect prooporrtioon ”, tthenn reeaserrh tthe suffficciennt aand neccesssaryy coondiitioon ffor thee hooldiing of thee “n-vaariaablee meean perrfecct ppropport

3、ioon ”. Finnallly, deffinee a mucch mmoree genneraal cconcceptt “n-vvariiablle aand -poowerr meean perrfecct ppropporttionn”, aand inddicaate thaat tthe conndittionn maakinng iit hholdd iss juust thaat mmakiing thee “n-vvariiablle mmeann peerfeect prooporrtioon” hoold.Keywoordss: perrfecct ppropport

4、tionn genneraalizzatiion n-vvariiablle mmeann suffficciennt aand neccesssaryy coondiitioon powwer meaan 一、問題的的提出若為兩正數(shù)數(shù)，其算算術(shù)平均均，幾何何平均，調(diào)調(diào)和平均均，則這三三個2元元平均恒恒滿足,該該式被PPythhagoorass學(xué)派稱稱為完全全比例【11】.一般地，若若為()個正數(shù)數(shù)，其算算術(shù)平均均，幾何何平均，調(diào)調(diào)和平均均，我們稱為由生成的的“元平均均完全比比例”.作為Pyythaagorras完完全比例例的推廣廣，時它恒恒成立；而時，它成立的的充要條條件是什什么呢？下文將將

5、給出此此問題的的部分答答案.二、“3元元和4元元平均完全全比例”成立的充充要條件件定理我們研究發(fā)發(fā)現(xiàn)“3元平均均完全比比例”成立的的充要條條件可歸歸結(jié)為如如下的定定理：定理1：由由三個正數(shù)數(shù)生成的的“3元平均均完全比比例”成立，當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)能夠按照照某個順順序排成等比比數(shù)列.證明：能夠按照某某個順序序排成等比比數(shù)列.類似地，我我們也得得到了“4元平均均完全比比例”成立的的充要條條件，歸歸結(jié)為如如下的定定理：定理2：由由四個正數(shù)數(shù)生成的的“4元平均均完全比比例”成立，當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)中有兩兩個數(shù)的的乘積等等于另兩兩個數(shù)的的乘積.證明：中有兩個數(shù)數(shù)的乘積積等于另另兩個數(shù)數(shù)的乘積積.三、“（）元平均均完

6、全比比例”成立的充分條件件證明及及必要條條件探究究由定理1和和定理22，通過類類比和歸歸納，我我們給出出如下猜猜測：猜測1：由由（）個正正數(shù)生成成的“元平均均完全比比例”成立，當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)單調(diào)重排排后，所所有對稱稱項之積積均相等等.下面來證明明猜測11給出的的條件是是“元平均均完全比比例”成立的充分條條件.證明：設(shè)是是的單調(diào)調(diào)重排.（1）當(dāng)為為偶數(shù)時時，由于于，于是，又，于是，即即成立.（2）當(dāng)為為奇數(shù)時時，由于于.于是，又，于是，即即成立.綜合（1）、（22），我我們便證證實了“（）元平均均完全比比例”成立的的充分條條件.至于該該充分條條件是否否為“（）元平均均完全比比例”成立的的必要條條件

7、，還還有待進(jìn)進(jìn)一步研研究.四、“元次次冪平均均完全比比例”成立的的充要條條件探究究 事事實上，對于個正數(shù)的算術(shù)平均、幾何平均和調(diào)和平均，我們有一個統(tǒng)一且更加廣泛的平均概念，即“元次冪平均”【2】，記為： 顯然，Pyythaagorras完完全比例例就是，而而“元平均均完全比比例”就是，于是我我們可以以定義更更一般的的“元次冪平平均完全全比例”為：若為()個正正數(shù)，則則我們稱稱為由()個正正數(shù)生成成的“元次冪平平均完全全比例”.這個更更一般的的完全比比例成立立的充要要條件如如何呢？實際上上，稍加加推理就就會發(fā)現(xiàn)現(xiàn)其成立立的充要要條件與與“元平均均完全比比例”成立的的充要條件件是一致致的，即即：（

8、1）時，“2元次冪平平均完全全比例”恒成立立.（2）時，“3元次冪平平均完全全比例”成立，當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)生成此此完全比比例的三三個正數(shù)數(shù)能夠按按照某個個順序排排成等比比數(shù)列.（3）時，“4元次冪平平均完全全比例”成立，當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)生成此此完全比比例的四四個正數(shù)數(shù)中有兩兩個數(shù)的的乘積等等于另兩兩個數(shù)的的乘積.（4）時，“元次冪平平均完全全比例”成立的的充分條條件是：生成此此完全比比例的個個正數(shù)單單調(diào)重排排后，對對稱項之之積相等等.至于此此充分條條件能否否成為“元次冪平平均完全全比例”成立的的必要條條件，還還有待于于猜測1的解解決.參考文獻(xiàn)1美美莫里里斯克萊因因 著.古今今數(shù)學(xué)思思想（第一冊冊），張理京京，張錦錦炎，江江澤涵譯譯.上海?？茖W(xué)技技術(shù)出版版社.220022年7月月第一版版.第337頁.2靳平平 主編編.數(shù)學(xué)的的1000個基本本問題.山西科學(xué)學(xué)技術(shù)出出版社.20004年1月第一一版.第第1055頁.作者簡介：李明，男，19981年年生，遼遼寧沈陽陽人，應(yīng)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)碩士，講講師