探析最短路徑問題優(yōu)秀獲獎(jiǎng)科研論文

1、探析最短路徑問題優(yōu)秀獲獎(jiǎng)科研論文 在中考數(shù)學(xué)試卷中常常出現(xiàn)求幾條線段之和最小值的試題.這類試題通過考查點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)與它相關(guān)線段和的最值情況，不但能了解學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題能力，而且還能通過讓學(xué)生對(duì) “動(dòng)”與“定”之間的關(guān)系的思考，深入了解學(xué)生的探索能力與識(shí)別能力，這對(duì)指導(dǎo)初中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)及引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)有著重要的意義. 現(xiàn)特對(duì)求線段和最小值的幾種題型進(jìn)行分析、歸納. 一、兩點(diǎn)在一條直線異側(cè) 圖1 例1如圖1，已知A、B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小. 解：連接AB，線段AB與直線l的交點(diǎn)P，就是所求.（根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短） 二、兩點(diǎn)在一條直線同側(cè) 例2如圖2，要

2、在街道旁修建一個(gè)奶站C，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短. 圖2圖3 解：只有A、C、B在同一直線上時(shí)，才能使AC+BC最小.作點(diǎn)A關(guān)于直線“街道”的對(duì)稱點(diǎn)A，然后連接AB，交“街道”于點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是所求的點(diǎn).如圖3.因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于直線“街道”的對(duì)稱點(diǎn)A，所以AC=AC.所以AC+BC=AC+BC，由三角形三邊關(guān)系可知，AC+BCAB，所以當(dāng)點(diǎn)C移到點(diǎn)C時(shí)，AC+BC=AC+BC= AC+BC=AB. 故此時(shí)AC+BC最小. 三、一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部 例3如圖4，已知A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使

3、三角形周長(zhǎng)最小. 圖4圖5 解：如圖5，分別作點(diǎn)A關(guān)于OM，ON的對(duì)稱點(diǎn)A，A；連接A，A，分別交OM，ON于點(diǎn)B、點(diǎn)C，則點(diǎn)B、點(diǎn)C即為所求.因?yàn)锳B= AB、AC= AC，所以當(dāng)AB、BC和AC三條線段在一條直線上時(shí)，三條邊AB、BC和AC的長(zhǎng)度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最小. 圖6 例4如圖6，A、B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直） 解：將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E；連接AE交河對(duì)岸與點(diǎn)M，則點(diǎn)M為建橋的位置，MN即為所建的橋.由平移的性質(zhì)，得BNEM且BN=EM，

4、MN=CD，BDCE，BD=CE，所以A、B兩地的距離為：AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN.若橋的位置建在CD處，連接AC、CD、DB、CE，則AB兩地的距離為AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN.在ACE中，因?yàn)锳C+CEAE ，所以AC+CE+MNAE+MN，即AC+CD+DBAM+MN+BN.所以橋的位置建在CD處，AB兩地的路程最短. 四、求圓上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離最小的方案設(shè)計(jì) 在此問題中，可根據(jù)圓上最遠(yuǎn)點(diǎn)與最近點(diǎn)和點(diǎn)的關(guān)系可得到最優(yōu)設(shè)計(jì)方案. 例5一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最大距離為9，最短距離為1，則圓的半徑為多少？ 圖7圖8 解：如圖7，當(dāng)點(diǎn)A在圓外，則最小距離AB=1，最大距離AC=AB+2R=9，所以R=4.如圖8，當(dāng)點(diǎn)A在圓內(nèi)，則最小距離AB=1，最大距離AC=2R-AB=9