九年級數(shù)學(xué)圓中的計(jì)算問題華東師大版知識精講

1、九年級數(shù)學(xué)圓中的計(jì)算問題華東師大版【同步教育信息】一本周講課內(nèi)容：圓中的計(jì)算問題【知識與技術(shù)】研究概括圓的弧長、扇形面積公式，會(huì)集適運(yùn)用公式進(jìn)行弧長、扇形面積的相關(guān)計(jì)算。認(rèn)識圓柱、圓錐的特點(diǎn)，認(rèn)識圓柱、圓錐的側(cè)面張開圖分別是矩形、扇形，并會(huì)計(jì)算側(cè)面積及全面積?！具^程與方法】在研究概括弧長、扇形面積公式時(shí)，表現(xiàn)了“從特別到一般”的數(shù)學(xué)思想方法。【感情、態(tài)度、價(jià)值觀】在研究公式過程中，提升推理、概括能力及應(yīng)妄圖思，培育與別人合作能力，進(jìn)一步發(fā)展我們對峙體圖形的認(rèn)識，同時(shí)也加強(qiáng)空間立體感?！局v課過程】nr1弧長公式：l180注意：（1）在弧長公式中，n表示“1”的圓心角的倍數(shù)，在應(yīng)用公式計(jì)算時(shí)，“n

2、”和“180”不該再寫單位。（2）在計(jì)算時(shí)，若題目中沒有注明精準(zhǔn)度，可以用“”表示弧長，如弧長是3，15.2等。（3）在弧長公式中已知l、n、r中的隨意兩個(gè)量都可以求出第三個(gè)量。扇形：1）定義：由構(gòu)成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形。如圖：（2）周長：扇形的周長等于弧長加上兩個(gè)半徑的長，即l2r。3）面積：注意：公式Snr2或S1lr36022Snr中的“n”與弧長公式中“n”的意義同樣，表示“1”圓心360角的倍數(shù)，參加計(jì)算時(shí)不帶單位。S1lr與三角形面積公式S1ah十分相像，為了便于記憶，可以把扇形看作曲22邊三角形，把弧長看作底，半徑r看作底邊上的高。注意二個(gè)公式的差

3、別。nr2如：已知半徑r、圓心角度數(shù)求S，用S。360已知半徑r、弧長l求S，用S1lr。2已知：S、l、n、r四個(gè)量中隨意兩個(gè)量，可以求出其他兩個(gè)量。圓柱的側(cè)面積與全面積（1）側(cè)面張開圖是矩形，一組對邊等于母線長，另一組對邊等于底面圓的周長。（2）S柱側(cè)2rh（r為底面半徑，h為高）（3）S全S柱側(cè)2S底注意：圓柱有無數(shù)條母線，母線長等于圓柱的高。圓錐的相關(guān)見解圓錐是由一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面圍成的，如圖（1），我們把圓錐底面圓周上隨意一點(diǎn)與圓錐極點(diǎn)的連線叫做圓錐的母線，連結(jié)極點(diǎn)與底面圓心的線段叫做圓錐的高。圓錐的側(cè)面積和全面積沿著圓錐的母線，把圓錐的側(cè)面張開，獲得一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐

4、底面的周長，而扇形的半徑等于圓錐的母線長。如圖（2）所示，若圓錐的底面半徑為r，母線長為a，則它的側(cè)面積：S側(cè)1a2rra2S全S側(cè)S底rar2rar注意：圓錐有無數(shù)條母線，圓錐的母線長不等于圓錐的高。圓錐的母線長為側(cè)面張開后扇形的半徑，注意與圓錐底面半徑劃分。暗影部分面積的求法常用的有公式法、割補(bǔ)法，還有等積變形法、方程法、對稱法等?！镜湫屠}】例1一圓弧的圓心角為300，它所對的弧長等于半徑為6cm的周長，求該圓弧所在圓的半徑。分析：已知弧長與圓周長之間的關(guān)系，考慮運(yùn)用弧長公式和圓周長公式。解：設(shè)弧所在圓的半徑為R300R依據(jù)題意得：26180解得：R7.2(cm)說明：弧長公式中l(wèi)nR中

5、，三個(gè)量l、n、R已知此中兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量，此中n沒有單位，l180與R的單位要一致。例2如圖，正ABC內(nèi)接于O，邊長為4cm，求圖中暗影部分的面積。分析：連結(jié)OA、OC，暗影部分面積看作是扇形鍵是求O的半徑及AOC。本題察看組合圖形面積的求法及扇形面積公式等。解：連結(jié)BO并延伸交AC于E，連結(jié)OA、OCABC是正三角形且內(nèi)接于OBEACAOC與AOC的面積之差，所以關(guān)1AEAC2cm2AOC120，AOE60在RtAEO中，OAAE243cm33sin6021OA2OE3cm232R2S扇形AOCn120431636036033SAOC1ACCE1423432233S陰S扇AOCS

6、AOC1643cm293本題還可另解：S暗影1SOSABC3例3如圖，A、B、C、D、E互相外離，它們的半徑都是心得五邊形ABCDE，求圖中五扇形（暗影部分）的面積之和。1，挨次連結(jié)五個(gè)圓AEBCD分析：由已知可知圖中每個(gè)扇形面積不可以獨(dú)自求出，由于不知圓心角的度數(shù)。認(rèn)真分析可得五個(gè)扇形的圓心角恰為五邊形ABCDE的五個(gè)內(nèi)角，所以，可以利用“整體代入”法來達(dá)成。解：由扇形面積公式SnR2，得暗影部分面積為：360S陰R2R2R2R2DR2ABCE360360360360360nR2BCDEA360nR22180536032說明：“整體代入”的方法是一種常用的、奇異的方法。例4如圖，圓柱的高為的

7、側(cè)面，爬到圓柱的母線50AB厘米，底面圓的周長為120cm，一只螞蟻從的另一端B，求螞蟻爬行的最短路線長。A點(diǎn)出發(fā)繞圓柱BA分析：螞蟻爬行的路線是一條曲線，怎樣求呢若將圓柱的側(cè)面沿母線AB蟻爬行的路線即矩形上A到B的連線，由兩點(diǎn)之間線段最短，可求得最短路線長。張開，則螞解：將圓柱側(cè)面沿母線AB張開，則AC120厘米，BC50厘米DBAC在RtACB中，由勾股定理得：ABAC2BC2130(cm)所以螞蟻的最短路線長為130cm。例5在手工課上甲、乙兩名同學(xué)合作，將半徑為1米，圓心角為90的扇形薄鐵片圍成一個(gè)圓錐筒，在計(jì)算圓錐的容積時(shí)（接縫忽視不計(jì)），甲以為圓錐的高就等于扇形的圓心O到弦AB的距

8、離OC（如圖），乙說這樣計(jì)算不正確，你同意誰的說法把正確的計(jì)算過程寫出來。OOBCAOAA(2)(1)分析：只需比較一下圓錐高的定義，就知道甲的想法是錯(cuò)誤的，乙的說法正確。2解：在圖（1）中，OC2由于在圖（2）中，O的周長等于圖（1）中AB的長所以，2OA90OA，OA，11801OA4所以，OOOA2OA215242故：甲的說法不正確例6若圓柱的側(cè)面張開圖是一個(gè)矩形，如圖，對角線AC8，CAB30，求圓柱的底面積。DC30AB分析：已知AC8，CAB30，可求出矩形的邊長。圓柱側(cè)面張開圖是矩形，矩形一邊長為母線長，另一邊等于底面圓周長。解：在RtABC中，AC8，CAB30BCACsin3

9、08142ABACcos3083432設(shè)圓柱的底面半徑為R（1）若AD為母線長，則AB為底面圓的周長2R43，R23SR24312（2）若AB為母線，則AD為底面圓的周長2R4，R22SR224故圓柱的底面積為12或4說明：本題主要應(yīng)理解圓柱的側(cè)面張開圖為矩形，相鄰兩邊為母線長和底面圓的周長，所以在題目中沒有指明哪一邊為母線（或底面周長）時(shí)，該種類必有兩種狀況。例7如圖，已知半圓的直徑AB12厘米，點(diǎn)C、D是這個(gè)半圓的三均分點(diǎn)，求弦AC、AD和CD圍成的暗影部分面積。（結(jié)果用表示）CDAOB分析：連OC、OD，則可證CDAB，COD60則SCODSCADS陰S扇形COD解：連OC、ODC、D是

10、半圓的三均分點(diǎn)CDABAD，COD60CDABSCADSCODS陰6062S扇COD6（平方厘米）360說明：本題運(yùn)用的方法叫等面積變換法，這是一個(gè)重要的方法。例8如圖，在ABC中，C90，ACBC，若以AC為底面圓半徑，錐的側(cè)面積為S1，以BC為底面圓半徑，AC為高的圓錐的側(cè)面積為S2，則（BC為高的圓）ACBAS1S2BS1S2CS1S2DS1、S2的大小關(guān)系不確立分析：分別算出S1、S2再進(jìn)行比較。解：S1ACABS2BCABACBCS1S2選B說明：圓錐也可以看做是直角三角形繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周而成的圖形。例9在半徑為27米的圓形廣場中央點(diǎn)O的上空安裝一個(gè)照明光源S，S射向地面的光束是

11、圓錐形，其軸截面SAB的頂角為120（以以下圖），求光源離地面的垂直高度SO（精確到0.1米）（21414.，31732.，52236.，以上數(shù)據(jù)供參照）SABO分析：BO27米，BSA120，則BSO60，由此不難求SO。解：在SAB中，SASB，ASB120SOABO為AB中點(diǎn)，且ASOBSO60在RtASO中，OA27米SOOAcotASO27cot60393156.（米）273答：光源離地面的垂直高度為15.6米。說明：本題的實(shí)質(zhì)是解Rt?！灸M試題】一選擇題。1在半徑為3的O中，弦MN3，則MN的長為（）ABC3D2222扇形的周長為16，圓心角為360，則扇形的面積為（）A16B3

12、2C64D163假如圓柱的高為20厘米，底面半徑是高的1，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是（）cm2cm24A100B200C500cm2D200cm24已知圓錐的底面半徑是3，高是4，則這個(gè)圓錐的側(cè)面張開圖的面積是（）A12B15C30D245如圖，ABCD是正方形，邊長為a，以B為圓心，以BA為半徑畫弧，則暗影面積為（）DCABA1a2B1C4D4a244二填空題。1直徑為12cm的圓，60圓周角所對的弧的弧長為_厘米。如圖，在ABC中，ACB90，B15，以C為圓心，CA為半徑的圓交AB于D點(diǎn)，若AC6cm，則AD的長為_厘米。BDCA3一個(gè)扇形的弧長為20厘米，面積為240cm2，則該扇形的圓心

13、角為_度。4已知圓柱母線與底面圓的直徑相等，且底面積為4cm2，則圓柱的側(cè)面積為_cm2。5若圓錐的母線長為6cm，側(cè)面張開圖是圓心角為300的扇形，則圓錐底面半徑為_cm。6圓錐底面半徑為4cm，母線長為24cm，則側(cè)面張開圖中扇形的圓心角為_。7若用半徑為15cm，圓心角為216的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為_cm。三解答題。1已知AB的長為6厘米，所對的圓周角ACB60，求弦AB的長。COAB2如圖，在ABC中，BAC105，B45，AB22，ADBC，垂足為D，以A為圓心，AD為半徑畫弧EF，求圖中暗影部分的面積。AFEBDC3如圖，RtABC中，C90，ACBC2cm，分別以A、C為圓心畫弧，B使DE、DF、EF所在的圓兩兩外切。求：1）DE、DF、EF的長；2）暗影部分的面積。BDFCEA4如圖，圓柱的高為12cm，底面直徑為10cm，求圖中圓錐的全面積。AO2DBO1C【試題答案】一選擇題。1B2A3B4B5D二填空題。142（厘米）31504165566012解答題。由條件可求得：AOB120及O的半徑過O作AB的垂線，結(jié)構(gòu)直角三角形可求出ABAB93cm2S暗影SABCS扇形AEF曲線面積的求