光色散和群速度

1、關(guān)于光的色散與群速度第1頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)41分，星期四隨著測(cè)定光速方法的改進(jìn)，問(wèn)題又復(fù)雜化了，1885年邁克耳遜以較高的精度重復(fù)了傅科實(shí)驗(yàn)的同時(shí)，還測(cè)定了空氣和CS2光速之比為1.758，但是用折射法測(cè)定的CS2折射率為1.64，兩數(shù)相差甚大，這絕非實(shí)驗(yàn)誤差所致。瑞利對(duì)光速的概念進(jìn)行了深入詳盡的研究，提出“群速”的概念之后才解決這個(gè)矛盾。迄今為止，對(duì)于各向同性介質(zhì)在提到波速時(shí)，都指的是波面（等位相面）傳播的速度，即相速度p，在惠更斯原理中如此，在波函數(shù)的表達(dá)式中也如此。一. 相速度2第2頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)41分，星期四理想的單色平面波的波動(dòng)方程

2、可表示為：因此，相位不變的條件為：兩邊微分得：即上式2，k2/都是不隨t和r改變的量?？梢?jiàn)，相速度是嚴(yán)格單色光所特有的一種速度。嚴(yán)格的單色光在空間延續(xù)和時(shí)間延續(xù)都是無(wú)窮無(wú)盡的余弦或正弦波。但這種波是理想的極限情況。3第3頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)41分，星期四在真空中所有波長(zhǎng)的電磁以同一相速c傳播，復(fù)色光可視為若干單色波列的疊加，所以復(fù)色光在真空中傳播的相速度就等于單色光在真空中傳播的相速度。在色散介質(zhì)中，各單色光以不同的相速度傳播，因而，復(fù)色光在色散介質(zhì)中的傳播問(wèn)題也隨之復(fù)雜化。二. 群速度為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)復(fù)色光由兩列單色光波組成，其振幅均為a，頻率分別為：4第4頁(yè)，共21頁(yè)

3、，2022年，5月20日，9點(diǎn)41分，星期四波數(shù)分別為：則這兩列單色光波可分別表示為：可以推得其合成波為：其中即合成波的振幅A0不是常數(shù)，而是隨r和t緩慢變化的余弦函數(shù)。如圖5第5頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)41分，星期四合成波和波包合成波的速度，即波包上任一點(diǎn)的前移速度，也就是波包上等振幅面向前推進(jìn)的速度。它代表著波包具有的能量傳播速度。6第6頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)41分，星期四定義：復(fù)色光在色散介質(zhì)中，整個(gè)波包傳播的速度，稱為群速度。振幅不變的條件為：因d，dk都是不隨t和r改變的量，微分上式得：因此，群速度可表示為：7第7頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月2

4、0日，9點(diǎn)41分，星期四8第8頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)41分，星期四三. 群速與相速的關(guān)系因所以9第9頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)41分，星期四代入（1）式可得：稱為瑞利公式因?yàn)樗詴?shū)12頁(yè)10第10頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)41分，星期四討論：（1）當(dāng)時(shí)，則正常色散（2）當(dāng)時(shí)，則反常色散（3）當(dāng)時(shí)，則無(wú)色散折射定律也是相速之比指相速11第11頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)41分，星期四通過(guò)測(cè)量光在不同介質(zhì)中的速度之比來(lái)確定折射率，不論哪種測(cè)量方法，測(cè)得的光在介質(zhì)中的速度實(shí)際上是群速而不是相速。因?yàn)镃S2為正常色散，g p，因而所得折

5、射率n1.758大于用折射法測(cè)得的結(jié)果n=1.64。12第12頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)41分，星期四1-5 波包和群速度色散一、頻率相近的兩個(gè)單色平面波組成的波包及其群速度 該等幅平面波的傳播速度： 此即兩個(gè)波合成后所得波包的前進(jìn)速度群速度第13頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)41分，星期四二、一維波群 一維（沿z方向傳播）波群?jiǎn)紊矫娌ǖ牡?，即：假設(shè)振幅 A() 只在以平均頻率為中心的很窄的頻率范圍內(nèi)顯著不為 0，即：則有：其中：為變幅平面波。第14頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)41分，星期四第15頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)41分，星

6、期四取展開(kāi)式的前兩項(xiàng)，得：Ae 是一維波群的包絡(luò)線函數(shù)第16頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)41分，星期四在 面上 Ae是一個(gè)常量，此面的傳播速度代表能量傳播的速度，即群速度：群速度與相速度的關(guān)系：由 得： 正常色散：群速度小于相速度反常色散：群速度大于相速度，超過(guò)光速？反常色散區(qū)必定存在強(qiáng)烈的吸收，當(dāng)組成波群的大部分傅里葉分量的頻率落在這一區(qū)域時(shí)不可能傳很遠(yuǎn)。群速度計(jì)算的結(jié)果超過(guò)光速不再具有物理上的意義。第17頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)41分，星期四三、群速度色散和脈沖展寬效應(yīng) 研究高斯型分布的窄帶脈沖在介質(zhì)中傳播時(shí)包絡(luò)形狀的變化= 光脈沖強(qiáng)度的寬度:第18頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)41分，星期四取k () 的泰勒展開(kāi)式的前三項(xiàng)，得：包絡(luò)線的函數(shù)為：其中：第19頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)41分，星