解排列組合應用問題的十種思考方法

1、錯誤！未找到引用源?！敖馀帕?、組合應用問題”的思維方法一、優(yōu)先考慮：對有特殊元素（即被限制的元素）或特殊位置（被限制的位置）的排列， 通常是先排特殊元素或特殊位置，再考慮其它的元素或其它的位置。例1.（1）由0、1、2、3、4、可以組成 個無重復數(shù)字的三位數(shù)。（2） 由1、2、3、4、5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有 個。（3） 5個人排成一排，其中甲不排在兩端也不和乙相鄰排列的排列共 種。二、“捆在一起：有要求元素相鄰（即連排）的排列問題，可以先將相鄰的元素看作一個“整體”與其它元素排列，然后“整體”內(nèi)部再進行排列。例2. （1）有3位老師、4名學生排成一排照相，其中

2、老師必須在一起的排法共有 種。（2）有2位老師和6名學生排成一排，使兩位老師之間有三名學生，這樣的排法共有種。三、插空檔：有要求元素不相鄰（即間隔排）的排列問題，可以制造空檔插空。例3.（1）五種不同的收音機和四種不同的電視機陳列一排，任兩臺電視機不靠在一起，有 種陳列方法。（2） 6名男生6名女生排成一排，要求男女相間的排法 種。四、減去特殊情況（即逆向思考）：先算暫時不考慮限制條件的排列或組合種數(shù)，然后再從中減去所有不符合條件的排列或組合數(shù)。例4.（1）以正方體的頂點為頂點的四面體共有個。（2） 由0、1、2、3、4、可以組成 個無重復數(shù)字的三位數(shù)。（3）集合A有8個元素，集合B有7個元素

3、，A A B有4個元素，集合C有3個元素且滿足下列條件：C u A U B , C A A W，C A B w的集合C有幾個。（4）從6名短跑運動員中選4人參加4口 100米的接力賽，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少種參賽方案？五、先組后排：排列、組合綜合題，通常都是先考慮組合后考慮排列。例5（1）用1、2、3、 9這九個數(shù)字，能組成由3個奇數(shù)數(shù)字、2個偶數(shù)數(shù)字的不重復的五位數(shù)有 個。（2）有8本不同的書，從中取出6本，獎給5位數(shù)學優(yōu)勝者，規(guī)定第一名（僅一人）得2本，其它每人一本，則共有種不同的獎法。（3） 有五項工作，四個人來完成且每人至少做一項，共 種分配方法。六、除以排列

4、數(shù)：對某些元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制排列后，再除去規(guī) 定順序元素個數(shù)的全排列。例6（1）有4名學生和3位老師排成一排照相，規(guī)定兩端不排老師且老師順序固定不變， 那么不同的排法有 種。（2）由0、1、2、3、4、5組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字，十位數(shù)字小于百位數(shù)字，則這樣的數(shù)共有個。（3）書架上放有5本書（廣5冊），現(xiàn)在要再插入3本書，保持原有的相對順序不變，有_ 種放法。七、對象互調(diào)：有些排列或組合題直接就題論題很難入手，但換個角度去考慮便順利求得結(jié)果又易理解。例7.（1） 一部電影在四個單位輪放，每單位放映一場，可以有種放映次序。（2） 一排有8個座位，

5、3人去坐，要求每人左右兩邊都有空位的坐法有種。(3)有6個座位3人去坐，要求恰好有兩個空位相連的不同坐法有種。八、分情況研究：分情況研究(即分類計算)復雜的排列、組合綜合題，常常通過畫簡圖、 按元素的性質(zhì)“分類”；按事件發(fā)生的連續(xù)過程“分步”等方法。分情況研究求得結(jié)果， 尤其對含數(shù)字“0”的排列，常分“有0”及“無0”兩種情況研究，在“有0”時，排列 的“首位”又是“特殊”位置要優(yōu)先考慮。例8.(1)從編號為了 1、2、39的九個球中任取4個球，使它們的編號之和為奇數(shù)，再把這四個球排成一排，共有多少種不同的排法？用0、1、2、3 9這十個數(shù)字組成五位數(shù)，其中含有三個奇數(shù)字與兩個偶數(shù)字的五位數(shù)

6、有多少個？用0、1、2、3、4五個數(shù)字組成的無重復的五位數(shù)中，若按從小到大的順序排列23140是第幾個數(shù)？排列與組合(思考方法18訓練)優(yōu)先考慮1 .現(xiàn)有6名同學站成一排：甲不站排頭也不站排尾有多少種不同的排法？甲不站排頭，且乙不站排尾有多少種不同的排法？用0,1,2, 3,4, 5組成無重復數(shù)字的5位數(shù)，共可以組成多少個？插空有6名同學站成一排：甲、乙、丙不相鄰有多少種不同的排法？有4男4女排成一排，要求(1)女的互不相鄰有種排法；(2)男女相間有種 排法。捆在一起由1、2、3、4、5組成一個無重復數(shù)字的5位數(shù)，其中2、3必須排在一起，4、5不能排在 一起，則不同的5位數(shù)共有 個。6 .有2

7、位老師和6名學生排成一排，使兩位老師之間有三名學生，這樣的排法共有種。逆向思考某小組有6名同學，現(xiàn)從中選出3人去參觀展覽，至少有1名女生入選時的不同選法有 16種，則小組中的女生數(shù)為。6名同學站成一排乙不站排尾有多少種不同的排法？先組后排 有4名學生參加3相不同的小組活動，每組至少一人，有 種參加方式。 從兩個集合1,2,3,4 和5,6,7 中各取兩個元素組成一個四位數(shù)，可組成 個 數(shù)。除以排列數(shù) 書架上放有6本書，現(xiàn)在要再插入3本書，保持原有的相對順序不變，有種放 法。9人（個子長短不同）排隊照相，要求中間的最高，兩旁依次從高到矮共有豐排 法。對象互調(diào)： 某人射擊8槍命中4槍，這4槍中恰有

8、3槍連在一起的不同種數(shù)是。三個人坐在一排7個座位上，（1）若3個人中間沒有空位，有種坐法。（2）若4個空位中恰有3個空位連在一起，有種坐法。分情況（即分類）用0,1,2, 3,4組成無重復數(shù)字的5位數(shù)，若按從小到大的順序排列，則數(shù)12340是第 個數(shù)。某車間有8名會車工或鉗工的工人，其中6人會車工，5人會鉗工，現(xiàn)從這些工人中 選出2人分別干車工和鉗工，問不同的選法有多少種？和、整除、倍數(shù)、約數(shù)問題。例9.和：（1）用0、1、2、3、4、5、6這七個數(shù)字可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？這些三位數(shù)的和是多少？整除：（2）用0、1、2、3、4、5組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，其中I、能被5整除的數(shù)有多

9、少個？II、能被3整除的數(shù)有多少個？山、能被6整除的數(shù)有多少個？倍數(shù)：（3）在1、2、3 100這100個自然數(shù)中，每次取不等的兩數(shù)相乘，使它們的積是7的倍數(shù)，這樣的取法共有多少種？（取7,11與取11,7認為是同一種取法）（4）在1、2、3 30這三十個數(shù)中，每取兩兩不等的三個數(shù)，使它們的和是3的倍數(shù)， 共有多少種不同的取法？約數(shù)：（5）數(shù)2160共有多少個正約數(shù)（包括1和本身在內(nèi)）？其中共有多少個正的偶約數(shù)？十、分配、分組問題：解題時要注意“均勻”與“非均勻”的區(qū)別、分配與分組（分堆）的 區(qū)別。例10.（1）將12本不同的書I、分給甲、乙、丙三人，每人各得4本有 種分法。II、 平均分成三

10、堆，有 種分法。（2）7本不同的書I、全部分給6個人，每人至少一本，共有種不同的分法。II、 全部分給5個人，每人至少一本，共有種不同的分法。（3）六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，問各有多少種分法？a、甲一本、乙二本、丙三本；有種分法。b、一人一本、一人二本、一人三本；有種分法。c、甲一本、乙一本、丙四本；有種分法。d、 一人一本、一人一本、一人四本；有種分法。排列與組合（思考方法全訓練）一八：1. 5名男生和2名女生站成一列，男生甲必須站在正中間，2名女生必須站在甲前面，不同 的站法共有種（用數(shù)字作答）。8人排成一排，其中甲、乙、丙三人中有2人相鄰，但這3人不同時相鄰的排

11、法有 種. 現(xiàn)有6張同排連座號的電影票，分給3名老師與3名學生，要求師生相間而坐，則不同 的分法數(shù)為.在200件產(chǎn)品中有3件是次品，現(xiàn)在從中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 種。現(xiàn)從某校5名學生干部中選出4人分別參加上海市“資源”、“生態(tài)”、和“環(huán)保”三 個夏令營，要求每個夏令營活動至少有選出的一人參加，且每人只參加一個夏令營活動， 則不同的參加方案的種數(shù)是.(寫出具體數(shù)字)將A、B、C、D、E、排成一排，其中按A、B、C順序(即A在B前，C在B后)的排歹U總數(shù)為。如果從一排10盞燈中關掉3盞燈，那么關掉的是互不相鄰的3盞燈的方法有。(1)如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，

12、要求相鄰 地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著 色方法共有 種。(以數(shù)字作答)(2)同室4人各寫了一張賀年卡先集中起來，然后每人從中取回一張別人送出的賀卡，這4 張賀年卡不同的分配方式有 種。九.和、整除、倍數(shù)、約數(shù)問題(1)由2、3、4、5組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，求：這些數(shù)的數(shù)字之和；這些數(shù)的 和。(2)由0、2、5、7、9這5個數(shù)字可組成多少個無重復數(shù)字且能被3整除的四位數(shù)？(1)在1、2、3、4、50這50個自然數(shù)中，每次取出2個(無論先后)，使他們的積是13的倍數(shù)，這樣的取法有多少種？(2)420共有多少個正約數(shù)？14175共有多少個正約數(shù)？十.分配、分組問題：六本不

13、同的書，分給甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，問各有多少種分法？甲一本、乙二本、丙三本；有種分法。一人一本、一人二本、一人三本；有種分法。甲一本、乙一本、丙四本；有種分法。一人一本、一人一本、一人四本；有種分法。一般地，現(xiàn)有6n本不同的書，分給甲、乙、丙三人，甲得n本、乙得2n本、丙得3n本，則有 種分法。分給三人，一人得n本、一人得2n本、另一人得3n本，則有種分法。分給三人，甲、乙各得n本、丙得4n本，則有種分法。分給三人，其中二人各得n本，另一人得4n本，則有 種分法。分成三堆，一堆n本、一堆2n本、一堆3n本，則有 種分法。分成三堆，有二堆各n本，還有一堆4n本，則有 種分法。排列與組

14、合(思考方法18訓練)參考答案優(yōu)先考慮： (1)法一：(先考慮特殊元素甲)P揮=480種；法二：(先考慮特殊位置頭尾)P2P4 = 480種； (2)法一：P5 (甲在尾)+ PJPJP4 (甲不在尾)=120+384=504；(或法二：p6 -2P? + P4 = 504 種)；先考慮首位再其它：C1 P； = 600。 插空： 3. P3P4 = 144 ； 4.(1) P4段=2880 ； (2) 2P4P4 = 1152。 捆在一起：5. P2P2P2 = 24 ；6. P3P2P4 = 5760。 逆向思考：7.令小組中的女生數(shù)為x，則：C3 - C3_x = 16 n x = 2

15、；8. P6 - P5 = 600。先組后排：9. C2P3 = 36 ； 10. C2C2P4432。除以排列數(shù)：11.P9 / P6= 504 (即 P3 =504 ) ；12. P8/(P4P4) = 70。對象互調(diào)：13.P2 = 20 ；14.(1) C5P3= 30 ；(2) P3P2 = 72。八 分情況(即分類)15P + P + 1 一 916 P 2+ C1C1 + C1C1 = 27/、.刀 I目 刀 x:_lu.廠 3 + r 2 + L 一 ；_lu. _r 3+i 32 + 35 一 匕/。排列與組合(思考方法全訓練)參考答案一八：1. C 4 P3 P3 )即：先

16、前，再后)；2. P5 P2 P2 = 21600 ； 3. 72； 4. C500 - C597 - C：C賃 一；5. C4C2P = 180(即：先組，再捆，后排)；6. 120； 7. 56； 8.(1) 2P4 + P3 = 72 ； (2) 9.九.和、整除、倍數(shù)、約數(shù)問題(1)由2、3、4、5組成無重復數(shù)字的四位數(shù)有P4個，而每一個數(shù)的各位數(shù)字之和都是2 + 3 + 5 + 7 = 17，所以所有四位數(shù)的數(shù)字之和是P4(2 + 3 + 5 + 7) = 408。如2在個，十，百，千位上的情況各有P3次，同理3, 5, 7的情況與2相同，所以這些數(shù)的和為：P3 (2 + 3 + 5

17、 + 7) - (1 +10 + 100 +1000) = 113322。(2)不含2的有：P1 P3 = 18 ；不含5的情況也為：P1 P3 = 18，故共有36無重復數(shù)字且能被3整除的四 位數(shù)。 (1) 由攔 13R 50 n k 3.85，.這 50 個自然數(shù)中有 3 個是 13 的倍數(shù)，.有 C2 + CC 1 = 1441333 47種取法。(2)/ 420 = 22 -3 -5 -7，.正約數(shù)有：3x 2x 2x2 = 24 個。 14175 = 34 -52 -7，.正約數(shù)有：4x3x 2 = 24 個。十.分配、分組問題：19 分析 先甲C1再乙C2后丙C3 則有 C1C2C3 C1C2 60 (種)【J .刀 ,川 J Li 十 C ， JC C ，/口 fC c，火閂 CCvCc = CCv = UU I / T J。6536 5 36 5將中甲、乙、丙的順序變化，則有C1C2P3 =360