解排列組合應(yīng)用問(wèn)題的十種思考方法

1、錯(cuò)誤！未找到引用源?！敖馀帕?、組合應(yīng)用問(wèn)題”的思維方法一、優(yōu)先考慮：對(duì)有特殊元素（即被限制的元素）或特殊位置（被限制的位置）的排列， 通常是先排特殊元素或特殊位置，再考慮其它的元素或其它的位置。例1.（1）由0、1、2、3、4、可以組成 個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。（2） 由1、2、3、4、5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有 個(gè)。（3） 5個(gè)人排成一排，其中甲不排在兩端也不和乙相鄰排列的排列共 種。二、“捆在一起：有要求元素相鄰（即連排）的排列問(wèn)題，可以先將相鄰的元素看作一個(gè)“整體”與其它元素排列，然后“整體”內(nèi)部再進(jìn)行排列。例2. （1）有3位老師、4名學(xué)生排成一排照相，其中

2、老師必須在一起的排法共有 種。（2）有2位老師和6名學(xué)生排成一排，使兩位老師之間有三名學(xué)生，這樣的排法共有種。三、插空檔：有要求元素不相鄰（即間隔排）的排列問(wèn)題，可以制造空檔插空。例3.（1）五種不同的收音機(jī)和四種不同的電視機(jī)陳列一排，任兩臺(tái)電視機(jī)不靠在一起，有 種陳列方法。（2） 6名男生6名女生排成一排，要求男女相間的排法 種。四、減去特殊情況（即逆向思考）：先算暫時(shí)不考慮限制條件的排列或組合種數(shù)，然后再?gòu)闹袦p去所有不符合條件的排列或組合數(shù)。例4.（1）以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有個(gè)。（2） 由0、1、2、3、4、可以組成 個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。（3）集合A有8個(gè)元素，集合B有7個(gè)元素

3、，A A B有4個(gè)元素，集合C有3個(gè)元素且滿(mǎn)足下列條件：C u A U B , C A A W，C A B w的集合C有幾個(gè)。（4）從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4口 100米的接力賽，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少種參賽方案？五、先組后排：排列、組合綜合題，通常都是先考慮組合后考慮排列。例5（1）用1、2、3、 9這九個(gè)數(shù)字，能組成由3個(gè)奇數(shù)數(shù)字、2個(gè)偶數(shù)數(shù)字的不重復(fù)的五位數(shù)有 個(gè)。（2）有8本不同的書(shū)，從中取出6本，獎(jiǎng)給5位數(shù)學(xué)優(yōu)勝者，規(guī)定第一名（僅一人）得2本，其它每人一本，則共有種不同的獎(jiǎng)法。（3） 有五項(xiàng)工作，四個(gè)人來(lái)完成且每人至少做一項(xiàng)，共 種分配方法。六、除以排列

4、數(shù)：對(duì)某些元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制排列后，再除去規(guī) 定順序元素個(gè)數(shù)的全排列。例6（1）有4名學(xué)生和3位老師排成一排照相，規(guī)定兩端不排老師且老師順序固定不變， 那么不同的排法有 種。（2）由0、1、2、3、4、5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字，十位數(shù)字小于百位數(shù)字，則這樣的數(shù)共有個(gè)。（3）書(shū)架上放有5本書(shū)（廣5冊(cè)），現(xiàn)在要再插入3本書(shū)，保持原有的相對(duì)順序不變，有_ 種放法。七、對(duì)象互調(diào)：有些排列或組合題直接就題論題很難入手，但換個(gè)角度去考慮便順利求得結(jié)果又易理解。例7.（1） 一部電影在四個(gè)單位輪放，每單位放映一場(chǎng)，可以有種放映次序。（2） 一排有8個(gè)座位，

5、3人去坐，要求每人左右兩邊都有空位的坐法有種。(3)有6個(gè)座位3人去坐，要求恰好有兩個(gè)空位相連的不同坐法有種。八、分情況研究：分情況研究(即分類(lèi)計(jì)算)復(fù)雜的排列、組合綜合題，常常通過(guò)畫(huà)簡(jiǎn)圖、 按元素的性質(zhì)“分類(lèi)”；按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程“分步”等方法。分情況研究求得結(jié)果， 尤其對(duì)含數(shù)字“0”的排列，常分“有0”及“無(wú)0”兩種情況研究，在“有0”時(shí)，排列 的“首位”又是“特殊”位置要優(yōu)先考慮。例8.(1)從編號(hào)為了 1、2、39的九個(gè)球中任取4個(gè)球，使它們的編號(hào)之和為奇數(shù)，再把這四個(gè)球排成一排，共有多少種不同的排法？用0、1、2、3 9這十個(gè)數(shù)字組成五位數(shù)，其中含有三個(gè)奇數(shù)字與兩個(gè)偶數(shù)字的五位數(shù)

6、有多少個(gè)？用0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)的五位數(shù)中，若按從小到大的順序排列23140是第幾個(gè)數(shù)？排列與組合(思考方法18訓(xùn)練)優(yōu)先考慮1 .現(xiàn)有6名同學(xué)站成一排：甲不站排頭也不站排尾有多少種不同的排法？甲不站排頭，且乙不站排尾有多少種不同的排法？用0,1,2, 3,4, 5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)，共可以組成多少個(gè)？插空有6名同學(xué)站成一排：甲、乙、丙不相鄰有多少種不同的排法？有4男4女排成一排，要求(1)女的互不相鄰有種排法；(2)男女相間有種 排法。捆在一起由1、2、3、4、5組成一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)，其中2、3必須排在一起，4、5不能排在 一起，則不同的5位數(shù)共有 個(gè)。6 .有2

7、位老師和6名學(xué)生排成一排，使兩位老師之間有三名學(xué)生，這樣的排法共有種。逆向思考某小組有6名同學(xué)，現(xiàn)從中選出3人去參觀展覽，至少有1名女生入選時(shí)的不同選法有 16種，則小組中的女生數(shù)為。6名同學(xué)站成一排乙不站排尾有多少種不同的排法？先組后排 有4名學(xué)生參加3相不同的小組活動(dòng)，每組至少一人，有 種參加方式。 從兩個(gè)集合1,2,3,4 和5,6,7 中各取兩個(gè)元素組成一個(gè)四位數(shù)，可組成 個(gè) 數(shù)。除以排列數(shù) 書(shū)架上放有6本書(shū)，現(xiàn)在要再插入3本書(shū)，保持原有的相對(duì)順序不變，有種放 法。9人（個(gè)子長(zhǎng)短不同）排隊(duì)照相，要求中間的最高，兩旁依次從高到矮共有豐排 法。對(duì)象互調(diào)： 某人射擊8槍命中4槍?zhuān)@4槍中恰有

8、3槍連在一起的不同種數(shù)是。三個(gè)人坐在一排7個(gè)座位上，（1）若3個(gè)人中間沒(méi)有空位，有種坐法。（2）若4個(gè)空位中恰有3個(gè)空位連在一起，有種坐法。分情況（即分類(lèi)）用0,1,2, 3,4組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)，若按從小到大的順序排列，則數(shù)12340是第 個(gè)數(shù)。某車(chē)間有8名會(huì)車(chē)工或鉗工的工人，其中6人會(huì)車(chē)工，5人會(huì)鉗工，現(xiàn)從這些工人中 選出2人分別干車(chē)工和鉗工，問(wèn)不同的選法有多少種？和、整除、倍數(shù)、約數(shù)問(wèn)題。例9.和：（1）用0、1、2、3、4、5、6這七個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？這些三位數(shù)的和是多少？整除：（2）用0、1、2、3、4、5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中I、能被5整除的數(shù)有多

9、少個(gè)？II、能被3整除的數(shù)有多少個(gè)？山、能被6整除的數(shù)有多少個(gè)？倍數(shù)：（3）在1、2、3 100這100個(gè)自然數(shù)中，每次取不等的兩數(shù)相乘，使它們的積是7的倍數(shù)，這樣的取法共有多少種？（取7,11與取11,7認(rèn)為是同一種取法）（4）在1、2、3 30這三十個(gè)數(shù)中，每取兩兩不等的三個(gè)數(shù)，使它們的和是3的倍數(shù)， 共有多少種不同的取法？約數(shù)：（5）數(shù)2160共有多少個(gè)正約數(shù)（包括1和本身在內(nèi)）？其中共有多少個(gè)正的偶約數(shù)？十、分配、分組問(wèn)題：解題時(shí)要注意“均勻”與“非均勻”的區(qū)別、分配與分組（分堆）的 區(qū)別。例10.（1）將12本不同的書(shū)I、分給甲、乙、丙三人，每人各得4本有 種分法。II、 平均分成三

10、堆，有 種分法。（2）7本不同的書(shū)I、全部分給6個(gè)人，每人至少一本，共有種不同的分法。II、 全部分給5個(gè)人，每人至少一本，共有種不同的分法。（3）六本不同的書(shū)，分給甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，問(wèn)各有多少種分法？a、甲一本、乙二本、丙三本；有種分法。b、一人一本、一人二本、一人三本；有種分法。c、甲一本、乙一本、丙四本；有種分法。d、 一人一本、一人一本、一人四本；有種分法。排列與組合（思考方法全訓(xùn)練）一八：1. 5名男生和2名女生站成一列，男生甲必須站在正中間，2名女生必須站在甲前面，不同 的站法共有種（用數(shù)字作答）。8人排成一排，其中甲、乙、丙三人中有2人相鄰，但這3人不同時(shí)相鄰的排

11、法有 種. 現(xiàn)有6張同排連座號(hào)的電影票，分給3名老師與3名學(xué)生，要求師生相間而坐，則不同 的分法數(shù)為.在200件產(chǎn)品中有3件是次品，現(xiàn)在從中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 種?，F(xiàn)從某校5名學(xué)生干部中選出4人分別參加上海市“資源”、“生態(tài)”、和“環(huán)?！比?個(gè)夏令營(yíng)，要求每個(gè)夏令營(yíng)活動(dòng)至少有選出的一人參加，且每人只參加一個(gè)夏令營(yíng)活動(dòng)， 則不同的參加方案的種數(shù)是.(寫(xiě)出具體數(shù)字)將A、B、C、D、E、排成一排，其中按A、B、C順序(即A在B前，C在B后)的排歹U總數(shù)為。如果從一排10盞燈中關(guān)掉3盞燈，那么關(guān)掉的是互不相鄰的3盞燈的方法有。(1)如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，

12、要求相鄰 地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著 色方法共有 種。(以數(shù)字作答)(2)同室4人各寫(xiě)了一張賀年卡先集中起來(lái)，然后每人從中取回一張別人送出的賀卡，這4 張賀年卡不同的分配方式有 種。九.和、整除、倍數(shù)、約數(shù)問(wèn)題(1)由2、3、4、5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，求：這些數(shù)的數(shù)字之和；這些數(shù)的 和。(2)由0、2、5、7、9這5個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且能被3整除的四位數(shù)？(1)在1、2、3、4、50這50個(gè)自然數(shù)中，每次取出2個(gè)(無(wú)論先后)，使他們的積是13的倍數(shù)，這樣的取法有多少種？(2)420共有多少個(gè)正約數(shù)？14175共有多少個(gè)正約數(shù)？十.分配、分組問(wèn)題：六本不

13、同的書(shū)，分給甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，問(wèn)各有多少種分法？甲一本、乙二本、丙三本；有種分法。一人一本、一人二本、一人三本；有種分法。甲一本、乙一本、丙四本；有種分法。一人一本、一人一本、一人四本；有種分法。一般地，現(xiàn)有6n本不同的書(shū)，分給甲、乙、丙三人，甲得n本、乙得2n本、丙得3n本，則有 種分法。分給三人，一人得n本、一人得2n本、另一人得3n本，則有種分法。分給三人，甲、乙各得n本、丙得4n本，則有種分法。分給三人，其中二人各得n本，另一人得4n本，則有 種分法。分成三堆，一堆n本、一堆2n本、一堆3n本，則有 種分法。分成三堆，有二堆各n本，還有一堆4n本，則有 種分法。排列與組

14、合(思考方法18訓(xùn)練)參考答案優(yōu)先考慮： (1)法一：(先考慮特殊元素甲)P揮=480種；法二：(先考慮特殊位置頭尾)P2P4 = 480種； (2)法一：P5 (甲在尾)+ PJPJP4 (甲不在尾)=120+384=504；(或法二：p6 -2P? + P4 = 504 種)；先考慮首位再其它：C1 P； = 600。 插空： 3. P3P4 = 144 ； 4.(1) P4段=2880 ； (2) 2P4P4 = 1152。 捆在一起：5. P2P2P2 = 24 ；6. P3P2P4 = 5760。 逆向思考：7.令小組中的女生數(shù)為x，則：C3 - C3_x = 16 n x = 2

15、；8. P6 - P5 = 600。先組后排：9. C2P3 = 36 ； 10. C2C2P4432。除以排列數(shù)：11.P9 / P6= 504 (即 P3 =504 ) ；12. P8/(P4P4) = 70。對(duì)象互調(diào)：13.P2 = 20 ；14.(1) C5P3= 30 ；(2) P3P2 = 72。八 分情況(即分類(lèi))15P + P + 1 一 916 P 2+ C1C1 + C1C1 = 27/、.刀 I目 刀 x:_lu.廠 3 + r 2 + L 一 ；_lu. _r 3+i 32 + 35 一 匕/。排列與組合(思考方法全訓(xùn)練)參考答案一八：1. C 4 P3 P3 )即：先

16、前，再后)；2. P5 P2 P2 = 21600 ； 3. 72； 4. C500 - C597 - C：C賃 一；5. C4C2P = 180(即：先組，再捆，后排)；6. 120； 7. 56； 8.(1) 2P4 + P3 = 72 ； (2) 9.九.和、整除、倍數(shù)、約數(shù)問(wèn)題(1)由2、3、4、5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有P4個(gè)，而每一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和都是2 + 3 + 5 + 7 = 17，所以所有四位數(shù)的數(shù)字之和是P4(2 + 3 + 5 + 7) = 408。如2在個(gè)，十，百，千位上的情況各有P3次，同理3, 5, 7的情況與2相同，所以這些數(shù)的和為：P3 (2 + 3 + 5

17、 + 7) - (1 +10 + 100 +1000) = 113322。(2)不含2的有：P1 P3 = 18 ；不含5的情況也為：P1 P3 = 18，故共有36無(wú)重復(fù)數(shù)字且能被3整除的四 位數(shù)。 (1) 由攔 13R 50 n k 3.85，.這 50 個(gè)自然數(shù)中有 3 個(gè)是 13 的倍數(shù)，.有 C2 + CC 1 = 1441333 47種取法。(2)/ 420 = 22 -3 -5 -7，.正約數(shù)有：3x 2x 2x2 = 24 個(gè)。 14175 = 34 -52 -7，.正約數(shù)有：4x3x 2 = 24 個(gè)。十.分配、分組問(wèn)題：19 分析 先甲C1再乙C2后丙C3 則有 C1C2C3 C1C2 60 (種)【J .刀 ,川 J Li 十 C ， JC C ，/口 fC c，火閂 CCvCc = CCv = UU I / T J。6536 5 36 5將中甲、乙、丙的順序變化，則有C1C2P3 =360