幻方遞推構(gòu)造法

1、 HYPERLINK / 第12卷第2Vol.12 No.1995年6重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版Journal of Chongqing Teachers Colle,ge(NaturalScience HYPERLINK / 第12卷第2Vol.12 No.1995年6重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版Journal of Chongqing Teachers Colle,ge(NaturalScience 四勹）幻方的遞推構(gòu)造法O)千潘林（重慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，籃慶介 要井給出具體算法關(guān)鍵花難林兇中團(tuán)法滔可蘆了引行、每列及兩條對(duì)角線上各元素之和都等于號(hào)i!+1入當(dāng)刃值較小時(shí)，很容易構(gòu)造出滿足條件

2、的d階方陣，且構(gòu)造方法也不唯一，但當(dāng)冗值較大時(shí)，要直接構(gòu)造滿足條件的霓階方陣就比較麻煩了。能否根據(jù)已知的低階幻方，構(gòu)造出某些高階幻方呢？回答是肯定的。下面給出一種1算法實(shí)設(shè)已知n階幻方A= a;1.x和m階幻方B = blJ一x.，則可構(gòu)造出Xm階幻方m,-11（其中k. lll xm)。具體有下兩種算法，(l)輸人A= a;Jx和B=如刪氣喇，計(jì)算k=瓦X (2)將方陣M分成功行冕列的飛2個(gè)對(duì)M中每個(gè)塊按A重新編號(hào)，即將A的每個(gè)元紊值分別填入對(duì)應(yīng)的塊，作為該塊的塊號(hào)，為1994-12-26言- MsiM M M” lM HYPERLINK / 第2潘林森幻方的遞推構(gòu)造(t=1, 2. ,j

3、= 1, 2, HYPERLINK / 第2潘林森幻方的遞推構(gòu)造(t=1, 2. ,j = 1, 2, ，召M(fèi).尸-(3)將M中的每個(gè)塊再細(xì)劃分成m行，正列的，n2個(gè)小格，對(duì)塊中的每個(gè)小格按B編號(hào)即將B的各元素值分別填人對(duì)應(yīng)的小格，作為該格的編號(hào)，記為(i=1, j = 1. 2, ，召M(fèi), (4)計(jì)算M中每個(gè)元素屯e + (s 1)又其中e為所有塊編號(hào)，s為塊中小格編號(hào)(5)輸出方陣M =-tn.,Jil(1)輸入A=化，.x_,.和D = b,.，畫(huà)，計(jì)算將方陣M分成叮五列的冗2個(gè)塊，對(duì)M中每塊按A重新編號(hào)，即將A分別填入對(duì)應(yīng)的塊，作為該塊的編號(hào)，記為e.將M中的每個(gè)塊再細(xì)劃分成，幾行，n

4、列的，滬個(gè)小格，對(duì)塊中的每個(gè)小格按B即將B的各元素值分別填入對(duì)應(yīng)的小格，作為該格的編號(hào)，記為計(jì)算M 輸出方陣M=算法結(jié)束定理對(duì)任意已知的冗階幻方和m階幻方由算法1構(gòu)造的K階方陣M滿足每行、列及每條對(duì)角線上各元素之和都k一（爐（其中扣:ri X 2證設(shè)扣如.心為A的一行元素，扣扣.心，為B的一行元素于是有tiA= -乒江-由算法l,M的每個(gè)元素由e.s唯一表示，因此，M中每一行的各元素之和都為勹二壞婦 HYPERLINK / 第12重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版區(qū)i+(j,l)-l=l fl+冥3區(qū)位一一=m HYPERLINK / 第12重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版區(qū)i+(j,l)-l=l fl

5、+冥3區(qū)位一一=m （讓 1) 霓3皿(m2 + I)一九22,n 2 2k（爐十2同理可證M(fZ + k2又M的兩條對(duì)角線元素都是分別由九個(gè)m階幻方B的對(duì)角線元素組成，設(shè)凡歷Ii_M對(duì)角線上九個(gè)塊的編號(hào)，如)2,.心為B的對(duì)角線上元素由于塊號(hào)是按A編號(hào)的，故有立，竺(1n2+ 江上（九z 22山t 一所以，MI; I;i,._缸 I J-1)“+ 一2(i:2 +k2定理對(duì)任意已知的凋階幻方和m階幻方，由算法2構(gòu)造的K階幻方M滿足每行、列及每條對(duì)角線上各元素之和都(l:2+ （其中k一刃X 2證與定理1證明相似由算法2，方陣M的每個(gè)元素是按公m,.s +(el)構(gòu)造的，所以M HYPERL

6、INK / HYPERLINK / HYPERLINK / 笫12重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版由算法 HYPERLINK / 笫12重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版由算法2構(gòu)造的12階幻方為4算法1和算法2解決了一大類高階幻方的構(gòu)造方法，對(duì)任意已知的刀階和m階幻方可構(gòu)造出一個(gè)nXm階，僅l階和曠階(l為正整數(shù)）的幻方實(shí)際上，算法1和算法2是把高階幻方的構(gòu)造轉(zhuǎn)化為低級(jí)幻方的構(gòu)造這種方法簡(jiǎn)單易行，具有很強(qiáng)的規(guī)律性和可操作性，具體應(yīng)小格的數(shù)字遞增，按算法1每次增1按算法2每次培參考文潘林森幻方的分層計(jì)算法，重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1993,10(2), O奧爾有趣的數(shù)論北京：北京大學(xué)出版社，1985、The Method of Recursive construction for-沁gic Pan (Dept. of Mathematics,Chongq嘔T竺chers College,Otongqi戊 . Th這paper presen區(qū)a new method of recursive construction of a high虹order square with tw