2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第一講、最值問(wèn)題 學(xué)案

1、第一講、 問(wèn)題最值問(wèn)題通常與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題結(jié)合在起的重要內(nèi)容一類(lèi)綜合性較強(qiáng)的 問(wèn)題是中考的熱點(diǎn)問(wèn)題學(xué)生對(duì)平時(shí)所學(xué)的知識(shí)和方法的綜合運(yùn)用 數(shù)問(wèn)題還是幾何問(wèn)題都有最值問(wèn)強(qiáng)試題中出鏡率比較高的主要有利用 重要的幾何結(jié)點(diǎn)之間線(xiàn)最短之間垂線(xiàn)段最短和點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離最 短等值問(wèn)題質(zhì)求最值的代數(shù)類(lèi)型最值問(wèn)題 何模型(1) “點(diǎn)之間線(xiàn)段最短” 模型這個(gè)模型主要用來(lái)解決一個(gè)動(dòng)點(diǎn)兩個(gè)定點(diǎn)所得到的兩條兩線(xiàn)段之和的最小值問(wèn)題 是兩條線(xiàn)段之差的最大值問(wèn)題模型一 兩條線(xiàn)段的和最小值問(wèn)題如圖，點(diǎn) 是直 l 同側(cè)的個(gè)定點(diǎn)試在直線(xiàn) l 上確定一點(diǎn) ，使 的 值最小解 A 關(guān)于直線(xiàn) l 對(duì)點(diǎn) A 連 A B l 點(diǎn) ，則 最小例 1

2、 ，在平面直角坐標(biāo)系中 的頂點(diǎn) A 在 x 軸的正半軸上，頂點(diǎn) B 標(biāo)為(3， C 坐標(biāo)(， P 為斜邊 OB 的一動(dòng)點(diǎn)，則 PA+PC 的最小值（ ）分析 ，作 A 關(guān)于 OB 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) ，連接 CD OB 于 P 連接 DNOA N求 小，由對(duì)稱(chēng)性可知，即求 CD 的長(zhǎng)求出 DN 后，在 eq oac(,Rt) 中根據(jù)勾股定理即可得出答案解法一 如圖，作 A 關(guān)于 OB 對(duì)稱(chēng)點(diǎn) D OB 點(diǎn) M接 CD 交 OB 于 接 AP D 作 DNOA 于 ，則此時(shí) PA 最小DP=PA 3 )，3， OA=3，在 ，由勾股定理 由面積公式得 AB=OB ，即 ，BAO=90， AD= 在 eq

3、oac(,Rt) 勾股定理得DN=3 2C( ，0)， 在 eq oac(,Rt) 中，由勾股定理得 312即 PA 最小值是解法二 如圖，312所以應(yīng)選 點(diǎn) A 于直線(xiàn) OB 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 ，接 CD OB P，接 OD B(3 3 )可 得：AOB=30AOD=2AOB=60稱(chēng)性知OA=OD 邊三角形D( 3， ) C(31，0)，PA+PC 小值是 CD= 2說(shuō)明： 題考查了兩條線(xiàn)和的最小值問(wèn)題將同側(cè)線(xiàn)段轉(zhuǎn)化為異側(cè)線(xiàn)段， 從而利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短解決問(wèn)題本例的難點(diǎn)有二，其一是如何將最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本模型“軍飲馬”，即如何找到基 本模型中的“河”從而構(gòu)造軸對(duì)稱(chēng)；其二是如求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)其中特別

4、要強(qiáng)調(diào)的是，解法二中充分利用了題目的特殊，由點(diǎn) 的坐標(biāo)發(fā)現(xiàn)了含 30角三角形，從而到 等邊三角形，并利用含 30的角三角形的性質(zhì)，巧妙地求得對(duì)稱(chēng)點(diǎn) 標(biāo)變式 “頂點(diǎn) 坐標(biāo)為 ( ”為“點(diǎn) B 坐標(biāo) ( ，1)”其它條件不變，求 值分析： 例 在求點(diǎn) 坐標(biāo)時(shí)法都利用了 30這一特殊角特殊角， 因此要用更一般的通法解決：連 x 軸的平行線(xiàn)，延長(zhǎng) 將四邊形 “框”來(lái)，構(gòu)造 K 本圖形利用相似可求得解 沿 OB 折疊得ODB點(diǎn) EF延長(zhǎng) 交于點(diǎn) ，接 CD由折疊得，BD=AB=1OED=ODB=90EOD+EDO=EOD=FDBOED=F， FB BD 1 OD 設(shè) FB=x ，OE=1+x，DF=2-

5、2x 代入比例式可得 3 3 8解得 ， 5 5 5PA+PC 的最小值 CD=變式 2 三角形周長(zhǎng)的最小值問(wèn)題例 2 直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示 B 標(biāo)3 是 的中的，點(diǎn) 在 上，當(dāng)CDE 的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn) 的坐標(biāo)( )A(3，1) ，53 ，2)分析 周長(zhǎng)的三條線(xiàn)段中 長(zhǎng)為定值題可以化為求 EC+ED 最小值， 即可轉(zhuǎn)化為“軍飲馬”型解 A 的右側(cè)取點(diǎn) F 連接 CF交 E易得 AE=1 4 3 3變式 3 一定兩動(dòng)、三動(dòng)問(wèn)題例 3 ，分別以點(diǎn) A(2，3)、B(41 和 2 徑畫(huà)圓，點(diǎn) 、D 分別在這 兩個(gè)圓上，點(diǎn) P y 求 值分析 點(diǎn) P 點(diǎn)，這是一個(gè)三動(dòng)問(wèn)題對(duì)于點(diǎn) P 和A 連接

6、PA，與圓 的交點(diǎn)即為最小值的位置點(diǎn) ；同理連接 與 的交點(diǎn)即為點(diǎn) D此，此題可轉(zhuǎn) 化為模型一“軍飲馬”題略解 將A y 得A 接 A B兩圓分別交于點(diǎn) 、D由題意得A (-2，3)A CD=10-1-2=7即 值 CD 為 7模型二 過(guò)橋路線(xiàn)最短問(wèn)題例 4 ，某人從點(diǎn) A 垂直于河道的橋 PQ 到河對(duì)岸的 探究：橋建在什 么位置，使得行走的路程最短？分析 A 到點(diǎn) 的三條線(xiàn)段中PQ 定值，又由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短的原理只要 將 AP 和 BQ“”來(lái)即可解 圖，過(guò)點(diǎn) BC岸且 BC 等于河的寬，連接 AC，與靠近點(diǎn) A 一側(cè)的河道交 點(diǎn)為 P，過(guò)點(diǎn) P 路程最短說(shuō)明 與三角形周長(zhǎng)的最小值問(wèn)題有相通

7、之處，均為條線(xiàn)段和的最值，且都有一條 線(xiàn)段為定值區(qū)別在于定值的線(xiàn)在中間，兩條和最小的線(xiàn)段被“開(kāi)”因此，本題的策 略是利用平移構(gòu)造平行四邊形，兩段“開(kāi)”線(xiàn)段共端點(diǎn)，從而化為基本模型一模型三 兩條線(xiàn)段的差最大值問(wèn)題例 5 是直線(xiàn) l 同側(cè)兩個(gè)定點(diǎn) l 上確定一點(diǎn) PA 的 值最大解 ，交 l 于點(diǎn) ，則 PA 值最大例 6 線(xiàn) x 2 x+2 的頂點(diǎn)為 y 點(diǎn) B P 是 x 上任意一點(diǎn)，|PB|最時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)解 AB x 于點(diǎn) P當(dāng)|最大時(shí)，點(diǎn) P 是所求的作 于 BOOP，BOP=AHPBPO=APH， eq oac(,)BOP AHP AH OP由拋物線(xiàn)的表達(dá)式可知A(2，3)，B(

8、0：，P(4說(shuō)明 本題考查了兩條線(xiàn)段差的最值問(wèn)題，利用了三角形兩邊之差小于第三邊的性質(zhì)，在 特殊位置取得了最大值了點(diǎn) P 的位置后 的坐標(biāo)可以利用本例解答中所用 的幾何法，即利用相似三角形求 OP 長(zhǎng)，從而等到點(diǎn) P 坐標(biāo)；也可以利用代數(shù)法求直 線(xiàn) 式，與 的交點(diǎn)即為點(diǎn) P2 22 2(2) “ 到直線(xiàn)的距離最短” 模型這個(gè)模型主要用來(lái)解決直線(xiàn)外一定點(diǎn)與直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)連接所得線(xiàn)段的距離最短 問(wèn)題，即垂線(xiàn)段最短例 7 ，在平面直角坐標(biāo)系 中，線(xiàn) 經(jīng)點(diǎn) A(， 的半徑為 1(O 為坐標(biāo)原) P 直線(xiàn) 上點(diǎn) P 作 切線(xiàn) 點(diǎn) 切線(xiàn)長(zhǎng) PQ 的最小值分析 本題中 P 均動(dòng)點(diǎn)，并不適合本模型的前提，即

9、兩點(diǎn)必須為一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè) 動(dòng)點(diǎn)如何轉(zhuǎn)化呢？考慮到 切線(xiàn)，故連接 可以利用勾定理，將求 PQ 最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 的最值問(wèn)題，從而化歸為本模型的規(guī)律解 連接 PQ 為 線(xiàn)，OQPQ在 eq oac(,Rt) OP PQ 的最小值即 取得最小值當(dāng) 時(shí) 取得最小值，設(shè)垂足為 A(、B(0，4)，OP =AB= 2 即 小值為 說(shuō)明 本題考查兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)形成的線(xiàn)的最小值問(wèn)題這條線(xiàn)段利用等量關(guān)系轉(zhuǎn)化到 另一條線(xiàn)段段滿(mǎn)足定點(diǎn)到定直線(xiàn)的距離最短的模型打開(kāi)了一個(gè)思路， 即求線(xiàn)段的最值問(wèn)題可以利用轉(zhuǎn)的思想轉(zhuǎn)移到另一條線(xiàn)段，從而解決問(wèn)題(3) “ 與圓上點(diǎn)的距離 ” 模型例 8 ，點(diǎn) P 方形 對(duì)角線(xiàn) 個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與 B

10、、D 重合 AP，過(guò)點(diǎn) 線(xiàn) AP 的垂線(xiàn)，垂足為 H結(jié) ，若正方形的邊長(zhǎng)為 ，則線(xiàn)段 長(zhǎng)度的最小值 分析 求的線(xiàn)段 的特點(diǎn)是：點(diǎn) ，點(diǎn) 點(diǎn)但關(guān)鍵問(wèn)題是，點(diǎn) 在怎樣的軌跡上運(yùn)動(dòng)？如果在直上運(yùn)動(dòng)，那么本題可歸結(jié)為模型二，但是通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)， 說(shuō)明了點(diǎn) H 以 為直徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，則本題可歸為圓外一點(diǎn)與圓上一 點(diǎn)距離的最值問(wèn)題法是連接圓外一點(diǎn)和圓心最小值點(diǎn) 解 AB E，連接 由題意得 5 最小值為 252說(shuō)明 本題的難點(diǎn)是隱形圓的挖掘若定線(xiàn)段所對(duì)的角為直角，則直角頂點(diǎn)在以該線(xiàn)段為直 徑的圓上外，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)時(shí)形圓一條線(xiàn)段所對(duì) 的角是定值時(shí)，這個(gè)角的頂點(diǎn)在線(xiàn)段為弦的圓上，也能構(gòu)造隱形

11、圓 函數(shù)模型(1) 函數(shù)模型此類(lèi)最值問(wèn)題的特點(diǎn)是自變量所要求的量與該自變量之間的一次函 數(shù)關(guān)系，然后利用一次函數(shù)的增性，通過(guò)自變量的取值范圍得到所要求的量的最值例 9 函數(shù) -1x 最大值 =_，y 最小值 =_ 分析 一次函數(shù)模型求最值問(wèn)題就首先考慮一次項(xiàng)數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)增減性分別 在自變量的兩個(gè)端點(diǎn)處取得最大最小值解 可得：當(dāng) x= 取得最小值，當(dāng) x=3 時(shí) 最大值即：y；y(2) 函數(shù)模型此類(lèi)最值問(wèn)題的方法與一次函數(shù)型類(lèi)似要求的量與自變量之間的二次函 數(shù)關(guān)系變量的取得范圍確定最值的情況般在頂點(diǎn)處取得最 值例 10 已知半徑為 與直線(xiàn) l 相切于點(diǎn) ，點(diǎn) 是直徑 半圓上的 動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P

12、 l 于點(diǎn) ，PC 與 于點(diǎn) 設(shè) PC 的長(zhǎng)為x(2x4)當(dāng) x 為何值時(shí)PDCD 的值最大？最大值是多少？分析 本題的重點(diǎn)是用 x 的數(shù)式表示 PD 和 CD 的，從而可得 PDCD 與 x 之間的函數(shù) 關(guān)系式考慮到 PD 為弦，可以作弦心距后利用垂徑定理解決解 OHPD 于 HPHDH2 22 2 22 2 2 2 22 l ， 邊形 CH=OA=2PC=xPH=x-2PD=2x-4CD=PC-PD=4 -xPDCD=2x22x4 x=3 PDCD 最大值，最大值為 說(shuō)明 用二次函數(shù)模型求最值問(wèn)題時(shí)，得到二次函數(shù)后需判斷最值是否恰在頂點(diǎn)處取 得例中 x=3 滿(mǎn)足條件 最值在頂點(diǎn)處取得問(wèn)題的難點(diǎn)是建立二次函數(shù) 模型例 11 邊長(zhǎng)為 的正方形 為直徑在正方形內(nèi)作半圓， P 是半圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) A 合 PA以 邊所在直線(xiàn)為 x 軸 所在直線(xiàn)為 y 軸立如圖所示的直角坐標(biāo) A 即為原點(diǎn) eq oac(,、) 分別記為 、S 點(diǎn) P 的坐標(biāo)a，b)試求 2S S 1 2 3 1 3 2的最大值，并求出此時(shí) ，b 的值2分析 本題的關(guān)鍵是用恰當(dāng)?shù)淖兞渴?S 1 3 22，從而建立 S 1 3 22與這個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)模型求得最解 P 的坐標(biāo)，b)S =2a，S ，S 1 2 3 S 1 3 2點(diǎn) P 以 OB 直徑的圓