13.1.2 線段的垂直平分線的性質(zhì)（課件）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)（人教版）

1、人教版 八年級上冊數(shù)學(xué)第十三章 軸對稱 13.1.2 線段的垂直平分線的性質(zhì)AB問題：線段是軸對稱圖形嗎？如果是，你能找出它的一條對稱軸嗎？這條對稱軸與線段存在著什么關(guān)系？A（B）B問題引入 如圖，直線l 垂直平分線段AB，P1，P2，P3，是l 上的點，分別量一量點P1，P2，P3， 到點A 與點B 的距離，你有發(fā)現(xiàn)什么嗎？請猜想點P1，P2，P3， 到點A 與點B 的距離之間的數(shù)量關(guān)系A(chǔ)BlP1P2P3P1A _P1BP2A _ P2BP3A _ P3B一、線段的垂直平分線的性質(zhì)猜想：點P1，P2，P3， 到點A 與點B 的距離分別相等 命題：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相

2、等.由此你能得到什么結(jié)論？你能驗證這一結(jié)論嗎？已知：如圖，直線lAB，垂足為C，AC =CB，點P 在l 上求證：PA =PB證明：lAB， PCA =PCB=90又 AC =CB，PC =PC， PCA PCB（SAS） PA =PBPABlC驗證結(jié)論用幾何語言表示為： CA =CB，lAB，（點P在線段AB的垂直平分線上） PA =PB線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等PABlC知識要點線段垂直平分線的性質(zhì)找出圖中相等的線段，并說明理由.（1）點A在BC的垂直平分線上DAB=AC（2）ED是AB 的垂直平分線EA=EB練 習(xí)1如下圖 , 直線CD是線段AB的垂直平分線 , P

3、為直線CD上的一點 , 已知線段PA5 , 那么線段PB的長度為( )A6 B5 C4 D32如下圖 , CD是AB的垂直平分線 , 假設(shè)AC1.6 cm , BD2.3 cm , 那么四邊形ACBD的周長是( )A3.9 cm B7.8 cm C4 cm D4.6 cmBB練一練3如下圖 , 在ABC中 , AB8 , BC6 , AC的垂直平分線MN分別交AB , AC于點M , N , 那么BCM的周長為_14反過來，如果PA =PB，那么點P 是否在線段AB 的垂直平分線上呢？已知：如圖，PA =PB求證：點P 在線段AB 的垂直平分線上PAB二、線段的垂直平分線的判定證明：過點P 作

4、AB 的垂線PC，垂足為點C則PCA =PCB =90在RtPCA 和RtPCB 中，PA =PB，PC =PC， RtPCA RtPCB（HL） AC =BC又 PCAB， 點P 在線段AB 的垂直平分線上PABC與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.PA=PB，點P在線段AB的垂直平分線上.符號語言表示：線段的垂直平分線的判定：ABlOP 1、從上面兩個結(jié)論可以看出，在線段AB的垂直平分線l上的點與點A，B的距離都相等. 2、反過來，與A，B的距離相等的點都在l上，所以直線l可以看成與兩點A，B的距離相等的所有點的集合.ABlOP 小結(jié)1已知 , 如下圖 , 直線PO與AB交

5、于點O , PAPB , 那么以下結(jié)論中準(zhǔn)確的選項是哪一項：( )AAOBOBPOABCPO垂直平分ABD點P在AB的垂直平分線上D練一練2如下圖 , BC10 , BD6 , AD4 , 那么D點在_的垂直平分線上AC3如下圖 , ABAC , DBDC , E是AD延長線上的一點 , BE是否與CE相等？試說明理由。解 : 相等理由 : 連接BC , ABAC , 點A在線段BC的垂直平分線上 , 同理 , 點D也在線段BC的垂直平分線上兩點確定一條直線 , AD是線段BC的垂直平分線E是AD延長線上的一點 , BECE 如圖，點A和點B關(guān)于某條直線成軸對稱，你能作出這條直線嗎？AB分析：

6、我們只要連接點A和點B,作出線段AB的垂直平分線，就可得到點A和點B的對稱軸.為此作出到點A，B的距離相等的兩點，即線段AB的垂直平分線上的兩點，從而作出線段AB的垂直平分線.三、尺規(guī)作圖ABCD作法：（1）分別以點A，B為圓心，以大于 AB的長為半徑作弧，兩弧交于C，D兩點.（2）作直線CD. CD即為所求.特別說明：這個作法實際上就是線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，我們也可以用這種方法確定線段的中點.如圖，A，B是路邊兩個新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個公共汽車站.使兩個小區(qū)到車站的路程一樣長，該公共汽車站應(yīng)建在什么地方？AB分析：增設(shè)的公共汽車站要滿足到兩個小區(qū)的路程一樣長，應(yīng)在線段AB的垂直平分

7、線上，又要在公路邊上，所以找到AB垂直平分線與公路的交點便是.公共汽車站例1 如圖，已知點A、點B以及直線l.(1)用尺規(guī)作圖的方法在直線l上求作一點P，使PAPB.(保留作圖痕跡，不要求寫出作法)；解：(1)如圖所示：MNABlP(2)在AMP和BNP中，AM=PN，APBP，PMBN， AMPPNB(SSS)，MAPNPB.MNABlP例1-1 如圖，已知點A、點B以及直線l.(1)用尺規(guī)作圖的方法在直線l上求作一點P，使PAPB.(保留作圖痕跡，不要求寫出作法)；(2)在(1)中所作的圖中，若AMPN，BNPM，求證：MAPNPB.例2 如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條交叉的公路圖中點M，N表

8、示大學(xué)，OA，OB表示公路，現(xiàn)計劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉庫P應(yīng)該建在什么位置嗎？請在圖中畫出你的設(shè)計(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)ONMAB方法總結(jié)：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上，到兩點距離相等的點在兩點連線的垂直平分線上.解：如圖所示：P想一想：下圖中的五角星有幾條對稱軸？如何作出這些對稱軸呢？ AB作法：（1）找出五角星的一對對稱點A和B，連接AB（2）作出線段AB的垂直平分線l則l就是這個五角星的一條對稱軸 l用同樣的方法，可以找出五條對稱軸，所以五角星有五條對稱軸 作軸對稱圖形的對稱軸方法總結(jié)：對于軸對稱圖形，只

9、要找到任意一組對稱點，作出對稱點所連線段的垂直平分線，即能得此圖形的對稱軸.例3 如圖，ABC和ABC關(guān)于直線l對稱，請用無刻度的直尺作出它們的對稱軸.ABCA B C l方法總結(jié)：如果成軸對稱的兩個圖形對稱點連線段（或延長線）相交，那么交點必定在對稱軸上.解：延長BC、BC交于點P，延長AC，AC交于點Q，連接PQ，則直線PQ即為所要求作的直線l.PQ 1.作出下列圖形的一條對稱軸，和同學(xué)比較一下，你們作出的對稱軸一樣嗎？練一練2.如圖，與圖形 A 成軸對稱的是哪個圖形？畫出它的對稱軸. ABCD1.如圖，角是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？課堂練習(xí) 2.如圖1-23，在ABC中，A

10、B = AC，A = 120, AB的垂直平分線交BC于D，求證：CD =2BD. 證明：連結(jié)AD D在AB垂直平分線上 BD=AD B=BAD BAC=120 AB=AC B=C=30 DAC=90 在RtDAC中 C=30 DC=2AD即DC=2BD. 3.如圖，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分線交AB于E，交AC于D，求BCD的周長.BD=AD，ABCDE解：ED是線段AB的垂直平分線， BCD的周長=BD+DC+BC BCD的周長=AD+DC+BC =AC+BC=12+7=19. 4.如圖所示，AOB30，點P為AOB內(nèi)一點，OP8，分別作出點P關(guān)于OA，OB的對稱點P1，P2，

11、連接P1P2交OA于M，交OB于N，則PMN的周長為 85如圖，AD與BC相交于點O，OAOC，AC，BEDE 求證：OE垂直平分BD證明：在AOB與COD中，AOBCOD（ASA），OBOD，點O在線段BD的垂直平分線上，BEDE，點E在線段BD的垂直平分線上，OE垂直平分BD畫一畫： 利用尺規(guī)作三角形三條邊的垂直平分線，完成之后你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：三角形三邊的垂直平分線交于一點這一點到三角形三個頂點的距離相等 拓展：三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì) 剪一個三角形紙片通過折疊找出每條邊的垂直平分線結(jié)論：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點 怎樣證明這個結(jié)論呢？做一做：點撥：要證明三條直線相交于一點

12、，只要證明其中兩條直線的交點在第三條直線上即可.思路可表示如下：試試看，你會寫出證明過程嗎？BCAPlnml是AB的垂直平分線m是BC的垂直平分線PA=PBPB=PCPA=PC點P在AC的垂直平分線上結(jié)論證明：求證：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等已知：如圖，在ABC中，AB，BC的垂直平分線相交于點P 求證：點P也在AC的垂直平分線上， 且PA=PB=PCBCAPlnm證明：點P在AB，AC的垂直平分線上， PA=PB，PA=PC （線段垂直平分線上 的點到線段兩端距離相等）.同理，PB=PC， PA=PB=PC，點P在BC的垂直平分線上 (到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上）.即邊AC的垂直平分線經(jīng)過點P.BCAPlnm文字語言： 三角形三條邊的垂直平分線相交于一點,并且這一點到三個頂點的距離相等.三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)結(jié)論