北航概率統(tǒng)計(jì)08課件

1、 第三章 二維隨機(jī)變量及其分布在實(shí)際問題中, 試驗(yàn)結(jié)果有時需要同時用兩個或兩個以上的隨機(jī)變量來描述. 例如用溫度和風(fēng)力來描述天氣情況. 通過對含碳、含硫、含磷量的測定來研究鋼的成分. 要研究這些隨機(jī)變量之間的聯(lián)系, 就需考慮若干個隨機(jī)變量, 即多維隨機(jī)變量及其取值規(guī)律多維分布.13.1 二維隨機(jī)變量及其分布定義 設(shè)為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，則稱二維向量( X , Y )為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)討論： 二維隨機(jī)變量作為一個整體的概率特性 其中每一個隨機(jī)變量的概率特性與整體的 概率特性之間的關(guān)系 2二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)定義 設(shè)( X , Y ) 為二維隨機(jī)變量，對于任

2、何 一對實(shí)數(shù)( x , y ), 事件定義了一個二元實(shí)函數(shù) F ( x , y )，稱為二維隨機(jī)變量( X ,Y ) 的分布函數(shù)，即(記為 )的概率3分布函數(shù)的幾何意義如果用平面上的點(diǎn)(x, y)表示二維隨機(jī)變量(X ,Y )的一組可能的取值，則F (x, y)表示(X ,Y )的取值落入下圖所示的角形區(qū)域的概率xy(x, y)4聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)xy(x, y)xy5固定 x , 對任意的 y1 y2 , F (x,y1) F (x,y2)固定 y , 對任意的 x1 x2 , F (x1,y) F (x2,y) F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0)F (x0 , y0)

3、 = F (x0, y0 + 0 )F (b,d) F (b,c) F (a,d) + F (a,c) 0事實(shí)上 F (b,d) F (b,c) F (a,d) + F (a,c) = P (a X b , c Y d)abcd 對每個變量單調(diào)不減 對每個變量右連續(xù) 對于任意的a b , c d7例1設(shè)討論F (x, y)能否成為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)？解xyx+ y = 1(0,0)(2,0)(2,2)(0,2)故 F (x, y)不能作為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)8定義 若二維隨機(jī)變量(X ,Y )的所有可能的 取值為有限多個或無窮可列多個, 則 稱(X ,Y ) 為二維離散型隨機(jī)變量.要描述

4、二維離散型隨機(jī)變量的概率特性及其與每個隨機(jī)變量之間的關(guān)系常用其聯(lián)合概率分布和邊緣概率分布二維離散型隨機(jī)變量及其概率特性10聯(lián)合概率分布設(shè)( X ,Y )的所有可能的取值為則稱為二維隨機(jī)變量( X ,Y ) 的聯(lián)合概率分布或聯(lián)合分布律，也簡稱概率分布或分布律顯然，11二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)已知聯(lián)合分布律可以求出其聯(lián)合分布函數(shù)反之，已知分布函數(shù)也可以求出其聯(lián)合分布律12(1) 本例中，其聯(lián)合分布如下表所示14XY pij0 1 2 3012300000015例4 把3 個紅球和3 個白球等可能地放入編號為 1，2，3 的三個盒子中, 每盒容納的球數(shù)無 限, 記 X 為落入1號盒的白球數(shù),

5、 Y 為落入 1 號盒的紅球數(shù). 求( X ,Y )的聯(lián)合分布律.解見下表17XY pij0 1 2 3012318二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合概率特性定義 設(shè)二維隨機(jī)變量( X ,Y )的分布函數(shù)為 F(x ,y ),若存在非負(fù)可積函數(shù) f (x,y) , 使得對于任意實(shí)數(shù) x,y 有則稱( X ,Y ) 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量， f (x,y) 為( X ,Y ) 的聯(lián)合密度函數(shù) 簡稱為聯(lián)合密度或概率密度19聯(lián)合密度與聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)除了分布函數(shù)的一般性質(zhì)外還有下述性質(zhì)f (x,y) 反映了( X ,Y ) 在(x,y) 附近單位面積的區(qū)域內(nèi)取值的概率對每個變元連續(xù)，在聯(lián)合密度的連續(xù)點(diǎn)處20

6、P( X = a ,- Y + ) = 0P(- X + , Y= a ) = 0若G 是平面上的區(qū)域，則P( X = a ,Y = b ) = 021例6 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量( X ,Y ) 的聯(lián)合密度為其中k 為常數(shù). 求常數(shù) k ; P ( X + Y 1) , P ( X 0.5); 聯(lián)合分布函數(shù) F (x,y);22x+y=1y = x10 xy(2) 0.5x+y=1y = x10 xyy = x10 xy0.524當(dāng) 0 x 1, 0 y x時(下半三角形)，1(3)當(dāng) x 0 或 y 0 時，F(xiàn) (x,y) = 0當(dāng) 0 x 1, x y 1 時(上半三角形) ，v=u10u

7、v25當(dāng) x 1 0 y 1 時，v=u10uv1當(dāng) x 1 y 1 時，27F (x,y) =0, x 0 或 y 0y4 , 0 x 1, 0 y x ，2x2y2y4, 0 x 1, x y 1 ，2x2x4 , 0 x 1, y 1 ，y4 , x 1, 0 y 0)若二維隨機(jī)變量( X ,Y ) 的聯(lián)合密度為則稱( X ,Y ) 服從區(qū)域G上的均勻分布區(qū)域G 上的均勻分布，記作U ( G )29 G1 G, 設(shè)G1的面積為A1,若( X ,Y )服從區(qū)域G上的均勻分布, 則邊平行于坐標(biāo)軸的矩形域上的均勻分布的邊緣分布仍為均勻分布30若二維隨機(jī)變量( X ,Y ) 的聯(lián)合密度為則稱( X ,Y ) 服從參數(shù)為1,12,2,22, 的正態(tài)分布, 記作( X ,Y ) N(1,1