概率論第四章第五章第二次課課件

1、理解并會用六個基本公式：回顧2 方差 Deviation Variance一、方差的引入二、方差的定義三、方差的計(jì)算方法四、方差的性質(zhì)五、切比雪夫不等式甲儀器測量結(jié)果一、方差的引入 我們知道，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個重要的數(shù)字特征. 但是在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的. 如某零件的真實(shí)長度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺儀器各測量10次，將測量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：問：根據(jù)上述結(jié)果，哪臺儀器好一些呢？乙儀器測量結(jié)果乙儀器較好，因?yàn)橐覂x器的測量結(jié)果集中在均值附近。 因此需要引進(jìn)另一個數(shù)字特征來刻劃隨機(jī)變量取值在其中心附近的散布程度方差。測量結(jié)果的均值都是 a

2、二、方差的定義D（X）=Var（X）=存在,則稱之為X的方差，記為D（X）或Var(X)。即說明：（1）實(shí)際意義：定義1 設(shè)X是一隨機(jī)變量，若 常數(shù)E(X) X的概率取值中心; X-E(X) X的取值與概率取值中心的偏差;非負(fù)常數(shù)D(X)=E X-E(X)2偏差平方的期望。方差描述了X的取值與概率取值中心的平均偏差,刻劃了圍繞其概率取值中心的偏離程度的大小.若X的取值比較集中,則方差較小;若X的取值比較分散,則方差較大. 若方差D(X)=0, 則r.v X 以概率1取常數(shù)值.，稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差（2） X-E(X)2偏差的平方，也是r.v；求方差最常用的公式!三、方差的計(jì)算方法（1）當(dāng)X為離散

3、型r.v，其分布律為P(X=xk)=pk（2）當(dāng)X是連續(xù)型r.v，其概率密度為f(x)方法2一個常用的簡化公式:證明：方法1：由定義求P99例3：解法1: 用定義(略)解法2:令i=k-1拆項(xiàng)例4解:可見，正態(tài)分布由它的數(shù)學(xué)期望和方差唯一確定。四、方差的性質(zhì) 1. 設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0; 2. 若C是常數(shù),則D(CX)=C2 D(X),D(X+C)=D(X).3. 若X1與X2 獨(dú)立，則D(X1+X2)= D(X1)+D(X2);可推廣為：若X1,X2,Xn相互獨(dú)立,則不知X1 與X2是否獨(dú)立時，D(X1 +X2 )=？證明:D(X+Y)=EX+Y-E(X+Y)2= E(X-E(X)+(

4、Y-E(Y)2=EX-E(X) 2+EY-E(Y)2+2 EX-E(X) Y-E(Y)=D(X)+D(Y)+ 2 EX-E(X) Y-E(Y)EX-E(X) Y-E(Y)=EXY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(X)E(Y)-E(X)E(Y)=0 4. D(X)=0 PX= E(X)=1PX= x稍后再證.P101例6 二項(xiàng)分布的方差設(shè)XB(n,p), 則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功” 次數(shù) . 若設(shè)i=1,2，n 故 D(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2E(Xi)=P(Xi=1

5、)= p,E(Xi2)= p, 則 是n次試驗(yàn)中“成功” 的次數(shù)，= p- p2= p(1- p)，于是i=1,2，n由于X1,X2,Xn相互獨(dú)立，= np(1- p)常見分布的方差(3)泊松分布:(1)(0-1)分布:D(X)=pq(2)二項(xiàng)分布:D(X)=npqD(X)=(4)正態(tài)分布:(5)均勻分布:D(X)=D(X)=(6) 指數(shù)分布五、切比雪夫不等式設(shè)r.vX具有均值E(X)= ,方差D(X)=2，則對 0 ,有不等式 證明:僅就連續(xù)型r.v的情況來證明-+等價形式: X分布未知情況下,估計(jì)出X落在(-, +) 的概率.若方差越小，則r.vX集中在期望附近的可能性越大.由此可體會方差

6、的概率意義：它刻劃了r.v取值的散布程度.切比雪夫不等式用途：不等式對 0都成立，取 可見，對任給的分布，只要期望和方差 存在，則 r.v X取值偏離E(X)超過 3 的概率小于0.111 .后面還將看到，切比雪夫不等式是證明切比雪夫大數(shù)定律的有力工具。均值E(X)= ,方差D(X)=2例8 已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是 7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升 白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率 .解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X，依題意，E(X)=7300,D(X)=7002所求為 P5200 X 9400 =P5200 -7300X-73009400 -73

7、00 = P-2100 X-E(X) 2100 = P |X-E(X)|2100由切比雪夫不等式 P |X-E(X)|2100即估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率不小于8/9 . P5200X 9400解: 設(shè)X取值x1, x2, x3的概率分別為p1, p2, p3，則有由D(X)=0.61得:E(X2)=5.9已知離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為 x1=1, x2=2, x3=3, E(X)=2.3, D(X)=0.61, 求X的分布律.思考題：p1+p2+p3=1 p1+4p2+9p3=5.9解得：p1+2p2+3p3=2.3小結(jié):方差的計(jì)算： 1. 設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0; 2. 若C是常數(shù),則D(CX)=C2 D(X),D(X+C)=D(X).3. 若X1與X2 獨(dú)立，則D(X1+X2)= D(X1)+D(X2);D(X+Y)=D(X)+D(Y)+ 2 EX-E(X)