動態(tài)規(guī)劃的基本原理和基本應(yīng)用課件

1、1第9章 動態(tài)規(guī)劃的基本原理和基本應(yīng)用1第9章 2 動態(tài)規(guī)劃是解決多階段決策過程最優(yōu)化問題的一種方法。由美國數(shù)學(xué)家貝爾曼（Bellman）等人在20世紀(jì)50年代提出。他們針對多階段決策問題的特點(diǎn)，提出了解決這類問題的“最優(yōu)化原理”，并成功地解決了生產(chǎn)管理 、 工程技術(shù)等方面的許多實(shí)際問題。2 動態(tài)規(guī)劃是解決多階段決策過程最優(yōu)3 動態(tài)規(guī)劃是現(xiàn)代企業(yè)管理中的一種重要決策方法，可用于最優(yōu)路徑問題、資源分配問題、生產(chǎn)計劃和庫存問題、投資問題、裝載問題、排序問題及生產(chǎn)過程的最優(yōu)控制等。3 動態(tài)規(guī)劃是現(xiàn)代企業(yè)管理中的一種重要決策方法4 9.1多階段決策過程最優(yōu)化問題舉例多階段決策過程最優(yōu)化 多階段決策過程

2、是指這樣一類特殊的活動過程，他們可以按時間順序分解成若干相互聯(lián)系的階段，在每個階段都要做出決策，全部過程的決策是一個決策序列，所以多階段決策問題也稱為序貫決策問題。4 9.1多階段決策過程最優(yōu)化問題舉例5例1 多階段資源分配問題 設(shè)有數(shù)量為x的某種資源，將它投入兩種生產(chǎn)方式A和B中：以數(shù)量y投入生產(chǎn)方式A，剩下的量投入生產(chǎn)方式B，則可得到收入g(y)+h(x-y)，其中g(shù)(y)和h(y)是已知函數(shù)，并且g(0)=h(0)=0；同時假設(shè)以y與x-y分別投入兩種生產(chǎn)方式A，B后可以回收再生產(chǎn)，回收率分別為a與b。試求進(jìn)行n個階段后的最大總收入。 5例1 多階段資源分配問題 設(shè)有數(shù)量為x6 若以y與

3、x-y分別投入生產(chǎn)方式A與B，在第一階段生產(chǎn)后回收的總資源為x1=ay+b(x-y)，再將x1投入生產(chǎn)方式A和B，則可得到收入g(y1)+h(x1-y1)，繼續(xù)回收資源x2=ay1+b(x1-y1)， 若上面的過程進(jìn)行n個階段，我們希望選擇n個變量y,y1,y2,yn-1，使這n個階段的總收入最大。 例16 若以y與x-y分別投入生產(chǎn)方式A與B，在第7 因此，我們的問題就變成：求y,y1,y2,yn-1，以使g(y)+h(x-y)+g(y1)+h(x1-y1)+g(yn-1)+h(xn-1-yn-1) 達(dá)到最大，且滿足條件 x1=ay+b(x-y) x2=ay1+b(x1-y1) xn-1=a

4、yn-2+b(xn-2-yn-2) yi與xi均非負(fù),i=1,2, ,n-1 例17 因此，我們的問題就變成：求y,y1,y2,yn-8例2 生產(chǎn)和存儲控制問題 某工廠生產(chǎn)某種季節(jié)性商品，需要作下一年度的生產(chǎn)計劃，假定這種商品的生產(chǎn)周期需要兩個月，全年共有6個生產(chǎn)周期，需要作出各個周期中的生產(chǎn)計劃。設(shè)已知各周期對該商品的需要量如下表所示：周期123456需求量5510305088例2 生產(chǎn)和存儲控制問題 某工廠生產(chǎn)某種季節(jié)9例2 假設(shè)這個工廠根據(jù)需要可以日夜兩班生產(chǎn)或只是日班生產(chǎn)，當(dāng)開足日班時，每一個生產(chǎn)周期能生產(chǎn)商品15個單位，每生產(chǎn)一個單位商品的成本為100元。當(dāng)開足夜班時，每一生產(chǎn)周期能

5、生產(chǎn)的商品也是15個，但是由于增加了輔助性生產(chǎn)設(shè)備和生產(chǎn)輔助費(fèi)用，每生產(chǎn)一單位商品的成本為120元。由于生產(chǎn)能力的限制，可以在需求淡季多生產(chǎn)一些商品儲存起來以備需求旺季使用，但存儲商品是需要存儲費(fèi)用的，假設(shè)每單位商品存儲一周期需要16元，已知開始時存儲為零，年終也不存儲商品備下年使用，問應(yīng)該如何作生產(chǎn)和存儲計劃，才能使總的生產(chǎn)和存儲費(fèi)用最小？9例2 假設(shè)這個工廠根據(jù)需要可以日夜兩班生產(chǎn)或只是日班生10例2 設(shè)第i個周期的生產(chǎn)量為xi，周期末的存儲量為ui，那么這個問題用式子寫出來就是：求x1,x2,x6，滿足條件： x1=5+u1 x2+u1=5+u2 x3+u2=10+u3 x4+u3=30

6、+u4 x5+u4=50+u5 x6+u5=8 0 xi 30, 0 uj , i=1,2,6 ; j=1,2, ,5 使 S = =為最小，其中10例2 設(shè)第i個周期的生產(chǎn)量為xi，周期11 例3 運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)問題：如圖1所示的運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)，點(diǎn)間連線上的數(shù)字表示兩地距離(也可是運(yùn)費(fèi)、時間等)，要求從v1至v10的最短路線。 這種運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)問題也是靜態(tài)決策問題。但是，按照網(wǎng)絡(luò)中點(diǎn)的分布，可以把它分為4個階段，而作為多階段決策問題來研究。11 例3 運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)問題：如圖1所示的運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)，點(diǎn)間121234圖1 運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)圖示121234圖1 運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)圖示13動態(tài)規(guī)劃方法導(dǎo)引 為了說明動態(tài)規(guī)劃的基本思想方法和特點(diǎn)

7、，下面以圖1所示為例討論求最短路問題的方法。 第一種方法稱做全枚舉法或窮舉法，它的基本思想是列舉出所有可能發(fā)生的方案和結(jié)果，再對它們一一進(jìn)行比較，求出最優(yōu)方案。這里從v1到v10的路程可以分為4個階段。第一二段的走法有三種，第三段的走法有兩種，第四段的走法僅一種，因此共有332118條可能的路線，54次加法算出各條路線的距離，最后進(jìn)行17次兩兩比較，可知最優(yōu)路線是v1 v2 v5 v8 v10 ,最短距離是2713動態(tài)規(guī)劃方法導(dǎo)引14 顯然，當(dāng)組成交通網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)很多時，用窮舉法求最優(yōu)路線的計算工作量將會十分龐大，而且其中包含著許多重復(fù)計算 第二種方法即所謂“局部最優(yōu)路徑”法，是說某人從k出發(fā)，

8、他并不顧及全線是否最短，只是選擇當(dāng)前最短途徑，“逢近便走”，錯誤地以為局部最優(yōu)會致整體最優(yōu)，在這種想法指導(dǎo)下，所取決策必是v1 v2 v5 v9 v10 ，全程長度是30；顯然，這種方法的結(jié)果常是錯誤的14 顯然，當(dāng)組成交通網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)很多時，用窮舉法求最優(yōu)15 第三種方法是動態(tài)規(guī)劃方法，動態(tài)規(guī)劃方法尋求該最短路問題的基本思想是，首先將問題劃分為4個階段，每次的選擇總是綜合后繼過程的一并最優(yōu)進(jìn)行考慮，在各段所有可能狀態(tài)的最優(yōu)后繼過程都已求得的情況下，全程的最優(yōu)路線便也隨之得到。 為了找出所有可能狀態(tài)的最優(yōu)后繼過程，動態(tài)規(guī)劃方法是從過程的最后階段開始考慮，然后逆著實(shí)際過程發(fā)展的順序，逐段向前遞推計

9、算直至始點(diǎn)。15 第三種方法是動態(tài)規(guī)劃方法，動態(tài)規(guī)劃方法尋求該最短16具體說，此問題先從v10開始，因?yàn)関10是終點(diǎn)。再無后繼過程，故可以接著考慮第4階段上所有可能狀態(tài)v8 ,v9的最優(yōu)后續(xù)過程因?yàn)閺膙8 ,v9 到v10的路線是唯一的，所以v8 ,v9 的最優(yōu)決策和最優(yōu)后繼過程就是到v10 ，它們的最短距離分別是10和14。 接著考慮階段3上可能的狀態(tài)v5 ,v6 , v7 到v10的最優(yōu)決策和最優(yōu)后繼過程在狀態(tài)V5上，雖然到v8是6，到v9是5，但是1234（10）（14）16具體說，此問題先從v10開始，因?yàn)関10是終點(diǎn)。再無后繼17綜合考慮后繼過程整體最優(yōu)，取最優(yōu)決策是到v8,最優(yōu)后繼

10、過程是v5v8 v10 ，最短距離是16同理，狀態(tài)v6的最優(yōu)決策是至v8 ；v7的最優(yōu)決策是到v9 。 同樣，當(dāng)階段3上所有可能狀態(tài)的最優(yōu)后繼過程都已求得后，便可以開始考慮階段2上所有可能狀態(tài)的最優(yōu)決策和最優(yōu)后繼過程，如v2的最優(yōu)決策是到v5,最優(yōu)路線是1234（10）（14）（16）（15）（17）17綜合考慮后繼過程整體最優(yōu)，取最優(yōu)決策是到v8,最優(yōu)后繼過18v2v5v8v10 ，最短距離是22依此類推，最后可以得到從初始狀態(tài)v1的最優(yōu)決策是到v2最優(yōu)路線是v1v2v5v8v10 ，全程的最短距離是27。圖1中紅線表示最優(yōu)路線，每點(diǎn)上圓括號內(nèi)的數(shù)字表示該點(diǎn)到終點(diǎn)的最短路距離。1234（10

11、）（14）（16）（15）（17）（22）（22）（21）（27）18v2v5v8v10 ，最短距離是22依此類推，最19綜上所述可見，全枚舉法雖可找出最優(yōu)方案，但不是個好算法，局部最優(yōu)法則完全是個錯誤方法，只有動態(tài)規(guī)劃方法屬較科學(xué)有效的算法。它的基本思想是，把一個比較復(fù)雜的問題分解為一系列同類型的更易求解的子問題，便于應(yīng)用計算機(jī)。整個求解過程分為兩個階段，先按整體最優(yōu)的思想逆序地求出各個子問題中所有可能狀態(tài)的最優(yōu)決策與最優(yōu)路線值，然后再順序地求出整個問題的最優(yōu)策略和最優(yōu)路線。計算過程中，系統(tǒng)地刪去了所有中間非最優(yōu)的方案組合，從而使計算工作量比窮舉法大為減少。19綜上所述可見，全枚舉法雖可找出

12、最優(yōu)方案，但不是個好算法，20拾火柴游戲: 桌子上放30根火柴, 每人一次可拾起13根, 誰拾起最后一根火柴誰輸, 如果你先選擇, 如何保證你能贏得游戲？2925211713951動態(tài)規(guī)劃與倒推求解:20拾火柴游戲: 桌子上放30根火柴, 每人一次可拾起121動態(tài)規(guī)劃是解決多階段決策問題的一種方法。所謂多階段決策問題是指這樣的決策問題：其過程可分為若干個相互聯(lián)系的階段，每一階段都對應(yīng)著一組可供選擇的決策，每一決策的選定即依賴于當(dāng)前面臨的狀態(tài)，又影響以后總體的效果。ABCDE狀態(tài)A狀態(tài)B狀態(tài)C狀態(tài)D狀態(tài)E狀態(tài)F決策A決策D決策E當(dāng)每一階段的決策選定以后，就構(gòu)成一個決策序列，稱為一個決策B決策C策

13、略，它對應(yīng)著一個確定的效果。多階段決策問題就是尋找使此效果最好的策略。21動態(tài)規(guī)劃是解決多階段決策問題的一種方法。所謂多階段決策問22動態(tài)規(guī)劃問題實(shí)例例 給定一個線路網(wǎng)絡(luò)，AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452368775845348435623143要從A向F鋪設(shè)一條輸油管道，各點(diǎn)間連線上的數(shù)字表示距離，問應(yīng)選擇什么路線，可使總距離最短？22動態(tài)規(guī)劃問題實(shí)例例 給定一個線路網(wǎng)絡(luò)，AB1B2C239.2 動態(tài)規(guī)劃的基本概念和基本原理一、基本概念階段：是指問題需要做出決策的步數(shù)。階段總數(shù)常記為n，相應(yīng)的是n個階段的決策問題。階段的序號常記為k，稱為階段變量，k=1,2, ,n.

14、k即可以是順序編號也可以是逆序編號，常用順序編號。全過程；后部子過程。狀態(tài)：各階段開始時的客觀條件，第k階段的狀態(tài)常用狀態(tài)變量 表示，狀態(tài)變量取值的集合稱為狀態(tài)集合，用表示。例如，例中，239.2 動態(tài)規(guī)劃的基本概念和基本原理一、基本24AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452368775845348435623143第1階段第2階段第3階段第4階段第5階段狀態(tài)1狀態(tài)2狀態(tài)3狀態(tài)4狀態(tài)5狀態(tài)624AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452325決策：是指從某階段的某個狀態(tài)出發(fā)，在若干個不同方案中做出的選擇。表示決策的變量，稱為決策變量，用 表示例如： 表示走到3階段,

15、當(dāng)處于C2 路口時，下一步奔D1. 時的允許決策集合記為 ，例如：策略:全過程策略 p1n；子策略pkn；最優(yōu)策略。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：是從上一階段的某一狀態(tài)值轉(zhuǎn)變?yōu)橄乱浑A段某一狀態(tài)值的轉(zhuǎn)移規(guī)律，用 表示。決策變量允許的取值范圍稱為允許決策集合，第k階段狀態(tài)為 25決策：是指從某階段的某個狀態(tài)出發(fā)，在若干個不同方案中做出26AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452368775845348435623143第1階段第2階段第3階段第4階段第5階段狀態(tài)1狀態(tài)2狀態(tài)3狀態(tài)4狀態(tài)5狀態(tài)626AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452327指標(biāo)函數(shù)：分階段指標(biāo)函數(shù)和過程指標(biāo)函數(shù)。階段

16、指標(biāo)函數(shù)是指第k階段從狀態(tài) 出發(fā)，采取決策 時的效益，用表示。而過程指標(biāo)函數(shù)指從第k階段的某狀態(tài)出發(fā)，采取子策略時所得到的階段效益之和：最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)：表示從第k階段狀態(tài)為 時采用最佳策略到過程終止時的最佳效益。記為27指標(biāo)函數(shù)：分階段指標(biāo)函數(shù)和過程指標(biāo)函數(shù)。階段指標(biāo)函數(shù)是指28AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452368775845348435623143第1階段第2階段第3階段第4階段第5階段狀態(tài)1狀態(tài)2狀態(tài)3狀態(tài)4狀態(tài)5狀態(tài)628AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452329其中 opt 可根據(jù)具體情況取max 或min。基本方程：此為逐段遞推求和的依據(jù)，一般

17、為：式中opt 可根據(jù)題意取 max 或 min.例如，例的基本方程為：29其中 opt 可根據(jù)具體情況取max 或min?；痉匠?0即確定各個變量及方程函數(shù)1、階段變量2、狀態(tài)變量：選擇時要滿足兩個條件：能正確描述受控過程的演變特性要滿足無后效性無后效性：給定了某階段狀態(tài)，在這階段以后過程的發(fā)展不受這階段以前各階段狀態(tài)的影響。3、決策變量4、列出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程5、指標(biāo)函數(shù)二、模型的構(gòu)成（因素）30即確定各個變量及方程函數(shù)二、模型的構(gòu)成（因素）31三、最優(yōu)化原理：最優(yōu)策略的任一后部子策略都是最優(yōu)的。無論以前狀態(tài)決策如何，從眼下直到最后的諸決策必構(gòu)成最優(yōu)子策略。動態(tài)規(guī)劃應(yīng)用舉例例1 最短路線問題

18、AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F45236877584534843562314331三、最優(yōu)化原理：最優(yōu)策略的任一后部子策略都是最優(yōu)的。無論32逆序遞推方程：（1）k=5 時，狀態(tài)它們到F 點(diǎn)的距離即為最短路。AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F45236877584534843562314332逆序遞推方程：（1）k=5 時，狀態(tài)它們到F 點(diǎn)的距離即33AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452368775845348435623143（2）k=4 時，狀態(tài)它們到F 點(diǎn)需經(jīng)過中途點(diǎn)E，需一一分析從E 到 F的最短路：先說從D1到F 的最短路有兩種選擇：

19、經(jīng)過 E1, E2, 比較最短。33AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452334AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452368775845348435623143這說明由 D1 到F 的最短距離為7，其路徑為相應(yīng)的決策為：34AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452335這說明由 D2 到F 的最短距離為5，其路徑為相應(yīng)的決策為：AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F45236877584534843562314335這說明由 D2 到F 的最短距離為5，其路徑為相應(yīng)的決策36AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F45236877

20、5845348435623143即 D3 到F 的最短距離為5，其路徑為相應(yīng)的決策為：36AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452337（3）k=3 時，狀態(tài)這說明由 C1 到F 的最短距離為12，相應(yīng)的決策為AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F45236877584534843562314337（3）k=3 時，狀態(tài)這說明由 C1 到F 的最短距離為38AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452368775845348435623143即由 C2 到F 的最短距離為10，相應(yīng)的決策為38AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452339即由 C

21、3 到F 的最短距離為8，相應(yīng)的決策為即由 C4 到F 的最短距離為9，相應(yīng)的決策為AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F45236877584534843562314339即由 C3 到F 的最短距離為8，相應(yīng)的決策為即由 C440AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452368775845348435623143（4）k=2時，狀態(tài)這說明由 B1 到F 的最短距離為13，相應(yīng)的決策為40AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452341即由 B2到F 的最短距離為15，相應(yīng)的決策為AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452368775845348

22、43562314341即由 B2到F 的最短距離為15，相應(yīng)的決策為AB1B242AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452368775845348435623143（5）k=1 時，只有一個狀態(tài)點(diǎn)A, 則即由 A到F 的最短距離為17，相應(yīng)的決策為42AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452343所以最優(yōu)路線為：AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452368775845348435623143再按計算順序反推可得最優(yōu)決策序列：43所以最優(yōu)路線為：AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E44順序遞推方程：AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F4

23、52368775845348435623143例1：1階段2階段3階段4階段5階段行走方向第k階段44順序遞推方程：AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E145AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452368775845348435623143K=1 時注意到：所以45AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452346K=2 時AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F45236877584534843562314346K=2 時AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E247K=3 時AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F45236877584534

24、843562314347K=3 時AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E248AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452368775845348435623143或類似地，可算出：48AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452349最優(yōu)策略：AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452368775845348435623143或49最優(yōu)策略：AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E250最短路徑：最短路長：注：順序解法與逆序解法無本質(zhì)區(qū)別，一般來說，當(dāng)初始狀態(tài)給定時用逆序解法，當(dāng)終止?fàn)顟B(tài)給定時用順序解法。若問題給定了一個初始狀態(tài)與一個終止?fàn)顟B(tài)，則兩種

25、方法均可使用。50最短路徑：最短路長：注：順序解法與逆序解法無本質(zhì)區(qū)別，一51AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F452368775845348435623143（4，F(xiàn)）（3，F(xiàn)）（5，E1）（5，E2）（7，E1）（12，D1）（10，D2）（8， D2 ）（9， D3 ）（13，C2）（15，C3）（17，B1）作業(yè)：P235 5.2（雙標(biāo)號法，順序逆序選一）51AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2F4523529.3 背 包 問 題 一般的提法為：一旅行者攜帶背包去登山。已知他所能承受 的背包重量的極限為a (千克)，現(xiàn)有n種物品可供他選擇裝入背包。第i種物品的單

26、位重量為 (千克)，其價值（可以是表明本物品對登山者的重要性指標(biāo)）是攜帶數(shù)量 的函數(shù) （i=1，2，n）.問旅行者應(yīng)如何選擇攜帶物品的件數(shù)，以使總價值最大？此模型解決的是運(yùn)輸工具包括衛(wèi)星的最優(yōu)裝載問題。其數(shù)學(xué)模型為：529.3 背 包 問 題 一般的提法為：一旅行者攜帶背包53設(shè) 為第 i 種物品裝入的件數(shù)，則背包問題可歸結(jié)為如下 形式的整數(shù)規(guī)劃模型：下面從一個例子來分析動態(tài)規(guī)劃建模。例 有一輛最大貨運(yùn)量為10 t 的卡車，用以裝載3種貨物，每種貨物的單位重量及相應(yīng)單位價值如表4 所示。應(yīng)如何裝載可使總價值最大？53設(shè) 為第 i 種物品裝入的件數(shù)，則背包問題可歸結(jié)為54貨物編號i 1 2 3單

27、位重量（t） 3 4 5單位價值 ci 4 5 6表 4 設(shè)第 種貨物裝載的件數(shù)為 則問題可表為：階段k: 將可裝入物品按1，2，3的順序排序，每段裝入一種物品，共劃分3個階段，即k=1,2,3.54貨物編號i 1 2 55狀態(tài)變量 ：在第k段開始時，背包中允許裝入前k種物品的總重量。決策變量 ：裝入第k種物品的件數(shù)。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：最優(yōu)指標(biāo)函數(shù) ：在背包中允許裝入物品的總重量不超過 kg，采取最優(yōu)策略只裝前k種物品時的最大使用價值。貨物1貨物2貨物355狀態(tài)變量 ：在第k段開始時，背包中允56由此可得動態(tài)規(guī)劃的順序遞推方程為：貨物1貨物2貨物3K=1 時56由此可得動態(tài)規(guī)劃的順序遞推方程為：貨物1貨物2貨物3K=57貨物1貨物2貨物3K=1 時注意到：例如：時，其它計算結(jié)果見表5：57貨物1貨物2貨物3K=1 時注意到：例如：時，其它計算結(jié)580 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 104040 40 40 41 40 41 4240 41 42 43000448121200011233表 5580 1 59貨物1貨物2貨物3K=2 時其中例如：時，59貨物1貨物2貨物3K=2 時其中例如：時，600 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 104040 40 40 41 40 41 4240 41 42 430004812