圓的軸對稱性

1、I說課II設(shè)計I圓的軸對稱性垂徑定理及其推論房山二中李元東2006.11圓的軸對稱性 垂徑定理及其推論各位專家、評委：你們好！我是房山二中的李元東，很高興能有機會參加這次活動，并得到您 的指導。我說課的題目是：圓的軸對稱性垂徑定理及其推論。它是北京市義務教 育課程改革實驗教材第 17 冊第22 章第三節(jié)的內(nèi)容。這部分內(nèi)容教材安排了兩課 時，其中第一課時講圓的軸對稱性，第二課時講圓的旋轉(zhuǎn)不變性。結(jié)合我對教材 的理解和我所任教班級學生的實際情況，我將圓的軸對稱性一課時內(nèi)容調(diào)整為兩 課時，今天我所講的是第一課時垂徑定理及其推論。下面，我就從教學內(nèi)容，教學目標、教學方法與手段、教學過程設(shè)計等四個 方面

2、進行說明。一、教學內(nèi)容的說明教師只有對教材有較為準確、深刻、本質(zhì)的理解，并從“假如我是學生”的 角度審視學生的可接受性，才能處理好教材。同時垂徑定理和它的推論反映了圓 的重要性質(zhì)，是證明線段相等、弧相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)，還為進行圓的計 算和作圖提供了重要依據(jù)，因此這部分內(nèi)容是學習的重點，同時由于它的題設(shè)和 結(jié)論較為復雜，容易混淆，因此也是學習的難點。鑒于這種理解，通覽教材，我 確定出如下教學內(nèi)容： 了解圓的軸對稱性。弄清垂徑定理及其推論的題設(shè)和結(jié)論。運用垂徑定理及其推論進行有關(guān)的計算和證明。學會與垂徑定理有關(guān)的添加輔助線的方法。教學重點：垂徑定理及其推論教學難點：垂徑定理的證明方法，其中圓

3、的軸對稱性是理解垂徑定理的關(guān)鍵。二、教學目標的確立根據(jù)本課的具體內(nèi)容、學生的實際情況，我確立了如下的教學目標：1、通過直觀演示了解圓的軸對稱性。2、通過“試驗觀察猜想證明”掌握垂徑定理及其推論3、運用垂徑定理解決有關(guān)的證明、計算和作圖問題。4、培養(yǎng)學生的數(shù)學直覺能力、抽象概括能力。激發(fā)學生的探索精神。三、教學方法與手段的選擇在教學方法方面:本節(jié)課主要采用了教師啟發(fā)引導下的學生自主探究、小組合 作學習以及分層教學、分層評價的方法。在教學過程中，遵循“實驗觀察猜 想證明討論總結(jié)應用”這一思路，使學生由感性認識上升到理性認識， 再到實際應用。遵循“階梯式發(fā)展”原則，引導學生在獨立分析、認真思考的基

4、礎(chǔ)上，以小組討論等形式合作探究，進而解決問題、掌握方法。同時，考慮到不 同層次學生的學習需要，在所提問題、例題、習題的設(shè)置上，均力爭使每名學生 都有所得。在教學手段方面：我采用教（學）具直觀演示與計算機輔助教學，以提高課 堂教學效率。四、教學過程的設(shè)計1、堅持一條原則：學生是主體，教師是教學過程的組織者、引導者、合作 者。2、圍繞一個目的：落實教學目標3、突出一個特點：通過“實驗觀察猜想證明應用”幫助學生實現(xiàn) 由感性認識到理性認識的過渡4、采用一種手段：借助教具的直觀性和計算機輔助教學，啟發(fā)引導學生發(fā) 現(xiàn)定理，從而抽象概括出定理5、收到一個效果：使學生通過本節(jié)課的學習，能夠理解定理的內(nèi)涵，學會

5、 運用定理解決問題。同時使學習知識、培養(yǎng)能力和優(yōu)化思維品質(zhì)融為一 體。學法指導：動手操作、 觀察猜測、 交流討論、 分析推理、 歸納總結(jié)，在 此過程中使學生積極參與，交流互動。本課的教學過程包括：以舊引新、引導探究動手操作、觀察猜想指 導論證、引申結(jié)論多方練習、分層評價反思小結(jié)、布置作業(yè) 五個環(huán)節(jié)。（一）以舊引新、引導探究 人類認識事物大多遵循由感性認識到理性認識，由舊知到新知的上升過程，為 此我先引導學生復習與本課新知識有關(guān)的舊知識，出示如下兩個問題：（1）什么是軸對稱圖形（2）觀察下列圖形哪些是軸對稱圖形？并指出對稱軸條數(shù)。其中第一題的目的在于喚起學生記憶，明確軸對稱圖形的概念。進而選取幾

6、 種常見的幾何圖形讓學生判斷，其中的平行四邊形是從反面強化對軸對稱圖形的 理解。第二組是有關(guān)車標圖案的軸對稱圖形，使學生知道我們身邊隨時隨地都有 軸對稱圖形的存在，此時可讓學生再舉幾個實際例子，以激發(fā)學生的興趣。然后出示圓，提問：圓是軸對稱圖形嗎？它有幾條對稱軸？對稱軸在什么位 置？進而通過學生折疊圓形紙片、教師投影演示明確：圓是軸對稱圖形，它有無 數(shù)條對稱軸，過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。這樣通過創(chuàng)設(shè)問題情境，激 發(fā)學生的求知欲，以舊引新，引出本課課題圓的軸對稱性。（二）動手操作，觀察猜想 首先讓學生按要求在事先準備好的圓形紙片中畫圖折疊、觀察、猜想。i 畫出OO的一條弦ABii過O畫A

7、B的垂線交。O于C、D兩點，垂足為E.問題1：過O點垂直AB的直線有幾條？（說出理由）設(shè)計意圖：明確垂直于弦的直線有且只有一條。問題2：直徑CD還有什么性質(zhì)？（投影）（引導學生將。0紙片沿直徑CD折疊，觀察重合部分，猜想結(jié)論（小組交流猜想結(jié)論。教師投影演示與學生共享猜想結(jié)論） 設(shè)計意圖：通過調(diào)動學生的多種感官功能，使學生在動手動腦中強化思維品 質(zhì)。 同時為用“疊合法”證明垂徑定理起鋪路搭橋的作用。（三）指導論證，引申結(jié)論在師生共同得出猜想結(jié)論后，教師追問質(zhì)疑：猜想的結(jié)果是否正確，必須要 加以證明，將學生的活躍思維從實驗猜想拉回到對猜想的嚴格證明中。教學安排：學生回答已知、求證后教師投影。隨后指

8、導學生從圓的軸對稱性 入手，討論出聯(lián)結(jié)0A和0B后，抓住只要能夠證出直徑CD既是等腰三角形OAB 的對稱軸，又是圓的對稱軸，即可利用圓的軸對稱性證明出結(jié)論。進而讓學生試 述，教師板書證明過程。進而總結(jié)出垂徑定理的內(nèi)容。并引導學生分析出定理的題設(shè)和結(jié)論。說明知 道了題設(shè)的兩個條件，就可以得出三個結(jié)論。此時出示判斷題過圓心的直徑平分弦（X）垂直于弦的直線平分弦（X）（3）00 中，0E丄弦 AE 于 E,則 AE=BE （V）引導小組討論，允許爭論，關(guān)鍵要讓學生說明理由，舉反例。交流討論、統(tǒng)一思想后，教師要充分利用評價機制鼓勵學生，并強調(diào)垂徑定理題設(shè)中的兩個 條件缺一不可。同時說明垂徑定理條件中的

9、“直徑”是指過圓心的直線，但在應 用該條件時可以不為直徑，如半徑、圓心到弦的距離照樣可以得到平分弦的結(jié)論。OBAED然后再次通過提問：如果將題設(shè)中的兩個條件改為“直徑平OBAED分弦”能否得出其它三個結(jié)論呢？自然的引出對例1的教學：【例1：已知:如圖，在理 中，直徑CD交弦QB于E, AE=BE 求證：CD 丄 AB,AD = BDAC = BC 】通過教師引導、小組討論分析證明出垂徑定理的推論：平分弦 （非直徑）的直徑垂直于弦，且平分弦所對的兩條弧。使學生初步 認識到將定理中題設(shè)的兩個條件之一與三個結(jié)論之一交換一個，也可得出其它三 個結(jié)論。然后再次出示小組討論題，【小組討論：下列命題是否正確

10、？說明理由1、弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，且平分弦所對的兩條弧。（V）2、平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，且平分弦所對的另一條弧（V）】 進一步強化剛才的初步認識，進而歸納總結(jié)出其中規(guī)律：五個條件，知二推三。在整個過程中教師要及時引導學生通過畫圖分析、討論，說明 ” 理由，辨別正誤，從而有效的突破難點，突出重點。四）多方練習，分層評價圓心0到AB的距離鄭3cm,A 廠 B【例2圓心0到AB的距離鄭3cm,A 廠 B1、選題意圖至此,學生們對垂徑定理及其推論的基本知識應該掌握了,為了使學生再上 一個臺階,更好的將知識點落到實處。我安排了例 2,試圖通過此例,使學生明 確：在解決有關(guān)弦、半徑（直徑

11、）、圓心到弦的距離等問題時,通常是將垂徑定理 和勾股定理結(jié)合起來。達到一通百通的目的。并為例 3 的教學鋪平道路。2、教學安排解決問題：此題先提醒學生審清題意,思考如何構(gòu)造出圓的半徑及圓心0到弦 AB 的距離。在個人獨立思考建立圖形以后,進行小組交流、討論。最后各組派代表展示學習成果并說明理由,教師點撥,最后投影出完整解題步驟。 ii反思拓展：提問：在解答此題的過程中，你用到了幾個定理？通過討論,使學生體會到：在解決有關(guān)弦、半徑（直徑）、圓心到弦的距離等 問題時,通常是通過構(gòu)造直角三角形將垂徑定理和勾股定理結(jié)合起來。然后,趁熱打鐵,通過三個難度不同的練習,進一步鞏固剛才討論得出的成 果?！続組

12、在圓中某弦長為8cm,圓的直徑是10cm,則圓心到弦的距離是（3 ）cm B組在圓0中弦CD=24，圓心到弦CD的距離為5,則圓0的直徑是（26 ）C組若AB為圓0的直徑，弦CD丄AB于E, AE=16, BE=4,則CD=（16）】iii分層評價：學生的認知水平是不同的，所以我有意識的將題目按由易到難 的順序分成了 A、B、C三組，其中A組題是為學困生編寫的；B組題絕大多數(shù)同 學應該掌握； C 組題難度稍大,但稍微動一動腦,也不是不能做出的,是為中上 等同學準備的。需要說明的是：學生每做對一組題就可獲得一個滿分,教師此時巡視指導并 及時評判各組當中做完的同學,而且不管是誰只要做對了題,都可以

13、為本組同學 判題打分。這樣安排,使不同層次的學生都學有所得,調(diào)動學生的學習熱情。然后各組請代表說明解題思路。熱身之后，出示例3：【例3、已知G0的直徑為4cm,弦AB=.3cm，求Z0AB的 度數(shù)】1、選題意圖：在鞏固例2成果基礎(chǔ)之上，出示例3,是為了將解直角三角形與垂徑定理的知識銜接起來，使知識之間融匯A 貫通你中有我，我中有你。2、教學安排：i解決問題：提問：求角度問題，可否通過解直角三角形的問題解決?學生自然會聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形，進而作出正確的輔助線。然后利用特殊 角的三角函數(shù)值求出銳角的度數(shù)。學生展示成果后，教師出示完整解題格式，并 追問：還有沒有其它的解題方法？此時可能有的學生通過得出弦心距的長度，利 用在直角三角形中，若一條直角邊等于斜邊一半，則該直角邊所對角為30，亦B可。教師要給予充分的肯定和鼓勵性評價。然后再通過一道證明題, 【練習：已知如圖，在以0為圓心的兩個同心圓中，大圓的 弦AB交小圓于C、D兩點。求證：AC=BD】B再一