2021年陜西省高中數(shù)學(xué)競賽試題及參考答案

1、全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試題（ 月 日午 8:3011:00）第一試一、選擇題（每小題 6 分，共 48 分給出的四個選項，只有一項是符合題目要求的）1、已知集合M =1,2,3， ， 是 M 的集，且 中各元素的和為 ，滿足條件的子集 共有（ ）A. 8 個B. 7 個 5 2、在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組 3 y x y y 表示的平面區(qū)域的面積是（ ）A.32B.3 3 b 是同一平面內(nèi)的三個單位向量a b ( )的最大值 ）A.1 B.1 22 41這 個數(shù)中 3個不同的數(shù) 個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列的概率 ）A.1 1 B. C. D.5 10 19 385、 B 是拋物線 y 2上關(guān)于直

2、線 y 對稱的相異兩點，則| AB 等（ ）A.3B.3 24 26如圖在長為 1 的四面體 ABCD 中，G BCD 重心， M 是段 中點，則三棱錐 M BCD的外接球的表面積為（ ）AA.B.326 6 D.4 8M7、設(shè)函數(shù)f ) x3ax2bx （ , b, 均為非零整數(shù)）BGD若3f (a A.，3f b ) B.，則的值是（ ） 16C 、設(shè)非負(fù)實數(shù)a , c滿足ab ，則ab 的最小值為（ ）A.B.332 21二、填空題（每小題 8 分，共 32 分9數(shù)列 n中 4 11任意連續(xù)三項的和都是152016_.10、, 均為正整數(shù)，且滿足24m ，則m的最小值是_.11 ( x)

3、、g ( )分別是定義在 上的奇函數(shù)和偶函數(shù)f ( x)+g ( x) x ，不等式af ( )+ x) 恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_.12設(shè) x R則函數(shù) ( x) x x x 5 x 的最小值為_.第二試一題分 20 分設(shè) , y均為非零實數(shù)，且滿足 sin 5 5 tan20（）yxy的值） ABC 中，若 tan ， 2 x的最大值2二 20 分直 l : O x2 2 r 2) ABCD的一個內(nèi)角為 60頂點 , B在直線l上點 C D 在O上 r變化時菱ABCD的面積的取值范圍三題分 20 分如圖，圓 與 相交于 P, Q 兩，圓 O 的弦 PA 與圓 O 相，1 2 2圓 O

4、的弦 圓 相 PQ 與 的接圓 交另點 2 1P12ABR31四題分 30 分設(shè)函數(shù) f ( ) x ( x，且 f )的最小值為，（ 1 ） 求 a 值 ； （ 2 ） 已 知 數(shù) 列 n滿 足a 1，an f ( a n ， 設(shè) n 1 3 n n五題分 30 分）設(shè) , 為正實數(shù)，且滿足 ，對任意整數(shù)n ，證明：na c b n n 24參答：第試一、CBAD CBDA二5 （）； （11 176, ； （）第 題示 法一：法二：第 12 題提示： f ( x) x 1 x x 2 ，根據(jù)絕對值的幾何意義，當(dāng) x 34時， f ( x)最小55 x9 ytan ， 1 tan1 5 x9

5、 ytan ， 1 tan1 第試一）依題意 y 9 tan tan tan20 x 5 20 5 4（） ，C ， 4 ，sin 2 A B sin( B) B B B 2cos B 2 3 ) 2，當(dāng) B 12，即 B 3時，sin B 的最大值為 二、設(shè)直線 CD 方程方程為 y x ，則直線 與 CD 間距離為b 2， ABC ， 60 ，原點到直線 CD 的離b2， r2b2)2 r22，由 BC ，得b 3 r22，即 3r 2 r ，3 2 ，解得 且 b S ( 2 ， 的取值范圍為 且 S 323三、提:由 ，得 ,（）由 ARQ，得AQ ， AP PB ， （）由（式得a 四） AQ QR， PQ QR6a k k a k k 1（） a ln n，ln ， x ，即 1x ，1 1 當(dāng) 時， 2a n ，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n 時， n設(shè) k， f ( x )