2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版課時分層作業(yè)40　空間幾何體的切、接、截問題

1、 課時分層作業(yè)(四十)空間幾何體的切、接、截問題一、選擇題1(2020天津高考)若棱長為2 eq r(3)的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()A.12B24C36D144C由題意知，正方體的體對角線就是球的直徑，2R eq r(（2r(3)）2（2r(3)）2（2r(3)）2)6，R3，S球4R236.2某同學(xué)在參加通用技術(shù)實踐課時，制作了一個工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為4 eq r(3)的正方體的六個面所截后剩余的部分(球心與正方體的中心重合)，若其中一個截面圓的周長為4，則該球的半徑是()A.2 B4 C2 eq r(6) D4 eq r(6)B設(shè)截

2、面圓半徑為r，球的半徑為R，則球心到某一截面的距離為正方體棱長的一半即2 eq r(3)，根據(jù)截面圓的周長可得42r，得r2，故由題意知R2r2(2 eq r(3)2，即R222(2 eq r(3)216，所以R4，故選B.3已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，且該圓柱的內(nèi)切球O1的表面積為S1，該圓柱的上、下底面的圓周都在球O2上，球O2的表面積為S2，則S1S2()A.1 eq r(2) B12C. eq r(2)1 D21B設(shè)球O1和球O2的半徑分別為r，R，因為該圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，所以r1，R eq r(2)，所以 eq f(S1,S2) eq blc(rc)(avs4a

3、lco1(f(r,R) eq sup10(2) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,r(2) eq sup10(2) eq f(1,2)，故選B.4已知三棱錐PABC中，ABC為等邊三角形，PAPBPC3，PAPB，則三棱錐PABC的外接球的體積為()A. eq f(27,2) B eq f(27r(3),2) C27 eq r(3) D27B三棱錐PABC中，ABC為等邊三角形，PAPBPC3，PABPBCPAC. PAPB，PAPC，PCPB.以PA，PB，PC為過同一頂點的三條棱作正方體(如圖所示)，則正方體的外接球同時也是三棱錐PABC的外接球正方體的體對角線長為 eq

4、r(323232)3 eq r(3)，其外接球半徑R eq f(3r(3),2).因此三棱錐PABC的外接球的體積V eq f(4,3) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3r(3),2)3 eq f(27r(3),2).5如圖，已知球O是棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球OA eq f(r(6),6) B eq f(,3)C eq f(,6) D eq f(r(3),3)C平面ACD1截球O的截面為ACD1的內(nèi)切圓，正方體棱長為1，ACCD1AD1 eq r(2).內(nèi)切圓半徑rtan 30AE eq f(r(3),3) eq f(r(2),2)

5、eq f(r(6),6).Sr2 eq f(1,6) eq f(,6)，故選C. 6設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，ABC為等邊三角形且其面積為9 eq r(3)，則三棱錐DABC體積的最大值為()A.12 eq r(3) B18 eq r(3) C24 eq r(3) D54 eq r(3)B由等邊ABC的面積為9 eq r(3)，可得 eq f(r(3),4)AB29 eq r(3)，所以AB6，所以等邊ABC的外接圓的半徑為r eq f(r(3),3)AB2 eq r(3).設(shè)球的半徑為R，球心到等邊ABC的外接圓圓心的距離為d，則d eq r(R2r2) eq r(1

6、612)2.所以三棱錐DABC高的最大值為246，所以三棱錐DABC體積的最大值為 eq f(1,3)9 eq r(3)618 eq r(3).7已知三棱錐PABC(記ABC所在的平面為底面)內(nèi)接于球O，PAPBPC123，當(dāng)三棱錐PABC側(cè)面積最大時，球O的體積為 eq f(56r(14),3)，則此時ABC的面積為()A.12 B13 C14 D15C設(shè)PAx，則PB2x，PC3x，當(dāng)三棱錐PABC側(cè)面積最大時，PA，PB，PC兩兩垂直，此時球O的直徑為以PA，PB，PC為長、寬、高的長方體的體對角線設(shè)球O的半徑為R，則 eq f(4,3)R3 eq f(56r(14),3)，得R eq

7、r(14)，所以PA2PB2PC24R2，即14x24( eq r(14)2，得x2，則PA2，PB4，PC6，此時AB2 eq r(5)，AC2 eq r(10)，BC2 eq r(13)，由余弦定理得cos BAC eq f(204052,22r(5)2r(10) eq f(r(2),10)，則sin BAC eq f(7r(2),10)，則ABC的面積為 eq f(1,2)2 eq r(5)2 eq r(10) eq f(7r(2),10)14.8(2021全國甲卷)已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且ACBC，ACBC1，則三棱錐OABC的體積為()A. eq f(r(2

8、),12) B eq f(r(3),12) C eq f(r(2),4) D eq f(r(3),4)A如圖所示，因為ACBC，所以AB為截面圓O1的直徑，且AB eq r(2).連接OO1，則OO1平面ABC，OO1 eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(AB,2)2) eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)2) eq f(r(2),2)，所以三棱錐OABC的體積V eq f(1,3)SABCOO1 eq f(1,3) eq f(1,2)11 eq f(r(2),2) eq f(r(2),12).二、填空題9(2021萊州一中模擬)如圖，在圓柱O1O

9、2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下面及母線均相切記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則 eq f(V1,V2)的值是_ eq f(3,2)設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R，則由題設(shè)可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R，高為2R，故 eq f(V1,V2) eq f(R22R,f(4,3)R3) eq f(3,2).10已知三棱錐PABC的四個頂點都在球O的表面上，PA平面ABC，PA6，AB2 eq r(3)，AC2，BC4，則：(1)球O的表面積為_；(2)若D是BC的中點，過點D作球O的截面，則截面面積的最小值是_(1)52(2)4(1)由題意，根據(jù)勾股定理可得ACAB，則可將三棱錐PABC

10、放入以AP，AC，AB為長方體的長，寬，高的長方體中，則體對角線為外接球直徑，即2r eq r(2262（2r(3)）2)2 eq r(13)，則r eq r(13)，所以球的表面積為4r24( eq r(13)252.(2)由題意，因為RtABC，所以D為底面ABC的外接圓圓心，當(dāng)DO截面時，截面面積最小，即截面為平面ABC，則外接圓半徑為2，故截面面積為224.11農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)俗，粽子又稱“粽籺”，故稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會品嘗的食品，傳說這是為了紀念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原如圖的平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1的正三角形組成的，將它沿虛線折起來

11、，可以得到如圖的粽子形狀的六面體，則該六面體的體積為_；若該六面體內(nèi)有一球，則該球的體積的最大值為_圖圖 eq f(r(2),6) eq f(8r(6),729)由對稱性可知該六面體是由兩個全等的正四面體合成的，正四面體的棱長為1，則正四面體的高為 eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)sup10(2) eq f(r(6),3)，所以正四面體的體積為 eq f(1,3) eq f(1,2)1 eq f(r(3),2) eq f(r(6),3) eq f(r(2),12).因為該六面體的體積是正四面體體積的2倍，所以該六面體的體積是 eq f(r(2),6).要使球的

12、體積達到最大，則球與該六面體的六個面都要相切連接球心和六面體的五個頂點，把六面體分成了六個全等的三棱錐設(shè)球的半徑為R，則 eq f(r(2),6)6 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(1,2)1f(r(3),2)R)，解得R eq f(r(6),9)，所以球的體積V eq f(4,3)R3 eq f(4,3) eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(6),9) eq sup10(3) eq f(8r(6),729).1已知三棱錐PABC的四個頂點在球O的球面上，PAPBPC，ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，CEF90， 則球O的體積為

13、()A.8 eq r(6) B4 eq r(6) C2 eq r(6) D eq r(6)D因為點E，F(xiàn)分別為PA，AB的中點，所以EFPB，因為CEF90，所以EFCE，所以PBCE.取AC的中點D，連接BD，PD，易證AC平面BDP，所以PBAC，又ACCEC，AC，CE平面PAC，所以PB平面PAC，所以PBPA，PBPC，因為PAPBPC，ABC為正三角形，所以PAPC，即PA，PB，PC兩兩垂直，將三棱錐PABC放在正方體中因為AB2，所以該正方體的棱長為 eq r(2)，所以該正方體的體對角線長為 eq r(6)，所以三棱錐PABC的外接球的半徑R eq f(r(6),2)，所以球

14、O的體積V eq f(4,3)R3 eq f(4,3) eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(6),2)3 eq r(6)，故選D.2根據(jù)不同的程序，3D打印既能打印實心的幾何體模型，也能打印空心的幾何體模型如圖所示的空心模型是體積為 eq f(17r(17),6) cm3的球挖去一個三棱錐PABC后得到的幾何體，其中PAAB，BC平面PAB，BC1 cm.不考慮打印損耗，當(dāng)用料最省時，AC_cm.3設(shè)球的半徑為R，由球的體積 eq f(4,3)R3 eq f(17r(17),6)，解得R eq f(r(17),2) cm.因為BC平面PAB，所以BCPB，BCAB，BCPA.因為PAAB，ABBCB，所以PA平面ABC，所以PAAC.由BCAB可知，AC為截面圓的直徑，故可設(shè)ACx cm(1x eq r(17)，取PC的中點O，連接OA，OB(圖略)，則POOCOAOB，故O為球心，所以PC eq r(17)cm.在RtPAC中，PA eq r