第十二章平穩(wěn)隨機過程12-2各態(tài)歷經(jīng)性

1、第二節(jié) 各態(tài)歷經(jīng)性 一、隨機過程積分的概念二、各態(tài)歷經(jīng)性的概念三、各態(tài)歷經(jīng)性的條件四、小結一、隨機過程積分的概念1. 積分 說明對于隨機過程的所有樣本函數(shù)來說, a,b上的積分未必全都存在.2.均方積分考慮a,b內(nèi)的一組分點如果有滿足的隨機變量 Y 存在, 我們就稱 Y 為a,b上的均方積分.條件:自相關函數(shù)的二重積分3. 時間均值和時間相關函數(shù)和例 計算隨機相位正弦波解由于結論 對于隨機相位正弦波, 用時間平均和集平均分別算得的均值和自相關函數(shù)是相等的. 這一特性并不是隨機相位正弦波所獨有的.二、各態(tài)歷經(jīng)性的概念 具有各態(tài)歷經(jīng)性. 說明(1) “以概率1成立”是對X(t)的所有樣本函數(shù)而言.

2、(2)各態(tài)歷經(jīng)性有時也稱作遍歷性或埃爾古德性(ergodicity).(3)并不是任意一個平穩(wěn)過程都是各態(tài)歷經(jīng)的. 例如平穩(wěn)過程(Y的方差不為零).三、各態(tài)歷經(jīng)性的條件定理一 (均值各態(tài)歷經(jīng)定理 )平穩(wěn)過程X(t) 的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是證明先計算 的均值和方差.交換運算順序, 并且 得的方差則積分區(qū)域 由的平穩(wěn)性,由的平穩(wěn)性,則積分區(qū)域 以概率1成立的充要條件是 但現(xiàn)已算得 故 因此 以概率1成立的充要條件即 證畢推論均值具有各態(tài)歷經(jīng)性;均值不具有各態(tài)歷經(jīng)性.定理二 (自相關函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)定理 )歷經(jīng)性的充要條件是其中說明性定理.(3)在實際應用中通常只考慮定義在 上的平穩(wěn)過程. 此

3、時上面的所有時間平均都應以 上的時間平均來代替. 相應的各態(tài)歷經(jīng)定理可表示為下述形式:定理三以概率1成立的充要條件是定理四以概率1成立的充要條件是各態(tài)歷經(jīng)定理的重要價值 從理論上給出了如下保證:一個平穩(wěn)過程X(t), 只要它滿足定理三和定理四, 便可以根據(jù)“以概率1成立”的含義, 從一次試驗所得到的樣本函數(shù)x(t)來確定出該過程的均值和自相關函數(shù), 和 說明1即說明2如果試驗記錄x(t)只在時間區(qū)間0,T給出, 則有下以無偏估計式:在實際中一般不可能給出x(t)表達式, 因而通常通過模擬方法或數(shù)字方法來測量或計算估計式的值.模擬自相關分析儀 這種儀器的功能是當輸入樣本函數(shù) x(t) 時,X-Y

4、記錄儀自動描繪出自相關函數(shù)的曲線. 方框圖如圖所示:滯后發(fā)生器,乘法器積分平均電路數(shù)字方法 t把0,T等分為N個長為 的小區(qū)間, 然后在時刻 對x(t)取樣, 得N個函數(shù)值 可近似表示為基本區(qū)間t上的和, 則有無偏估計 由此估計式可算出自相關函數(shù)的一系列近似值, 從而擬合出自相關函數(shù)的近似圖形:說明 各態(tài)歷經(jīng)定理的條件是比較寬的, 工程中碰到的大多數(shù)平穩(wěn)過程都能滿足. 但要去驗證它們是否成立卻是十分困難的. 在實踐中, 通常事先假定所研究的平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性, 并從這個假定出發(fā), 對由此而產(chǎn)生的各種資料進行分析處理, 看所得的結論是否與實際相符. 如果不符, 則要修改假設, 另作處理.四、小結 本節(jié)指出, 對于具有各態(tài)歷經(jīng)性的平穩(wěn)過程, 可以根據(jù)各態(tài)歷經(jīng)定理, 對隨機過程