高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)學(xué)案10．5《幾何概型》(含詳解)

1、PAGE PAGE 10105幾何概型1隨機(jī)數(shù)是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個(gè)范圍內(nèi)任何一個(gè)滿足條件的數(shù)的機(jī)會(huì)是_利用計(jì)算器，Excel，Scilab等都可以產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)2幾何概型的定義如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的_(_或_)成比例，則稱這樣的概率模型為_，簡(jiǎn)稱_3概率計(jì)算公式在幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部的一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P(A)_求試驗(yàn)中幾何概型的概率，關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域d和整個(gè)區(qū)域D的幾何度量，然后代入公式即可求解自查自糾：1均等的2長(zhǎng)度面積體積幾何概率模型幾何概型3eq f(構(gòu)成事件A的區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）,試驗(yàn)

2、的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）) (eq avs4al(2016全國(guó)卷)某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒，若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為 ()Aeq f(7,10) Beq f(5,8) Ceq f(3,8) Deq f(3,10)解：因?yàn)榧t燈持續(xù)時(shí)間為40秒，所以這名行人至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為eq f(4015,40)eq f(5,8)故選B (eq avs4al(2017全國(guó)卷)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱在正方形內(nèi)隨

3、機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是 ()Aeq f(1,4) Beq f(,8) Ceq f(1,2) Deq f(,4)解：不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，則所求為eq f(12f(1,2),22)eq f(,8)故選B (eq avs4al(2018全國(guó)卷)右圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，ACABC的三邊所圍成的區(qū)域記為，黑色部分記為，其余部分記為在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自，的概率分別記為p1，p2，p3，則 ()Ap1p2 Bp1p3Cp2p3 Dp1p2p3解：設(shè)ABc，ACb，BCa，則a2b

4、2c2，Seq f(1,2)bc，Seq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)eq sup12(2)eq f(1,2)S，Seq blc(rc)(avs4alco1(f(c,2)eq sup12(2)eq f(,2) eq blc(rc)(avs4alco1(f(b,2)eq sup12(2)eq f(,2)SS，由幾何概型概率公式知A正確故選A (eq avs4al(2017江蘇)記函數(shù)f(x)eq r(6xx2)的定義域?yàn)镈在區(qū)間4，5上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則xD的概率是_解：由6xx20，解得2x3，則D2，3，則所求概率為eq f(3（2）,5（4）)eq f(5,9)故填eq

5、 f(5,9) (eq avs4al(2016全國(guó)卷改編)從區(qū)間0，1隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為_(用m，n表示)解：由題意可知(xi，yi)(i1，2，n)在如圖所示的正方形中，兩數(shù)平方和小于1的點(diǎn)在如圖所示的陰影中由幾何概型概率計(jì)算公式知eq f(f(,4),1)eq f(m,n)，所以eq f(4m,n)故填eq f(4m,n)類型一以長(zhǎng)度為度量的幾何概型(eq avs4al(2016全國(guó)卷)某公司的班車在7：30，8：00，

6、8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是()Aeq f(1,3) Beq f(1,2) Ceq f(2,3) Deq f(3,4)解：由題意可知滿足條件的時(shí)間段為7：508：00，8：208：30，共20分鐘，由幾何概型知所求概率為eq f(20,40)eq f(1,2)故選B點(diǎn)撥：以線段長(zhǎng)度為度量的幾何概型概率計(jì)算公式：P(A)eq f(事件A對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng),試驗(yàn)的全部結(jié)果對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng))(eq avs4al(2016山東)在1，1上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線ykx與圓(x5)2y29相交”發(fā)生的概率為_解：

7、由已知得，圓心(5，0)到直線ykx的距離小于半徑，所以eq f(|5k|,r(k21)3，解得eq f(3,4)keq f(3,4)，由幾何概型得Peq f(f(3,4)blc(rc)(avs4alco1(f(3,4),1（1）)eq f(3,4)故填eq f(3,4)類型二以面積為度量的幾何概型(1)(eq avs4al(2018莆田質(zhì)檢)從區(qū)間(0，1)中任取兩個(gè)數(shù)作為直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)，則所取的兩個(gè)數(shù)使得斜邊長(zhǎng)度不大于1的概率是 ()Aeq f(,8) Beq f(,4) Ceq f(1,2) Deq f(3,4)解：任取的兩個(gè)數(shù)記為x，y，則eq blc(avs4alco1(0

8、x1，,0y1，)如圖所示，它們構(gòu)成的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在區(qū)域是正方形OABC內(nèi)部，而符合題意的x，y滿足x2y21，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x，y)位于陰影區(qū)域內(nèi)(不包括x，y軸)故所求概率Peq f(f(1,4)12,11)eq f(,4)故選B點(diǎn)撥：以面積為度量的幾何概型概率計(jì)算公式： Peq f(事件A構(gòu)成區(qū)域的面積,整個(gè)試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域的面積)解此類問(wèn)題的主要步驟為：列出條件組，畫出圖形，計(jì)算面積，再求概率多注意數(shù)形結(jié)合(2)甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì)面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過(guò)時(shí)即可離去則兩人能會(huì)面的概率為_解：以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達(dá)約定地點(diǎn)

9、的時(shí)間，則兩人能夠會(huì)面的充要條件是eq blc|rc|(avs4alco1(xy)15在如圖所示平面直角坐標(biāo)系下，(x，y)的所有可能結(jié)果是邊長(zhǎng)為60的正方形區(qū)域，而事件A“兩人能夠會(huì)面”的可能結(jié)果由圖中的陰影部分表示由幾何概型的概率公式得：P(A)eq f(S陰影,S)eq f(602452,602)eq f(10515,3 600)eq f(7,16)所以，兩人能會(huì)面的概率是eq f(7,16)故填eq f(7,16)點(diǎn) 撥：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)用x軸表示甲到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間，y軸表示乙到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間，用0分到60分表示6時(shí)到7時(shí)的時(shí)間段，則橫軸0到60與縱軸0到60的正方形中任一點(diǎn)的坐標(biāo)

10、(x，y)就表示甲、乙兩人分別在6時(shí)到7時(shí)時(shí)間段內(nèi)到達(dá)的時(shí)間而能會(huì)面的時(shí)間由eq blc|rc|(avs4alco1(xy)15所對(duì)應(yīng)的圖中陰影部分表示本題的難點(diǎn)在于把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何模型(1)(eq avs4al(2018石家莊調(diào)研)在滿足不等式組eq blc(avs4alco1(xy10，,xy30，,y0)的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M(x0，y0)，設(shè)事件A“y02x0”，那么事件A發(fā)生的概率是()Aeq f(1,4) Beq f(3,4) Ceq f(1,3) Deq f(2,3)解：如圖，作出不等式組eq blc(avs4alco1(xy10，,xy30，,y0)表示的平面區(qū)域(即ABC)

11、，其面積為4事件A “y02x0”表示的區(qū)域?yàn)锳OC，其面積為3所以事件A發(fā)生的概率是eq f(3,4)故選B(2)甲、乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的如果甲船停泊時(shí)間為1 h，乙船停泊時(shí)間為2 h，則它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率為_解：設(shè)甲、乙兩艘船到達(dá)碼頭的時(shí)刻分別為x、y，記事件A為“兩船都不需要等待碼頭空出”，則0 x24，0y24，要使兩船都不需要等待碼頭空出，當(dāng)且僅當(dāng)甲比乙早到達(dá)1h以上或乙比甲早到達(dá)2h以上，即yx1或xy2故所求事件構(gòu)成集合A(x，y)|yx1或xy2，x0，24，y0，24A為圖中陰影部分，全部結(jié)果

12、構(gòu)成的集合為邊長(zhǎng)是24的正方形及其內(nèi)部故所求概率為P(A)eq f(A的面積,的面積)eq f(（241）2f(1,2)（242）2f(1,2),242)eq f(5065,576)eq f(1 013,1 152)故填eq f(1 013,1 152)類型三以體積為度量的幾何概型已知正三棱錐SABC的底面邊長(zhǎng)為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VPABC eq f(1,2)VSABC的概率是 ()Aeq f(7,8) Beq f(3,4) Ceq f(1,2) Deq f(1,4)解：當(dāng)點(diǎn)P到底面ABC的距離小于eq f(3,2)時(shí)， VPABC eq f(1,2)VSABC由幾何概型

13、知，所求概率為P1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(3)eq f(7,8)故選A點(diǎn) 撥：以體積為度量的幾何概型概率計(jì)算公式： Peq f(構(gòu)成事件A的區(qū)域的體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的體積)；對(duì)于以體積為度量的幾何概型，要根據(jù)空間幾何體的體積計(jì)算方法，把概率計(jì)算轉(zhuǎn)化為空間幾何體的體積計(jì)算在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為 ()Aeq f(,12) B1eq f(,12) Ceq f(,6) D1eq f(,6)解：正方體的體積為2228

14、，以O(shè)為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為eq f(1,2)eq f(4,3)r3eq f(1,2)eq f(4,3)13eq f(2,3)，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為1eq f(f(2,3),8)1eq f(,12)故選B類型四幾何概型與定積分(eq avs4al(2017湖南郴州一質(zhì))如圖，ABC中的陰影部分是由曲線yx2與直線xy20所圍成，向ABC內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為 ()Aeq f(7,32) Beq f(9,32) Ceq f(7,16) Deq f(9,16)解：令x2x2x1或2，則所求概率Peq f(iin(1,2,)（x2x2）dx,f(

15、1,2)44)eq f(f(9,2),8)eq f(9,16)，故選D點(diǎn)撥：以面積為測(cè)度的幾何概型問(wèn)題是幾何概型的主要問(wèn)題，而定積分的重要作用正是計(jì)算曲邊梯形的面積，這類問(wèn)題巧妙且自然地將新課標(biāo)新增內(nèi)容幾何概型與定積分結(jié)合在一起，是近幾年各地高考及模擬中的熱點(diǎn)題型(eq avs4al(2016銀川一模)如圖，矩形OABC內(nèi)的陰影部分由曲線f(x)sinx及直線xa(a(0，)與x軸圍成，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在陰影部分的概率為eq f(1,2)，則a_解：根據(jù)題意，陰影部分的面積為eq iin(0,a,)sinxdxcosx|eq oal(a,0)1cosa，又矩形的面積為aeq

16、f(4,a)4，則由幾何概型的概率公式可得eq f(1cosa,4)eq f(1,2)，即cosa1，又a(0，所以a故填類型五幾何概型與平面區(qū)域的綜合性問(wèn)題(eq avs4al(2017寧夏銀川一中二模)已知實(shí)數(shù)a，b滿足0a1，1b1，則函數(shù)yeq f(1,3)ax3ax2b有三個(gè)零點(diǎn)的概率為_解：對(duì)yeq f(1,3)ax3ax2b求導(dǎo)數(shù)，可得yax22ax，令ax22ax0，可得x0或x2因?yàn)?a1，所以x2是極大值點(diǎn)，x0是極小值點(diǎn)由函數(shù)yf(x)eq f(1,3)ax3ax2b有三個(gè)零點(diǎn)，可得eq blc(avs4alco1(f（2）0，,f（0）0，)即eq blc(avs4al

17、co1(4a3b0，,b0)畫出可行域如圖中陰影部分所示，實(shí)數(shù)a，b滿足0a1，1b1，為長(zhǎng)方形區(qū)域，且長(zhǎng)方形的面積為2，陰影部分的面積為eq f(1,2)(1eq f(1,4)1eq f(5,8)，所以所求概率為Peq f(f(5,8),2)eq f(5,16)故填eq f(5,16)點(diǎn) 撥：解決此類問(wèn)題的核心能力是轉(zhuǎn)化與構(gòu)造，就本例而言，即是將概率轉(zhuǎn)化為N型曲線零點(diǎn)問(wèn)題，從而由零點(diǎn)個(gè)數(shù)及極值情況構(gòu)造不等式組，即隨機(jī)試驗(yàn)對(duì)應(yīng)幾何圖形換句話說(shuō)，解題的關(guān)鍵是找“兩域”：基本事件對(duì)應(yīng)的總體區(qū)域D和隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的子區(qū)域d在區(qū)間0，1上任取兩個(gè)數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)x2axb2無(wú)零點(diǎn)的概率為 ()A

18、eq f(1,4) Beq f(1,2) Ceq f(2,3) Deq f(3,4)解：要使該函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，只需a24b20，即(a2b)(a2b)0，所以a2b0作出eq blc(avs4alco1(0a1，,0b1，,a2b0)的可行域如圖陰影部分所示，易得該函數(shù)無(wú)零點(diǎn)的概率Peq f(1f(1,2)1f(1,2),11)eq f(3,4)故選D類型六隨機(jī)模擬試寫出一個(gè)隨機(jī)模擬的方法，用來(lái)近似計(jì)算由yx21與y8所圍區(qū)域的面積解：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出正方形，如圖所示，用隨機(jī)模擬的方法可以求出陰影部分與正方形的面積之比，從而求得陰影部分面積的近似值設(shè)事件A表示“隨機(jī)向正方形內(nèi)投點(diǎn)，所投的點(diǎn)落

19、在陰影部分”S1用計(jì)數(shù)器n記錄做了多少次投點(diǎn)試驗(yàn)，用計(jì)數(shù)器m記錄其中有多少個(gè)點(diǎn)(x，y)滿足yx21(即點(diǎn)落在陰影部分)首先置n0，m0S2用變換rand( )*84產(chǎn)生44之間的均勻隨機(jī)數(shù)x，表示所投的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；用變換rand( )*8產(chǎn)生08之間的均勻隨機(jī)數(shù)y，表示所投的點(diǎn)的縱坐標(biāo)S3判斷點(diǎn)(x，y)是否落在陰影部分，即是否滿足yx21如果是，則計(jì)數(shù)器m的值加1，即mm1；如果不是，m的值保持不變S4表示隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)的計(jì)數(shù)器n的值加1，即nn1如果還要繼續(xù)試驗(yàn)，則返回步驟S2繼續(xù)執(zhí)行；否則，程序結(jié)束程序結(jié)束后，用事件A發(fā)生的頻率eq f(m,n)作為事件A的概率的近似值設(shè)陰影部分的面積為

20、S，正方形的面積為64由幾何概型的概率公式得P(A)eq f(S,64)所以陰影部分面積的近似值為eq f(64m,n)點(diǎn)撥：利用隨機(jī)模擬的方法計(jì)算不規(guī)則圖形的面積的一個(gè)常用思路是：在不規(guī)則圖形外加一個(gè)規(guī)則圖形，利用幾何概型的概率公式求出落在所求面積的圖形內(nèi)任意一點(diǎn)的事件發(fā)生的概率；再利用隨機(jī)模擬的方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，計(jì)算相關(guān)頻率當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)增加到一定程度，所得的頻率就可以看成用幾何概型的概率公式求出的概率，進(jìn)而可求出所求的面積用類似方法也可求出不規(guī)則幾何體的體積關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)受其啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)的值：先請(qǐng)120

21、名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)(x，y)的個(gè)數(shù)m；最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)m估計(jì)的值，假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是m34，那么可以估計(jì)的值約為 ()Aeq f(22,7) Beq f(47,15) Ceq f(51,16) Deq f(53,17)解：由題意得，eq blc(avs4alco1(0 x1，,0y1，)則(x，y)所在區(qū)域面積為1又x，y，1能構(gòu)成鈍角三角形，則有x2y21，滿足條件的(x，y)所在區(qū)域面積為eq f(,4)eq f(1,2)，則eq f(34,120)eq f(f(,4)f(1,2),1)得eq f(47,15)故選B1幾

22、何概型與古典概型的關(guān)系幾何概型與古典概型都是等可能概型，區(qū)別在于前者的實(shí)驗(yàn)結(jié)果不是有限個(gè)2解決幾何概型問(wèn)題需注意的幾點(diǎn)(1)能正確區(qū)分古典概型與幾何概型例1：在區(qū)間0，10上任意取一個(gè)整數(shù)x，求x不大于3的概率例2：在區(qū)間0，10上任意取一個(gè)實(shí)數(shù)x，求x不大于3的概率例1的基本事件總數(shù)為有限個(gè)11，不大于3的基本事件有4個(gè)，此為古典概型，故所求概率為eq f(4,11)例2的基本事件總數(shù)為無(wú)限個(gè)，屬于幾何概型，所求概率為eq f(3,10)(2)準(zhǔn)確分清幾何概型中的測(cè)度定性例3：在等腰RtABC中，C90，在直角邊BC上任取一點(diǎn)M，求CAM30的概率例4：在等腰RtABC中，C90，在CAB內(nèi)

23、過(guò)點(diǎn)A作射線交線段BC于點(diǎn)M，求CAM 30的概率例3中的測(cè)度定性為線段長(zhǎng)度，當(dāng)CAM0 30，CM0eq f(r(3),3)ACeq f(r(3),3)CB滿足條件的點(diǎn)M等可能的分布在線段CM0上，故所求概率等于eq f(CM0,CB)eq f(r(3),3)例4中的測(cè)度定性為角度，過(guò)點(diǎn)A作射線與線段CB相交，這樣的射線有無(wú)數(shù)條，均勻分布在CAB內(nèi)，CAB45所以所求概率等于eq f(CAM0,CAB)eq f(30,45)eq f(2,3)(3)科學(xué)設(shè)計(jì)變量，數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題例5：某人午覺醒來(lái)，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí)，求他等待時(shí)間不多于10分鐘的概率例6：某人午覺醒來(lái)，

24、發(fā)現(xiàn)表停了，求表停的分鐘數(shù)與實(shí)際分鐘數(shù)差異不超過(guò)5分鐘的概率例5是必修3P136的例題，此題中的變量(單變量)可看作是時(shí)間的長(zhǎng)度，故所求概率為eq f(10,60)eq f(1,6)例6容易犯解例5形成的定勢(shì)思維的錯(cuò)誤，得到錯(cuò)誤答案eq f(5,60)eq f(1,12)原因在于沒有認(rèn)清題中的變量，本題的變量有兩個(gè)：手表停的分鐘數(shù)和實(shí)際分鐘數(shù)，都可取0，60內(nèi)的任意時(shí)刻，故所求概率需用到面積型幾何概型，由|xy|5結(jié)合線性規(guī)劃知識(shí)可解，所求概率為eq f(602552,602)eq f(23,144)通過(guò)這兩道例題我們也可以看出，單變量多用線型測(cè)度，多變量需用面積(或體積)型測(cè)度在畫好幾何圖形

25、后，利用數(shù)形結(jié)合思想解題3幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點(diǎn)的試驗(yàn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有無(wú)限多個(gè)等可能的基本結(jié)果，每個(gè)基本結(jié)果可以用平面(或直線、空間)中的一點(diǎn)來(lái)表示，而所有基本結(jié)果對(duì)應(yīng)于一個(gè)區(qū)域，這時(shí)，與試驗(yàn)有關(guān)的問(wèn)題可考慮利用幾何概型解決1(eq avs4al(2017福建龍巖一模)在區(qū)間0，上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則ysinx的值在0到eq f(1,2)之間的概率為()Aeq f(1,6) Beq f(1,3) Ceq f(1,2) Deq f(2,)解：在區(qū)間0，上，ysinx的值在0到eq f(1,2)之間，則xeq blcrc(avs4alco1(0，f(,6)eq blcrc(a

26、vs4alco1(f(5,6)，)，區(qū)間長(zhǎng)度為eq f(,3)，所求概率為eq f(f(,3),0)eq f(1,3)故選B2如圖，兩個(gè)同心圓(O為圓心)，小圓的半徑為2 km，大圓的半徑為4 km，點(diǎn)P在圓環(huán)內(nèi)無(wú)規(guī)則地自由運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P與點(diǎn)O的距離小于3 km的概率為 ()Aeq f(1,12) Beq f(5,12) Ceq f(1,3) Deq f(1,5)解：小于3 km的圓環(huán)面積為(3222)5；圓環(huán)總面積為(4222)12，根據(jù)幾何概型公式，所以點(diǎn)P與點(diǎn)O的距離小于3 km的概率為Peq f(5,12)eq f(5,12)故選B3有一底面半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓

27、心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為 ()Aeq f(1,3) Beq f(2,3) Ceq f(1,4) Deq f(3,4)解：設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離不大于1的概率為P1，由幾何概型，則P1eq f(V半球,V圓柱)eq f(f(2,3)13,122)eq f(1,3)故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率P1eq f(1,3)eq f(2,3)故選B4(eq avs4al(2017湖南永州一模)如圖所示的陰影部分是由x軸，直線x1及曲線yex1圍成，現(xiàn)向矩形區(qū)域OABC內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率是 ()Aeq f(1,e) Beq f(1,e1)C1eq f(

28、1,e) Deq f(e2,e1)解：由幾何概型可知，所求概率為eq f(iin(0,1,)（ex1）dx,1（e1）)eq f(e2,e1)故選D5在長(zhǎng)為1的線段上任取兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間的距離小于eq f(1,2)的概率為 ()Aeq f(1,4) Beq f(1,2) Ceq f(3,4) Deq f(7,8)解：設(shè)任取兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為x，y，則0 x1，且0y1由題意知|xy|0，即ab1所有的試驗(yàn)結(jié)果(a，b)|1ae，且0b2，對(duì)應(yīng)區(qū)域面積為2(e1)；事件A(a，b)|ab0的概率解：由已知得f(x)eq f(1lnx,x2)，x2，3，故f(x)0eq f(1lnx,x2)0，解得2x1得構(gòu)成三角形的點(diǎn)P在ABC內(nèi)，若構(gòu)成銳角三角形，則最大邊1所對(duì)的角必是銳角，coseq f(x2y212,2xy)0，x2y21，即點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓