初中數(shù)學(xué)北師大八年級上冊 二元一次方程組應(yīng)用二元一次方程組-雞兔同籠 教學(xué)設(shè)計

1、第五章 二元一次方程組3.應(yīng)用二元一次方程組雞兔同籠都江堰外國語實驗學(xué)校 雷超一、學(xué)情分析：學(xué)生已了解二元一次方程組的基本概念，并能熟練解二元一次方程組，也能逐漸地審清題意，能從具體問題的數(shù)量關(guān)系中找出等量關(guān)系并列出二元一次方程組；基本能夠運用方程的思想解決實際問題。初二學(xué)生已具備了初步的抽象、概括和分析問題解決問題能力，要培養(yǎng)他們敢于面對挑戰(zhàn)和勇于克服困難的意志.鼓勵他們大膽嘗試，敢于發(fā)表自己的看法，以從中獲得成功的體驗，激發(fā)學(xué)習(xí)激情.教學(xué)任務(wù)分析：1.能在簡單問題中準(zhǔn)確找出等量關(guān)系。（重點）2.掌握用方程組解決實際問題的一般步驟，發(fā)展數(shù)學(xué)模型思想和應(yīng)用意識。3.體會從算術(shù)到代數(shù)，再從代數(shù)回

2、到算術(shù)的一致性和統(tǒng)一性，充分體會數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美和簡潔美。4.通過“雞兔同籠”，體會數(shù)學(xué)知識與生活的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的實際價值和人文精神.三、教學(xué)重點找出等量關(guān)系并根據(jù)等量關(guān)系列二元一次方程組解應(yīng)用題四、教學(xué)難點1.讀懂古算題；2.根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出方程（方程組）.五、教學(xué)過程設(shè)計本節(jié)課設(shè)計了五個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)： 引入課題；第二環(huán)節(jié)：典型例題；第三環(huán)節(jié)：課堂練習(xí)，第四環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)、感悟和收獲；第五環(huán)節(jié)：作業(yè)布置.第一環(huán)節(jié)：引入課題活動內(nèi)容1：介紹孫子算經(jīng)，并引出估算問題-雞兔同籠例1.今有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？提問：（1）“上有三十五頭”的意思是什么

3、？“下有九十四足”呢？（2）問題當(dāng)中都有哪些等量關(guān)系呢？（3）你能解決這個有趣的問題嗎？（說明：多媒體展示“雞兔同籠”問題后，說明該問題是古代著名的“難題”，以此激發(fā)學(xué)生解決問題的好奇心；提出問題，讓學(xué)生先思考，后討論，然后找學(xué)生說出他的解題思路,寫出三種不同的解題方法，給出正確的答案.）1.用算術(shù)方法求解假如雞與兔子都先抬起一只腳，再抬一只腳還剩下943535=24只腳,這時候雞的屁股坐在地上,地上只有兔子的腳,而且每只兔子有兩只腳在地上,所以有242=12只兔子,雞的只數(shù)為3512=23（只）。(94-35-35)2=12-(九章算術(shù)經(jīng)典解法)小結(jié)：算術(shù)方法優(yōu)點：計算簡單；不足：思維復(fù)雜。

4、2.一元一次方程求解解：設(shè)有雞x只，則有兔（35-x）只,得 解得：所以有雞23只，兔12只.小結(jié)：一元一次方程解法優(yōu)點： 思維便捷些；不足：計算較復(fù)雜.3.用二元一次方程求解：解：設(shè)有雞x只，兔y只，則由得：y=35-x,代入，得：2x+4(35-x)=94解得：x=23把x=23代入，得y=12.答：有雞23只，有兔12只.（指出：實際上代入消元法本質(zhì)上和一元一次方程的解題思路是相通的）對于二元一次方程組 我們也可以采取加減消元法求解小結(jié)：用二元一次方程組解答優(yōu)點：思維快速簡單；不足：計算復(fù)雜些.討論：求解方程組的三種加減消元法對應(yīng)的算術(shù)思想方法是什么呢？（這是一個非常復(fù)雜的問題，旨在讓學(xué)

5、生在老師的引領(lǐng)下，通過交流合作，探索思考，體會從算術(shù)到代數(shù)，再從代數(shù)回到算術(shù)的一致性和統(tǒng)一性，充分體會數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美和簡潔美）對于二元一次方程組的加減消元法解法：（1）4y-2y=24242=12(94-352)2=12(兔)（雞兔同時抬起兩只腿，剩下的是兔的腿的條數(shù)，再除以2得到雞的只數(shù)）（2）2y-y=12(942)-35=12(兔)（假設(shè)雞兔同時抬起一半的腿的條數(shù)，雞兔剩下的腿的條數(shù)是雞1兔2，再減去雞兔的只數(shù)也就是雞1兔1，剩下的是兔的只數(shù)）（3）4x-2x=46462=23(435-94)2=23(雞)（假設(shè)雞兔都有四只腿，用腿的總數(shù)減去實有的腿的條數(shù)，再除以2，得到雞的只數(shù)）設(shè)計目的

6、：體會解決雞兔同籠問題的不同思維過程，通過比較算術(shù)方法、列一元一次方程方法、列二元一次方程組三種方法的優(yōu)缺點，從而感受方程模型思想的必要性和優(yōu)越性，與此同時，體會從算術(shù)到代數(shù)，再從代數(shù)回到算術(shù)的一致性和統(tǒng)一性，充分體會數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美和簡潔美。活動內(nèi)容2：隨堂練習(xí)1列方程解古算題：今有牛五、羊二，值金十兩；有牛二、羊五，值金八兩.牛、羊各值金幾何？（在引例的基礎(chǔ)上，學(xué)生已基本掌握了列二元一次方程組解決實際問題的方法，此題可由學(xué)生獨立完成.當(dāng)然由于本題是古文，可以先找學(xué)生說出題目的大意：5頭牛、2只羊共價值10兩“金”，2頭牛、5只羊共價值8兩“金”，每頭牛、每只羊各價值多少“金”？解：設(shè)每頭牛值“

7、金”x 兩，設(shè)每只羊值“金”y兩,根據(jù)題意： 解得 所以，每頭牛值“金”兩，設(shè)每只羊值“金”兩.（在題的結(jié)果上強調(diào)只要分?jǐn)?shù)表示即可；要學(xué)生板書整個解題過程.）活動意圖：讓學(xué)生通過練習(xí)鞏固列二元一次方程組解應(yīng)用題的技能?；顒訉嶋H效果：學(xué)生能用方程的思想簡化思維過程，解決同類古算題.第二環(huán)節(jié)：典型例題活動內(nèi)容1： 例2 以繩測井，若將繩三折測之，繩多五尺；若將繩四折測之，繩多一尺.繩長、井深各幾何？提問：1.“將繩三折測之，繩多五尺”，什么意思？2.若將繩四折測之，繩多一尺，又是什么意思？（注：三折即用繩長測量；四折即用繩長測量，為了避免學(xué)生在字義上產(chǎn)生歧義，此處輔以幻燈片演示.)5尺1尺（此時把

8、時間留給學(xué)生充分討論，5尺1尺（法一）解：設(shè)繩長x尺，井深y尺，則解得：答：繩長48尺，井深11尺.（法二）解：設(shè)繩長x尺，井深y尺，則解得：答：繩長48尺，井深11尺.特別指出：、兩種方程是相通的、此過程體現(xiàn)算術(shù)方法和代數(shù)方法的統(tǒng)一性和一致性，充分體會數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美和簡潔美?；顒觾?nèi)容2：小結(jié)列二元一次方程組解應(yīng)用題的步驟根據(jù)上面幾例，總結(jié)列二元一次方程組解應(yīng)用題的步驟：（1）審題；（2）設(shè)兩個未知數(shù)，找兩個等量關(guān)系；（3）根據(jù)等量關(guān)系列方程，聯(lián)立方程組；（4）解方程組；（5）檢驗并作答并指出：列二元一次方程組解決實際問題的關(guān)鍵是，找出等量關(guān)系列方程.活動意圖：此例用于鞏固例一中用列二元一次方程

9、組解應(yīng)用題的思想以及掌握列二元一次方程組解應(yīng)用題的方法和步驟.學(xué)生在列方程組的建模過程中，一方面強化了方程的模型思想和其優(yōu)于算術(shù)方法的地方即簡化了思維過程，培養(yǎng)了學(xué)生列方程（組）解決實際問題的意識和應(yīng)用能力.另一方面，將解方程組的技能訓(xùn)練與實際問題的解決融為一體，在實際問題的解決過程中，進(jìn)一步提高學(xué)生解方程組的技能.活動內(nèi)容3：隨堂練習(xí)2用一根繩子環(huán)繞一棵大樹.若環(huán)繞大樹3周，則繩子還多4尺；若環(huán)繞大樹4周，則繩子又少了3尺.這根繩子有多長？環(huán)繞大樹一周需要多少尺？設(shè)計目的：熟練有關(guān)“以繩測井”類似應(yīng)用題的求解.讓學(xué)生熟練掌握列方程組解應(yīng)用題的步驟.活動內(nèi)容4：鞏固練習(xí)1、今年是我國建國七十周

10、年，我校組織七八年級共900名師生奔赴綿陽市”兩彈一星”愛國主義教育基地參觀，旅游公司提供了兩種租車方案：大客16輛小客9輛大客12輛小客18輛，程老師通過計算，發(fā)現(xiàn)這兩種租車方案提供的座位都剛好夠，請問大小客車的載客量各是多少？2、算法統(tǒng)宗中記載了一個問題，大意是：100個和尚分100個饅頭，大和尚一人分3個，小和尚三人吃一個。大小和尚各多少人？3.九章算術(shù)中記載了一個問題,大意是：有幾個人一起去買一件物品,每人出8元；多3元；每人出7元 ,少4元,問有多少人?該物品價值多少元?塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，每塊小長方形地磚的長和寬分別是多少?（單位cm）6060第三環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)1

11、通過前面幾個問題，你對列方程組解決實際問題的方法和步驟掌握的怎樣？2這里面應(yīng)該注意的是什么？關(guān)鍵是什么？3通過今天的學(xué)習(xí)，你能不能解決求兩個量的問題？（可以用二元一次方程組解決的。4列二元一次方程組解決實際問題的主要步驟是什么？5.談?wù)勀阃ㄟ^這節(jié)課的收獲：經(jīng)歷從數(shù)到式，從算術(shù)到方程的體驗與比較，認(rèn)識學(xué)習(xí)方程模型解決應(yīng)用問題的必要性；體驗積極合作交流的重要性；了解數(shù)學(xué)對于我國甚至世界古代文明做出的重要貢獻(xiàn)。說明：通過以上五個問題，學(xué)生基本上掌握了列二元一次方程組解決實際問題的方法和步驟，可啟發(fā)學(xué)生說出自己的心得體會及疑問，與此同時，進(jìn)一步認(rèn)識算術(shù)方法和代數(shù)方法中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美和簡潔美。活動意

12、圖：引導(dǎo)學(xué)生自己小結(jié)本節(jié)課的知識要點及數(shù)學(xué)方法，使知識系統(tǒng)化.說明：還可以建議有條件的學(xué)生去讀一讀孫子算經(jīng)，可以在網(wǎng)上查，找出自己喜歡的問題，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和信心。第四環(huán)節(jié)：布置作業(yè)習(xí)題 1，2四、教學(xué)設(shè)計說明與反思1、設(shè)計理念教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者，在本節(jié)的備課和教學(xué)過程中，教師要為學(xué)生的動腦思考，自主探索與合作交流提供機會，搭建平臺；尊重每一位學(xué)生，鼓勵每一位學(xué)生完成對自己的超越，尊重學(xué)生的個人感受和獨特見解；幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)他們所學(xué)東西的個人意義和社會價值；通過恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會自我調(diào)適，自我選擇；學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，在教師指導(dǎo)下主動的、富有個性的學(xué)習(xí)，用自己的

13、大腦去親自探索。教學(xué)是師生交往、積極互動、共同發(fā)展的過程.當(dāng)學(xué)生迷路的時候，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)他怎樣去辨明方向；引導(dǎo)學(xué)生去完成思維的體操.2、突出重點、突破難點的策略二元一次方程組是初二數(shù)學(xué)的重點，而“雞兔同籠”是中國古代孫子算經(jīng)中的一個有趣的問題.通過古代的“雞兔同籠”問題，進(jìn)行列二元一次方程組解決實際問題的訓(xùn)練，這樣，一方面在列方程組的建模過程中，強化了方程的模型思想，培養(yǎng)了學(xué)生列方程（組）解決實際問題的意識和應(yīng)用能力.另一方面，將解方程組的技能訓(xùn)練與實際問題的解決融為一體，在實際問題的解決過程中，進(jìn)一步提高學(xué)生解方程組的技能。在教學(xué)進(jìn)程中，由算術(shù)方法到一元一次方程再到二元一次方程組，遵照了學(xué)生

14、的思維梯度逐步建立起學(xué)生的用二元一次方程組解應(yīng)用題的思想，充分感受它的優(yōu)點和思維的簡化；教學(xué)中，還應(yīng)根據(jù)學(xué)生的生活實際和認(rèn)知實際，選擇更貼近學(xué)生實際的素材進(jìn)行教學(xué)，更多地關(guān)注學(xué)生的建模過程，在具體的古算問題理解過程中充分借助多媒體展示和實物演示形象化題目的概念.3、評價方式（1）通過課堂觀察，關(guān)注學(xué)生在探討思考討論等活動中的主動參與程度與合作交流意識，及時給予鼓勵、強化、指導(dǎo)和矯正.（2）通過提問，給學(xué)生更多機會，在自然放松的狀態(tài)下，揭示思維過程和反饋知識與技能的掌握情況，使老師可以及時診斷學(xué)情，調(diào)查教學(xué)效果.（3）通過課后訪談和作業(yè)分析，及時查漏補缺，確保達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果.4、注意事項學(xué)生在做作業(yè)時，個別學(xué)生對第一題的列方程組，仍然感覺困難。此類型題還需要老師多加引導(dǎo). 2023年11月27日視頻簡介“雞兔同籠”是我國數(shù)學(xué)史上一個古老的著名數(shù)學(xué)問題，本節(jié)課旨在引導(dǎo)學(xué)生從算術(shù)、一元一次方程，二元一次方程組三種方法進(jìn)行探究，使學(xué)生通過二元一次方程組的應(yīng)用學(xué)習(xí)，不僅掌握新的