初中數(shù)學(xué)北師大九年級(jí)上冊(cè)第二章 一元二次方程一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

1、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)：掌握一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，能不解方程求出一元二次方程的兩根和與兩根積。能靈活解決的與有關(guān)一元二次方程的根問(wèn)題。滲透從特殊到一般的再有一般到特殊數(shù)學(xué)思想，以一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的探索與推導(dǎo)，向?qū)W生展示認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察、歸納的能力及推理論證的能力，通過(guò)知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的思維方式，利用韋達(dá)定理不失時(shí)機(jī)滲透愛(ài)國(guó)主義精神，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，提高學(xué)生解決問(wèn)題能力。教學(xué)重難點(diǎn)：1、理解一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系特點(diǎn)和應(yīng)用及推導(dǎo)過(guò)程；2、利用一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題。學(xué)情分析：1、知識(shí)掌握方面：本節(jié)

2、課是在學(xué)習(xí)了一元二次方程的求根公式及根的判別式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，學(xué)生通過(guò)上幾節(jié)一元二次方程的解法的學(xué)習(xí)，熟練掌握了一元二次方程的求根公式，有一定的運(yùn)算能力和探究能力。2、學(xué)生年齡特點(diǎn)：九年級(jí)學(xué)生具有一定的認(rèn)知能力，和主動(dòng)學(xué)習(xí)能力，適合由特殊到一般的探究方式。教學(xué)過(guò)程：活動(dòng)1（復(fù)習(xí)舊知）： 寫(xiě)出一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0 (a0)2、一元二次方程求根公式。解下列方程并填空：方程兩 根兩根和X1+x2兩根積x1x2x1x2X2-8x+12=026812x2+2x-3=01-3-233x2-4x+1=012x2-x-1=01-觀察、思考兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系，所有的一元二次方程的兩個(gè)

3、根都有這樣的規(guī)律觀察、思考兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系。活動(dòng)2（討論與探究）: 任意的一元二次方程，ax2+bx+c=0 (a0)的兩根為x1、x2 則 x1+x2， x1x2與系數(shù)a，b，c 的關(guān)系是什么（引導(dǎo)學(xué)生討論）活動(dòng)3 (猜想結(jié)論（引導(dǎo)學(xué)生）)若，兩根為x1,x2則: x1+x2= x1x2= 活動(dòng)4(推導(dǎo)結(jié)論)：證明：由求根公式得：， 活動(dòng)5(形成結(jié)論):若，兩根為x1、x2那么x1+x2= x1x2= 如果方程x2+px+q=0的兩根是X1 ，X2，那么：x1+x2= -p ， x1x2= q這就是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，也稱(chēng)韋達(dá)定理，因?yàn)槭欠▏?guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)最先發(fā)現(xiàn)的。一元二次方

4、程根與系數(shù)的關(guān)系是法國(guó)數(shù)學(xué)家“韋達(dá)”發(fā)現(xiàn)的,所以我們又稱(chēng)之為韋達(dá)定理.在歐洲被尊稱(chēng)為“代數(shù)學(xué)之父”。 活動(dòng)6(強(qiáng)化結(jié)論):一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個(gè)根是 x1、x2則 x1+x2 =，x1x2= ,如果一元二次方程x2+px+q=0的兩個(gè)根是x1、x2 那么x1+x2= -p, x1x2= q 注：能用韋達(dá)定理的前提條件為a0；0語(yǔ)言敘述：兩根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)比的相反數(shù) 兩根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比易忽略點(diǎn)：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系前提條件是：a0；0.活動(dòng)7：鞏固新知求兩根之和與兩根之積：(1) x2-2x-3=0 (2

5、) 2x2-3x-1=0 (3) 3x2-6x=0 (4) 3x2= 4 選擇題：1、已知: 是一元二次方程 x22x0 的兩根，則 x1x2 的是( )A. 0; B. 2; C2; D. 42、已知x1，x2是一元二次方程x24x10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1x2等于( ) A4 B1 C1 D4活動(dòng)8特別注意:在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意：(1)不是一般式的要先化成一般式；(2)在使用X1+X2= - 時(shí)，注意“”不要漏寫(xiě)?；顒?dòng)9(靈活應(yīng)用)：例：已知方程x2-(m+3)x+3m=0的一個(gè)根是2 ,求，它的另一個(gè)根及m的值（用兩種方法）方法一：解：設(shè)方程的另一個(gè)根為x2.由根與系數(shù)的關(guān)系得：

6、2 x2 = m+3，2x2 = 3mx2=3 ，m=2答：方程的另一個(gè)根是3 ，m的值是2.例：已知方程x2-(m+3)x+3m=0的一個(gè)根是2 , 求它的另一個(gè)根及m的值。方法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為x2.把x=2代入方程，得 4-2(m+3)+3m=0解這方程，得 m= 2由根與系數(shù)的關(guān)系，得2x23m即2x26 x2=3答：方程的另一個(gè)根是3 ， m的值是2.活動(dòng)10(應(yīng)用拓展)：例：方程x2(k1)x2k10求:k滿足什么條件時(shí), 方程的兩根互為相反數(shù)？ 方程的兩根互為倒數(shù)？方程的一根為零？解:=(k1)24(2k1)k26k5兩根互為相反數(shù) 兩根之和 k10,k-1,且0 k-1時(shí),

7、方程的兩根互為相反數(shù).兩根互為倒數(shù) k26k5, 兩根之積2k11 k1且=0, k1時(shí),方程的兩根互為倒數(shù).方程一根為0, 兩根之積2k10 ，k=且0, 時(shí),方程有一根為零.引申:若ax2bxc0 (a0 0)（1）若兩根互為相反數(shù),則b0;（2）若兩根互為倒數(shù),則ac;（3）若一根為0,則c0 活動(dòng)11(歸納小結(jié))1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是什么如果方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個(gè)根是X1 , X2 ,那么X1+x2= X1x2=特例：如果一元二次方程x2+px+q=0 的兩個(gè)根是x1，x2那么x1+x2=-p = q 2.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時(shí)，首先要把已知方程化成一般形式. 3.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時(shí)，要特別注意，方程有實(shí)根的條件，即在初中代數(shù)里，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，才能應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系活動(dòng)12（當(dāng)堂檢測(cè)）1、下列方程的兩根的和與兩根的積各是多少？(1) x23x+2=0 （2）3x22x=2 （3）2x2+3x=0 （4）5x2=1 2、關(guān)于x的方程x-(m+3)x+2m=0的兩根之和與兩根之積相等，則m=_3、 如果1是方程x2-3x+m=0 的一個(gè)根，則:另一個(gè)根是_，