高中數(shù)學(xué)人教A版高中必修1第三章 函數(shù)的應(yīng)用方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)教案

1、3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 一、教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能理解函數(shù)零點(diǎn)的意義，了解函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，掌握零點(diǎn)存在性定理，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的零點(diǎn).2過(guò)程與方法通過(guò)體驗(yàn)零點(diǎn)概念的形成過(guò)程、探究零點(diǎn)存在的判定方法，提高學(xué)生善于應(yīng)用所學(xué)知識(shí)研究新問題的能力.3情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能從“數(shù)”“形”兩個(gè)層面理解“函數(shù)零點(diǎn)”這一概念，進(jìn)而掌握“數(shù)形結(jié)合”的方法.二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：理解函數(shù)零點(diǎn)的概念，掌握函數(shù)零點(diǎn)與方程根的求法，零點(diǎn)存在的判斷.難點(diǎn)：方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系（體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系），零點(diǎn)存在判定方法的探究及應(yīng)用（體現(xiàn)判定方法：條件、結(jié)論、應(yīng)用）.三、教學(xué)過(guò)程（一）發(fā)

2、現(xiàn)問題，引出課題問題1 觀察下表，求出表中一元二次方程的實(shí)數(shù)根，畫出相應(yīng)的二次函數(shù)圖象的簡(jiǎn)圖，并寫出函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)方程x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0方程的實(shí)數(shù)根函數(shù)y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函數(shù)圖象（簡(jiǎn)圖）圖象與x軸的交點(diǎn)設(shè)計(jì)意圖 從學(xué)生熟知、具體的二次函數(shù)入手，設(shè)置學(xué)生的最近思維發(fā)展區(qū)，使新知識(shí)與原有知識(shí)形成練習(xí).提出疑問：方程的根與函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？結(jié)論：方程的根就是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).師生活動(dòng)【教師】 出示表格，引導(dǎo)學(xué)生填寫表格，并分析填出的表格，從二次方程的根和二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的

3、坐標(biāo)，去探究一元二次方程與相應(yīng)二次函數(shù)的關(guān)系.【學(xué)生】 填表，并回答問題.【師生】 交流，歸納：如果一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸就沒有交點(diǎn)；如果一元二次方程有實(shí)數(shù)根，它的實(shí)數(shù)根就是相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。反之，如果二次函數(shù)圖象與x軸沒有交點(diǎn)，相應(yīng)的一元二次方程就沒有實(shí)數(shù)根；如果二次函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)是相應(yīng)的一元二次方程的實(shí)數(shù)根.教學(xué)內(nèi)容 填寫下表，并探究一般得一元二次方程ax2+bx+c=0()相應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c=0()的關(guān)系：ax2+bx+c=0()的實(shí)根y=ax2+bx+c=0()的圖像與x軸的交點(diǎn)=0設(shè)計(jì)意圖 由具體的一元二次方程

4、和二次函數(shù)到一般的一元二次方程和二次函數(shù)，既有利于學(xué)生掌握知識(shí)，又有助于學(xué)生抽象思維能力的形成.師生活動(dòng)【教師】 出示表格，提出問題.【學(xué)生】 填表，并回答問題.【師生】 交流，歸納：如果一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸就沒有交點(diǎn)；如果一元二次方程有實(shí)數(shù)根，它的實(shí)數(shù)根就是相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。函數(shù)y=ax函數(shù)y=ax2+bx+c=0()的圖像與x軸的交點(diǎn)情況（有沒有？有幾個(gè)？）方程ax2+bx+c=0()的實(shí)根情況（有沒有？有幾個(gè)？）（二）總結(jié)歸納，形成概念1、函數(shù)的零點(diǎn)：對(duì)于函數(shù)y=f（x）我們把使方程f（x）=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn).注意：函數(shù)零點(diǎn)

5、不是一個(gè)點(diǎn)，而是具體的自變量的取值；你能說(shuō)說(shuō)方程的根、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)三者之間的關(guān)系嗎？等價(jià)關(guān)系：方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根 函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有交點(diǎn) 函數(shù)y=f（x） 有零點(diǎn)（零點(diǎn)是針對(duì)函數(shù)而言的，根是針對(duì)方程而言的）。給出零點(diǎn)的概念后，教師可向?qū)W生提出，借助方程可研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，反之，借助函數(shù)也可研究方程的根的情況.思考： 對(duì)于給出的結(jié)論f（a）f（b）0，是否在（a,b）上就一定沒有零點(diǎn)？舉例驗(yàn)證結(jié)論.說(shuō)明： （1）教師可以再給出一些例子，如函數(shù)（2）分析出結(jié)論后，建議強(qiáng)調(diào)：前提：函數(shù)的圖象在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線；結(jié)論：函數(shù)的零點(diǎn)存在，也即方程的實(shí)根存

6、在，可能是一個(gè)，也有可能有多個(gè).【教師】 提出問題，是否所有連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)都可以利用定理去判定？引導(dǎo)學(xué)生舉出實(shí)例.教學(xué)內(nèi)容例1：求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù).設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生意識(shí)到函數(shù)圖象及基本性質(zhì)（特別是單調(diào)性）在確定函數(shù)零點(diǎn)中的重要作用，提高學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.師生活動(dòng)【教師】 出示問題，并鼓勵(lì)學(xué)生從數(shù)據(jù)表格和函數(shù)圖象兩個(gè)方面對(duì)函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的性態(tài)進(jìn)行分析，數(shù)據(jù)表格可使學(xué)生獲得函數(shù)值符號(hào)的變化規(guī)律，而圖象則直觀顯示了函數(shù)零點(diǎn)的有無(wú)及數(shù)量.【學(xué)生】 填寫數(shù)據(jù)表格，并畫出函數(shù)的圖象.數(shù)據(jù)表格x123456789f(x)-4.0-1.31.13.45.

7、67.89.912.114.2【教師】適時(shí)提出引導(dǎo)性問題：從函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的圖象與x軸的位置關(guān)系來(lái)看，函數(shù)f(x)有幾個(gè)零點(diǎn)？它（們）在什么范圍內(nèi)？【師生】學(xué)生觀察圖象，分析數(shù)據(jù)表格，回答教師的問題. 通過(guò)觀察圖象，學(xué)生可能很容易得到函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，但其范圍可能略有不同，如：區(qū)間（1,3），（1,4），（2,3），（2,4）等。教師要尊重學(xué)生的不同視角. 函數(shù)f(x)是否只有一個(gè)零點(diǎn)呢？是否可能有其他零點(diǎn)？教師需不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生自己提出疑問，并尋求可能的解題途徑。有些學(xué)生可能認(rèn)為，由圖象和數(shù)據(jù)表格得到的結(jié)論不可能錯(cuò)誤；但另一些學(xué)生可能隨即會(huì)提出：由于圖象和表格的局限性

8、，不排除存在其他零點(diǎn)的可能性. 教師引導(dǎo)學(xué)生分析函數(shù)的解析式f(x)=lnx+2x-6隨著x的逐漸增大，lnx和2x-6的值都逐漸增大，從而f(x)越來(lái)越大，即函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，學(xué)生進(jìn)一步草擬解題過(guò)程，然后由某生口述，教師板書.教學(xué)內(nèi)容不計(jì)算函數(shù)值、不列出數(shù)據(jù)表格，也不畫函數(shù)f(x)=lnx+2x-6圖象，能得到本題的結(jié)論嗎？設(shè)計(jì)意圖信息技術(shù)的使用有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想，但不利用信息技術(shù)，也可能幫助學(xué)生從另一角度理解問題，從而加深學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的深度，所以教師要適時(shí)地超越技術(shù)的羈絆，為學(xué)生的發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ).師生活動(dòng)【師生】 引導(dǎo)學(xué)生反思前面的解法，如何回避計(jì)算，如

9、何利用基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解？思路1：尋找函數(shù)值符號(hào)的變化規(guī)律，以f(2)，f(4)為例：函數(shù)值符號(hào)得變化x123456789f(x)的符號(hào)-+思路2：將函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx和y= -2x+6的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。函數(shù)y=lnx和y= -2x+6都是基本初等函數(shù)，圖象極易畫出，如下圖.【教師】 出示問題，函數(shù)在（a,b）上是否有零點(diǎn)，可以根據(jù)來(lái)判定，若給出方程，如何判斷在區(qū)間（a,b）上是否有零點(diǎn)？教學(xué)內(nèi)容讓學(xué)生總結(jié)：（1）方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系；（2）判定方程在某個(gè)區(qū)間上存在根的基本步驟.求零點(diǎn)方法總結(jié)：代數(shù)法：令f（x）=0；解方程f(x)=0；寫出零