多元函數(shù)的基本概念

1、知識導(dǎo)航極限多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)的連續(xù)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)的全微分極值主講人：多元函數(shù)的基本概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解多元函數(shù)的定義，會求多元函數(shù)的定義域，了解平面區(qū)域的概念；通過多元函數(shù)的概念的學(xué)習(xí)2重點(diǎn)掌握二元函數(shù)的極限的概念，會求二元函數(shù)的極限；3掌握二元函數(shù)的連續(xù)的概念，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).一、多元函數(shù)的定義平面區(qū)域定義1 由平面 上的一條或幾條曲線所圍成的一部分平面或整個平面，稱為平面區(qū)域，簡稱區(qū)域.邊 界閉區(qū)域開區(qū)域有界區(qū)域有界區(qū)域一、多元函數(shù)的定義鄰域定義2 在平面 上，以點(diǎn) 為中心， 為半徑的開區(qū)域，稱為點(diǎn) 的 鄰域. 記作 或簡記作一、多元函數(shù)的定義二元函數(shù)定義

2、3 設(shè)有三個變量 、 和 ，如果當(dāng)變量 、 在一定范圍 內(nèi)任意取一對值 時，按照某一確定的對應(yīng)法則，變量 總有唯一確定的值與其對應(yīng)，則稱變量 是變量 、 的二元函數(shù). 記為因變量定義域自變量自變量一、多元函數(shù)的定義二元函數(shù)定義3注釋1:二元函數(shù) 在幾何上的圖形是一個曲面.一、多元函數(shù)的定義二元函數(shù)定義3注釋2:二元函數(shù) 的定義域是平面 上的點(diǎn)集，一般情況，這種點(diǎn)集是平面 上的平面區(qū)域.注釋3:二元函數(shù)及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).函數(shù)的對應(yīng)法則和定義域是多元函數(shù)的兩個要素.求函數(shù) 的定義域. 例 1解：一、多元函數(shù)的定義二、二元函數(shù)的極限如何定義二元函數(shù)的極限？ 函數(shù) 在 內(nèi)有定義，回顧：一

3、元函數(shù)的極限 函數(shù) 在 的某一鄰域內(nèi)有定義， 若當(dāng)自變量 無限接近于 時, 函數(shù) 無限接近于某個常數(shù) ， 則稱常數(shù) 為 時, 函數(shù) 的極限，記作 若當(dāng)點(diǎn) 無限接近于 時, 函數(shù) 無限接近于某個常數(shù) ， 則稱常數(shù) 為 時, 函數(shù) 的極限，記作二、二元函數(shù)的極限二重極限定義4 函數(shù) 在 內(nèi)有定義，回顧：一元函數(shù)的極限 函數(shù) 在 的某一鄰域內(nèi)有定義， 若當(dāng)自變量 無限接近于 時, 函數(shù) 無限接近于某個常數(shù) ， 則稱常數(shù) 為 時, 函數(shù) 的極限，記作 若當(dāng)點(diǎn) 無限接近于 時, 函數(shù) 無限接近于某個常數(shù) ， 則稱常數(shù) 為 時, 函數(shù) 的極限，記作二重極限定義4二、二元函數(shù)的極限 二重極限存在, 是指 以

4、任意方式趨于點(diǎn) 時， 都無限接近于 .注釋:解：二、二元函數(shù)的極限 判斷函數(shù) 在 的極限是否存在？ 例 2不唯一極限不存在二重極限定義4二、二元函數(shù)的極限 二重極限存在, 是指 以任意方式趨于點(diǎn) 時， 都無限接近于 .注釋: 當(dāng) 以某一特殊方式趨于點(diǎn) 時，無限接近于 , 無法確定函數(shù)的極限值. 若 以不同方式趨于點(diǎn) 時， 趨于不同的值，可以斷定函數(shù)的極限不存在.解：二、二元函數(shù)的極限 求 例 3 求 例 4解：三、二元函數(shù)的連續(xù)如何定義二元函數(shù)的連續(xù)？ 函數(shù) 在 內(nèi)有定義，回顧：一元函數(shù)的連續(xù) 函數(shù) 在 的某鄰域內(nèi)有定義，若 若則稱 在點(diǎn) 處連續(xù), 此時 稱為 的連續(xù)點(diǎn).則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)，稱點(diǎn) 為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn).三、二元函數(shù)的連續(xù) 函數(shù) 在 內(nèi)有定義，回顧：一元函數(shù)的連續(xù) 函數(shù) 在 的某鄰域內(nèi)有定義，若 若則稱 在點(diǎn) 處連續(xù), 此時 稱為 的連續(xù)點(diǎn).則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)，稱點(diǎn) 為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn).定義5三、二元函數(shù)的連續(xù)注釋: 若函數(shù) 在點(diǎn) 處不滿足上述定義，則稱點(diǎn) 為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn). 若函數(shù) 在區(qū)域 內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱 在區(qū)域 上連續(xù)，或稱 為區(qū)域 上的連