微積分課件：D8-4曲面與曲線

1、四、二次曲面第五節(jié)一、曲面方程的概念二、旋轉曲面 三、柱面曲面與曲線 第八章 五、空間曲線的一般方程六、空間曲線的參數方程七、空間曲線在坐標面上的投影一、曲面方程的概念求到兩定點A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離的點的化簡得即說明: 動點軌跡為線段 AB 的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程, 不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.解:設軌跡上的動點為軌跡方程. 定義1. 如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關系:(1) 曲面 S 上的任意點的坐標都滿足此方程;則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程

2、 F( x, y, z ) = 0 的圖形.兩個基本問題 :(1) 已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2) 不在曲面 S 上的點的坐標不滿足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程時 , 研究它所表示的幾何形狀( 必要時需作圖 ). 二、常見的曲面方程1、球面到一定點的 距離恒為常數R的 點組成的 集合構成一曲面S，它是以定點為球心，以R為半徑的 球面故所求方程為例1. 求動點到定點方程. 特別,當M0在原點時,球面方程為解: 設軌跡上動點為即依題意距離為 R 的軌跡表示上(下)球面 .例2. 研究方程解: 配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過配方研究它的圖形.其圖

3、形可能是的曲面. 表示怎樣半徑為的球面.球心為 一個球面, 或點, 或虛軌跡.定義2. 一條平面曲線2、旋轉曲面 繞其平面上一條定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面.該定直線稱為旋轉軸 .例如 :建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉所成曲面的方程:故旋轉曲面方程為當繞 z 軸旋轉時,若點給定 yoz 面上曲線 C: 則有則有該點轉到思考：當曲線 C 繞 y 軸旋轉時，方程如何？例3. 試建立頂點在原點, 旋轉軸為z 軸, 半頂角為的圓錐面方程. 解: 在yoz面上直線L 的方程為繞z 軸旋轉時,圓錐面的方程為兩邊平方例4. 求坐標面 xoz 上的雙曲線分別繞 x軸和 z 軸旋轉一周所生成的旋

4、轉曲面方程. 解:繞 x 軸旋轉繞 z 軸旋轉這兩種曲面都叫做旋轉雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為三、柱面引例. 分析方程表示怎樣的曲面 .的坐標也滿足方程解:在 xoy 面上，表示圓C, 沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面在圓C上任取一點 其上所有點的坐標都滿足此方程,定義3.平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線 l 形成的軌跡叫做柱面. 表示拋物柱面,母線平行于 z 軸;準線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面.z 軸的平面.表示母線平行于 (且 z 軸在平面上)表示母線平行于C 叫做準線,

5、l 叫做母線.一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準線 xoz 面上的曲線 l3.母線柱面,準線 xoy 面上的曲線 l1.母線準線 yoz 面上的曲線 l2. 母線四、二次曲面三元二次方程 適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅 就幾種常見標準型的特點進行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面. (二次項系數不全為 0 )1. 橢球面(1)范圍：(2)與坐標面的交線：橢圓與的交線為橢圓：(4) 當 ab 時為旋轉橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當abc 時為球面.(3) 截痕

6、:為正數)2. 拋物面(1) 橢圓拋物面(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面）特別,當 a = b 時為繞 z 軸的旋轉拋物面.3. 雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時, 截痕為(實軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）平面 上的截痕情況:雙曲線: 虛軸平行于x 軸）時, 截痕為時, 截痕為(實軸平行于z 軸;相交直線: 雙曲線: (2) 雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別: 雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面圖形4. 橢圓錐面橢圓在平面 x0 或 y0 上的截痕為過原點的兩直線 .可以證明, 橢圓上任一點與原點的連線均在曲面上.(橢圓錐面也可由圓錐面經 x 或 y 方向的伸縮變換得到。例5：求空間

7、直線繞Z軸旋轉一周所產生的圓錐面方程為所求圓錐面方程1、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線 C. C五、空間曲線的方程又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C. 2、空間曲線的參數方程將曲線C上的動點坐標x, y, z表示成參數t 的函數:稱它為空間曲線的 參數方程.例如,圓柱螺旋線的參數方程為上升高度, 稱為螺距 .例6. 將下列曲線化為參數方程表示:解: (1) 根據第一方程引入參數 , (2) 將第二方程變形為故所求為得所求為例7. 求空間曲線 :繞 z 軸旋轉時的旋轉曲面方程 .解:點 M1繞 z 軸旋轉, 轉到點 則這就

8、是旋轉曲面滿足的參數方程 . 繞 z 軸旋轉所得旋轉曲面 ( 即球面 ) 方程為 又如, xoz 面上的半圓周說明: 一般曲面的參數方程含兩個參數 , 形如3、空間曲線在坐標面上的投影設空間曲線 C 的一般方程為消去 z 得投影柱面則C 在xoy 面上的投影曲線 C為消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲線方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲線方程例如,在xoy 面上的投影曲線方程為又如,所圍的立體在 xoy 面上的投影區(qū)域為:上半球面和錐面在 xoy 面上的投影曲線二者交線所圍圓域:二者交線在xoy 面上的投影曲線所圍之域 .內容小結1. 空間曲面三元方程 球面 旋轉曲面如, 曲線繞 z 軸的旋轉曲面: 柱面如,曲面表示母線平行 z 軸的柱面.又如,橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等 .2. 二次曲面三元二次方程 橢球面 拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面 雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面 橢圓錐面: 空間曲線三元方程組或參數方程 求投影曲線 (如, 圓柱螺線) (2)(1)(3)思考:交線情況如何?交線情況如何?斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方 程平行于 y 軸的直線 平行于 yoz 面的平面 圓心在(0,0)半徑為 3 的圓以 z 軸為中心軸的圓柱面平行于 z 軸的平面思考與練習1. 指出下列方程的圖形:備用題求曲線繞 z 軸旋轉