廣東省汕頭市2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

1、PAGE 廣東省汕頭市2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每題5分，共40分）.1設(shè)全集UR，集合Ax|0 x2，Bx|x1，則集合U（AB）（）A（，2B（，1C（2，+）D2，+）2設(shè)復(fù)數(shù)z2i（i為虛數(shù)單位），則|z|（）ABCD23已知平面向量（k，2），（1，1），kR，則k2是與平行的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件4已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，的展開式中含xn4的項(xiàng)的系數(shù)恰為Sn，則a7（）A96B96C80D805已知三棱錐PABC中，PA4，ABAC2，BC6，PA面ABC，則此三棱錐的

2、外接球的體積為（）AB256CD326定義22矩陣a1a4a2a3，若f（x），則f（x）（）A圖象關(guān)于中心對(duì)稱B圖象關(guān)于直線x對(duì)稱C在區(qū)間上的最大值為D周期為的奇函數(shù)7點(diǎn)A在直線yx上，點(diǎn)B在曲線ylnx上，則|AB|的最小值為（）AB1CD28已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn（2n+1）n，bn，則（）ABCD二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，毎小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分95G技術(shù)的運(yùn)營(yíng)不僅提高了網(wǎng)絡(luò)傳輸速度，更拓寬了網(wǎng)絡(luò)資源的服務(wù)范圍目前，我國(guó)加速了5G技術(shù)的融合與創(chuàng)新，前景美好！某手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了5個(gè)月的5G手機(jī)銷

3、量，如表所示：月份2020年6月2020年7月2020年8月2020年9月2020年10月月份編號(hào)x12345銷量y（部）5295a185227若y與x線性相關(guān)，由上表數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為44x+10，則下列說(shuō)法正確的是（）Aa152B5G手機(jī)的銷量逐月增加，平均每個(gè)月增加約30臺(tái)Cy與x正相關(guān)D預(yù)計(jì)12月份該手機(jī)商城的5G手機(jī)銷量約為318部10設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：1的左、右焦點(diǎn)，且|F1F2|8，則下列結(jié)論正確的是（）As8BF1到漸近線的距離隨著t的增大而增大Ct的取值范圍是（32，32）D當(dāng)t4時(shí)，C的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的倍11在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M是線

4、段A1C1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A四面體B1ACM的體積恒為定值B直線D1M與平面AD1C所成角正弦值的最大值為C異面直線BM與AC所成角的范圍是D當(dāng)4A1MA1C1時(shí)，平面BDM截該正方體所得的截面圖形為等腰梯形12在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲布勞威爾（LEJBrouwer），簡(jiǎn)單的講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f（x），存在一個(gè)點(diǎn)x0，使得f（x0）x0，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，下列為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是（）Af（x）2xxBf（x）x22x+

5、Cf（x）Df（x）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13已知0，cos（+），則sin 14已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)F與C交于A、B兩點(diǎn)，若|AF|BF|，則y軸被以線段AB為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為 15六個(gè)同學(xué)重新隨機(jī)調(diào)換座位，則恰有兩人坐在自己原來(lái)的位置上的概率為 16已知函數(shù)f（x），則函數(shù)f（x）的最大值是 四、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，設(shè)ABC的面積為S，已知_任選一個(gè)條件3（c2+a2）3b2+16S；4c5a5bcosC，補(bǔ)充在上面橫線處，然后解答補(bǔ)充完

6、整的題目（1）求sinB的值；（2）若S42，a10，求b的值18已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1+a320，S540（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）記bn|an2|，求bn的前n項(xiàng)和Tn19如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，PAB90，PBPD，PAAB，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（1）求證：AE平面PBC；（2）是否存在點(diǎn)F，使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30？若存在，試確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由20端午假期即將到來(lái)，某超市舉辦“高考高粽”有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，凡持高考準(zhǔn)考證考生及家長(zhǎng)在端午節(jié)期間消費(fèi)每超過(guò)600元（含600元），均可抽獎(jiǎng)

7、一次，抽獎(jiǎng)箱里有10個(gè)形狀、大小完全相同的小球（其中紅球有3個(gè)，黑球有7個(gè)），抽獎(jiǎng)方案設(shè)置兩種，顧客自行選擇其中的一種方案方案一：從抽獎(jiǎng)箱中，一次性摸出3個(gè)球，其中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸到3個(gè)紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個(gè)紅球則打6折，若摸出1個(gè)紅球，則打7折；若沒(méi)摸出紅球，則不打折方案二：從抽獎(jiǎng)箱中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元（1）若小清、小北均分別消費(fèi)了600元，且均選擇抽獎(jiǎng)方案一，試求他們至多一人享受免單優(yōu)惠的概率；（2）若小杰消費(fèi)恰好滿1000元，試比較說(shuō)明小杰選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算？21已知橢圓C：1（ab0）的離心率為，焦距為2（1）求橢圓C的方程；（2）

8、過(guò)點(diǎn)D（0，3）作直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)N滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求四邊形OANB面積的最大值22已知函數(shù)f（x）lnxx，g（x）（1）證明：對(duì)任意的x1，x2（0，+），都有|f（x1）|g（x2）；（2）設(shè)mn0，比較與的大小，并說(shuō)明理由參考答案一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每題5分，共40分）.1設(shè)全集UR，集合Ax|0 x2，Bx|x1，則集合U（AB）（）A（，2B（，1C（2，+）D2，+）【分析】求出A與B的并集，找出并集的補(bǔ)集即可解：A（0，2，B（，1），AB（，2，全集為UR，U（AB）（2，+）故選：C2設(shè)復(fù)數(shù)z2i（i為虛數(shù)單位），則|z|（）ABCD2【分析】根

9、據(jù)已知條件，運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)z，再求出z的模解：復(fù)數(shù)，|z|故選：C3已知平面向量（k，2），（1，1），kR，則k2是與平行的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【分析】由向量平行條件得到k2，即可判斷解：由與平行得k1210，k2，所以k2是與平行的充要條件故選：C4已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，的展開式中含xn4的項(xiàng)的系數(shù)恰為Sn，則a7（）A96B96C80D80【分析】利用二項(xiàng)式定理求出展開式的通項(xiàng)公式，得到Sn，再利用a7S7S6求出a7解：因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，所以當(dāng)r2時(shí)，含xn4的項(xiàng)的系數(shù)恰為，又等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，的展

10、開式中含xn4的項(xiàng)的系數(shù)恰為Sn，所以故選：B5已知三棱錐PABC中，PA4，ABAC2，BC6，PA面ABC，則此三棱錐的外接球的體積為（）AB256CD32【分析】由題意畫出圖形，求解三角形可得底面外接圓的半徑，再由勾股定理求出三棱錐外接球的半徑，代入球的體積公式得答案解：如圖，在底面ABC中，ABAC，BC6，cosBAC，則sin，ABC的外接圓半徑為PA面ABC，三棱錐外接球的半徑R滿足：，得R4，三棱維PABC外接球的體積，故選：A6定義22矩陣a1a4a2a3，若f（x），則f（x）（）A圖象關(guān)于中心對(duì)稱B圖象關(guān)于直線x對(duì)稱C在區(qū)間上的最大值為D周期為的奇函數(shù)【分析】根據(jù)矩陣的運(yùn)

11、算法則、二倍角公式和輔助角公式，可得f（x），再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐一判斷選項(xiàng)，即可解：，對(duì)于選項(xiàng)A，由，知f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，f（）2sin（2+）1，并不是f（x）的最大值或最小值，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)x時(shí)，2x+，sin（2x+），f（x）1，1，其最大值為1，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，最小正周期為，但是非奇非偶函數(shù)，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：A7點(diǎn)A在直線yx上，點(diǎn)B在曲線ylnx上，則|AB|的最小值為（）AB1CD2【分析】設(shè)平行于直線yx的直線yx+b與曲線ylnx相切，則兩平行線間的距離即為|AB|的最小值，由導(dǎo)數(shù)和切線的關(guān)系由距離

12、公式可得解：設(shè)平行于直線yx的直線yx+b與曲線ylnx相切，則兩平行線間的距離即為|AB|的最小值設(shè)直線yx+b與曲線ylnx的切點(diǎn)為（m，lnm），則由切點(diǎn)還在直線yx+b上可得lnmm+b，由切線斜率等于切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值可得，聯(lián)立解得m1，b1，由平行線間的距離公式可得|AB|的最小值為故選：A8已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn（2n+1）n，bn，則（）ABCD【分析】由SnSn1先求得an，再求得bn，最后用裂項(xiàng)法求得解：Sn（2n+1）n，當(dāng)n2時(shí)，所以anSnSn14n1，bnn，故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，毎小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的

13、得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分95G技術(shù)的運(yùn)營(yíng)不僅提高了網(wǎng)絡(luò)傳輸速度，更拓寬了網(wǎng)絡(luò)資源的服務(wù)范圍目前，我國(guó)加速了5G技術(shù)的融合與創(chuàng)新，前景美好！某手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了5個(gè)月的5G手機(jī)銷量，如表所示：月份2020年6月2020年7月2020年8月2020年9月2020年10月月份編號(hào)x12345銷量y（部）5295a185227若y與x線性相關(guān)，由上表數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為44x+10，則下列說(shuō)法正確的是（）Aa152B5G手機(jī)的銷量逐月增加，平均每個(gè)月增加約30臺(tái)Cy與x正相關(guān)D預(yù)計(jì)12月份該手機(jī)商城的5G手機(jī)銷量約為318部【分析】由已知求得，代入線性回歸方程可得，由平均數(shù)公式列式求得a

14、值判斷A；由線性回歸系數(shù)判斷B與C；把x7代入線性回歸方程求得y值判斷D解：由表中數(shù)據(jù)可知，又回歸方程為，把代入回歸方程，解得，（52+95+a+185+227）142，解得a151，故A錯(cuò)誤；由線性回歸方程知5G手機(jī)的銷量逐月增加，平均每個(gè)月增加約44臺(tái)左右，故B錯(cuò)誤；440，y與x正相關(guān)，故C正確；將x7代入回歸方程得，故D正確故選：CD10設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：1的左、右焦點(diǎn)，且|F1F2|8，則下列結(jié)論正確的是（）As8BF1到漸近線的距離隨著t的增大而增大Ct的取值范圍是（32，32）D當(dāng)t4時(shí)，C的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的倍【分析】對(duì)于A：由c2s+t+st16，解得s，即可判斷A是

15、否正確；對(duì)于B：由于F1到漸近線的距離等于虛半軸長(zhǎng)為，即可判斷B是否正確；對(duì)于C：由A得s8，進(jìn)而可得t的取值范圍是（8，8），即可判斷C是否正確；對(duì)于D：當(dāng)t4時(shí)，計(jì)算出C的實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)，即可判斷D是否正確解：因?yàn)閏2s+t+st2s16，所以s8，故A正確；因?yàn)镕1到漸近線的距離等于虛半軸長(zhǎng)為，其在t（8，8）上單遞減，故B錯(cuò)誤；因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)在x軸上，且s8，得t的取值范國(guó)是（8，8），故C錯(cuò)誤；當(dāng)t4時(shí)，C的實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)4，C的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的倍，故D正確故選：AD11在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M是線段A1C1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A四面體B1A

16、CM的體積恒為定值B直線D1M與平面AD1C所成角正弦值的最大值為C異面直線BM與AC所成角的范圍是D當(dāng)4A1MA1C1時(shí)，平面BDM截該正方體所得的截面圖形為等腰梯形【分析】由題意利用查正方體的性質(zhì)，直線和平面的位置關(guān)系，空間角、空間距離的定義，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論解：如圖：根據(jù)正方體的特征可得A1C1/AC，所以A1C1/平面AB1C，所以線段A1C1上的點(diǎn)到平面AB1C的距離相等，因?yàn)槿切蜛B1C的面積為定值，M是線段A1C1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以，M到平面AB1C的距離為定值，而AB1C的面積為定值，故四面體B1ACM的體積為定值，故A正確如圖：設(shè)直線D1M與平面AD1C

17、所成的角為，M到平面AD1C的距離為d，則，因?yàn)锳1C1/AC，所以A1C1/平面AD1C，所以M到平面AD1C的距離與A1到平面AD1C的距離相等，連接A1C，由，可得，又，所以，易知當(dāng)M為A1C1的中點(diǎn)時(shí)，D1M最小，為，此時(shí)sin取得最大值，為，故B正確設(shè)異面直線BM與AC所成的角為，當(dāng)M與A1或C1重合時(shí)，取得最小值，為60，當(dāng)M為A1C1的中點(diǎn)時(shí)，取得最大值，為90，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤對(duì)于D選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)M作EF/BD，分別交A1D1，A1B1于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，BF，則四邊形DEFB為等腰梯形，故D正確故選：ABD12在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用

18、到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲布勞威爾（LEJBrouwer），簡(jiǎn)單的講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f（x），存在一個(gè)點(diǎn)x0，使得f（x0）x0，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，下列為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是（）Af（x）2xxBf（x）x22x+Cf（x）Df（x）【分析】根據(jù)所給定義，逐一定性判斷即可，A：x1滿足條件，故A正確；B：方程無(wú)解，故B錯(cuò)誤；C：或x1滿足條件，故C正確；D：滿足條件，故D正確解：根據(jù)定義可知：若f（x）有不動(dòng)點(diǎn)，則f（x）x有解A令2xxx，所以2x2x，易知x1是方程的一個(gè)解，故f（x）是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；B令x

19、22x+x，所以x23x+0，方程的940，故方程無(wú)解，所以f（x）不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；C當(dāng)x1時(shí)，令2x21x，所以或x1，所以f（x）是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；D令，所以，所以f（x）是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13已知0，cos（+），則sin【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin（+）的值，再根據(jù)sinsin（+），利用兩角和的正弦公式計(jì)算求得結(jié)果解：0，cos（+），（+）是銳角，sin（+）sinsin（+）sin（+）coscos（+）sin，故答案為：14已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)F與C交于A、B兩點(diǎn)，若|AF|

20、BF|，則y軸被以線段AB為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為 2【分析】根據(jù)題意可得lx軸，AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為F（1，0），半徑為r2，弦長(zhǎng)為，即可得出答案解：由于|AF|BF|，所以lx軸，所以圓心坐標(biāo)為F（1，0），半徑為r2，弦長(zhǎng)為，故答案為：215六個(gè)同學(xué)重新隨機(jī)調(diào)換座位，則恰有兩人坐在自己原來(lái)的位置上的概率為 【分析】根據(jù)題意，可分2步分析恰有兩人坐在自己原來(lái)的位置上的基本事件個(gè)數(shù)：第一步先從6個(gè)人里選2人，其位置不變，有種選法；第二步是對(duì)于剩余的四人，因?yàn)槊總€(gè)人都不能站在原來(lái)的位置上，因此第一個(gè)人有三種站法，被站了自己位置的那個(gè)人只能站在另外三個(gè)位置中的一個(gè)，選定后此時(shí)剩下兩人只有一種

21、站法，因此四個(gè)人調(diào)換有339種調(diào)換方法，從而可確定不同的調(diào)換方法有159135種最后根據(jù)基本事件總數(shù)為即可求出所求概率解：根據(jù)題意，分2步分析：先從6個(gè)人里選2人，其位置不變，有種選法；對(duì)于剩余的四人，因?yàn)槊總€(gè)人都不能站在原來(lái)的位置上，因此第一個(gè)人有三種站法，被站了自己位置的那個(gè)人只能站在另外三個(gè)位置中的一個(gè)，選定后此時(shí)剩下兩人只有一種站法，因此四個(gè)人調(diào)換有339種調(diào)換方法，故不同的調(diào)換方法有159135種而基本事件總數(shù)為，所以所求概率為故答案為：16已知函數(shù)f（x），則函數(shù)f（x）的最大值是 【分析】分別求出x0和x0時(shí)函數(shù)的最大值，再對(duì)兩個(gè)最大值加以比較即可得到解答解：當(dāng)x0時(shí)，；當(dāng)x0時(shí)

22、，令，當(dāng)且僅當(dāng)，即x1時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)x1時(shí)，f1（x）min2，令，又因?yàn)椋瑒t，函數(shù)f（x）的最大值是，故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，設(shè)ABC的面積為S，已知_任選一個(gè)條件3（c2+a2）3b2+16S；4c5a5bcosC，補(bǔ)充在上面橫線處，然后解答補(bǔ)充完整的題目（1）求sinB的值；（2）若S42，a10，求b的值【分析】若選擇條件：（1）利用余弦定理，三角形的面積公式，化簡(jiǎn)已知等式可得3cosB4sinB，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解sinB的值；（2）由（1）及三角形的

23、面積公式可求c的值，進(jìn)而可求b的值若選擇條件：（1）由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知等式可求cosB的值，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB的值；（2）由（1）利用三角形的面積公式可求c的值，進(jìn)而根據(jù)余弦定理即可求解b的值解：若選擇條件：（1）因?yàn)?（c2+a2）3b2+16S，所以，整理得：8acsinB3（a2+c2b2），即，整理可得3cosB4sinB，又sinB0，所以cosB0，所以，故sinB（2）由（1）知sinB，又S42，a10，則，解得c14，將S42，a10，c14，代入3（c2+a2）3b2+16S中，得3（142+102）3b2+1642，解得若選擇條件

24、：（1）因?yàn)?bcosC+4c5a，由正弦定理得，5sinBcosC+4sinC5sinA，即5sinBcosC+4sinC5sin（B+C），即sinC（45cosB）0，在ABC中，sinC0，所以，故（2）由（1）知sinB，又S42，a10，則，解得c14，由余弦定理得2accosBa2+c2b2，可得，所以18已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1+a320，S540（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）記bn|an2|，求bn的前n項(xiàng)和Tn【分析】（1）直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用和數(shù)列的求和公式求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用分裂討論的應(yīng)用求出數(shù)列的和解：（1）

25、設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a1+a32a1+2d20，解得：a112，d2故ana1+（n1）d142n，（nN*）（2）bn|an2|122n|當(dāng)n6，nN*時(shí)bn122n，b110，當(dāng)n6時(shí)，bn2n12，Tn10+8+6+4+2+0+b7+b8+bn，所以19如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，PAB90，PBPD，PAAB，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（1）求證：AE平面PBC；（2）是否存在點(diǎn)F，使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30？若存在，試確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【分析】（1）只需證明AEBC，AEPB，即可證明AE平面PBC，（2

26、）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，利用空間向量求解，解：（1）PADPAB（SSS），PADPAB90，PAAB，PHAD，又ABADA，PA平面ABCD，BC平面ABCD，PABC，ABCD為正方形，ABBC，又PAABA，PA，AB平面PAB，BC平面PAB，AE平面PABAEBC，PAAB，E為線段PB的中點(diǎn)，AEPB，又PBBCB，PB，BC平面PBC，AE平面PBC，（2）存在定點(diǎn)F，使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則A（0，0，0），C（0，2，2），D（0，0，

27、2），P（2，0，0），E（1，1，0），設(shè)F（0，2，）（02），則，設(shè)平向AEF的一個(gè)法向量為，則，令z12，設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，令x21，則，平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30，解得1，當(dāng)點(diǎn)F為BC中點(diǎn)時(shí)，平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為3020端午假期即將到來(lái)，某超市舉辦“高考高粽”有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，凡持高考準(zhǔn)考證考生及家長(zhǎng)在端午節(jié)期間消費(fèi)每超過(guò)600元（含600元），均可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)箱里有10個(gè)形狀、大小完全相同的小球（其中紅球有3個(gè)，黑球有7個(gè)），抽獎(jiǎng)方案設(shè)置兩種，顧客自行選擇其中的一種方案方案一：從抽獎(jiǎng)箱中，一次性摸出3個(gè)球，其中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸到3個(gè)紅球，享受

28、免單優(yōu)惠；若摸出2個(gè)紅球則打6折，若摸出1個(gè)紅球，則打7折；若沒(méi)摸出紅球，則不打折方案二：從抽獎(jiǎng)箱中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元（1）若小清、小北均分別消費(fèi)了600元，且均選擇抽獎(jiǎng)方案一，試求他們至多一人享受免單優(yōu)惠的概率；（2）若小杰消費(fèi)恰好滿1000元，試比較說(shuō)明小杰選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算？【分析】（1）在方案一種，先求出一個(gè)免單的概率，再求出兩人同時(shí)免單的概率，求出該事件的對(duì)立事件，即可求解（2）若小杰選擇方案一，設(shè)付款金額為X元，則可能的取值為0、600、700、1000，求出X的期望，方案二摸到紅球的個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布，求出Y的數(shù)學(xué)期望，結(jié)合期望的線性

29、公式，即可得E（Z）的值，通過(guò)比較兩個(gè)方案的期望，即可求解解：（1）方案一若享受到免單優(yōu)惠，則需摸出三個(gè)紅球，設(shè)顧客享受到免單優(yōu)惠為事件A，則，小清、小北二人至多一人享受到免單的概率為（2）若小杰選擇方案一，設(shè)付款金額為X元，則可能的取值為0、600、700、1000，故X的分布列為：X06007001000P（元），若小杰選擇方案二，設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為Y，付款金額為Z，則Z1000200Y，由已知可得，故，E（Z）E（1000200Y）1000200E（Y）820（元），E（X）E（Z），小杰選擇第一種抽獎(jiǎng)方案更合算21已知橢圓C：1（ab0）的離心率為，焦距為2（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)D（0，3）作直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)N滿足（O為坐標(biāo)原