江蘇省南京市六校聯(lián)考2020-2021學年高二數(shù)學下學期期中試題含解析

1、PAGE 試卷第試卷第 =page 2 2頁，總 =sectionpages 2 2頁PAGE 13試卷第試卷第 =page 13 13頁，總 =sectionpages 13 13頁江蘇省南京市六校聯(lián)考2020-2021學年高二數(shù)學下學期期中試題（含解析）本卷：共150分 考試時間：120分鐘一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1設z32i，則在復平面內(nèi)z對應的點位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限25名同學去聽同時舉行的3個課外知識講座，每名同學可自由選擇聽其中的1個講座，不同的選擇的種數(shù)為（ ）A60B125C240D2433已知遞增等比數(shù)列an的前n項和為S

2、n，a22，S37，則S7( )A64B63C127D48 43名大學生利用假期到2個山村參加扶貧工作，每名大學生只去1個村，每個村至少1人，則不同的分配方案共有（ ）A4種B5種C6種D8種5已知函數(shù)f(x)EQ F(1,3)a2x3EQ F(3,2)ax22x1在x1處取得極大值，則a的值為( )A1或2B1或2C1D26甲、乙等5人在9月3號參加了紀念抗日戰(zhàn)爭勝利70周年閱兵慶典后，在天安門廣場排成一排拍照留念，甲和乙必須相鄰且都不站在兩端的排法有( )A12種B24種C48種D120種7數(shù)學對于一個國家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達國家常常把保持數(shù)學領先地位作為他們的戰(zhàn)略需求.現(xiàn)某大學為提高數(shù)學

3、系學生的數(shù)學素養(yǎng)，特開設了“古今數(shù)學思想”，“世界數(shù)學通史”，“幾何原本”，“什么是數(shù)學”四門選修課程，要求數(shù)學系每位同學每學年至多選3門，大一到大三三學年必須將四門選修課程選完，則每位同學的不同選修方式有( )A60種B78種C84種D144種8定義在R上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f(x)，若對任意實數(shù)x，有f(x)f(x)，且f(x)2022為奇函數(shù)，則不等式f(x)2022ex0的解集是( )A(，0) B(，2022) C(0，)D(2022，)二、多選題(本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0

4、分。)9已知復數(shù)zEQ F(47i,32i)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）Az的虛部為i B2i C|z|EQ R(,5) Dz在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限10已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則下列選項中正確的是（ ）A函數(shù)f(x)在x1處取得極大值 B函數(shù)f(x)在x1處取得極小值Cf(x)在區(qū)間(2，3)上單調(diào)遞減 Df(x)的圖象在x0處的切線斜率小于零11現(xiàn)安排高二年級A，B，C三名同學到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，每名同學只能選擇一個工廠），且允許多人選擇同一個工廠，則下列說法正確的是（ ）A所有可能的方法有34種B若工廠甲必須有同學去，則不同的安排方法有37

5、種C若同學A必須去工廠甲，則不同的安排方法有16種D若三名同學所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種12若0 x1x21，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）Ax2EQ eSUP6(xSDO(1)x1EQ eSUP6(xSDO(2)Bx2EQ eSUP6(xSDO(1)x1EQ eSUP6(xSDO(2)CEQ eSUP6(xSDO(2)EQ eSUP6(xSDO(1)lnx2lnx1DEQ eSUP6(xSDO(2)EQ eSUP6(xSDO(1)lnx2lnx1三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13設z1x2i，z23yi，(x，yR)，且z1z256i，則z1

6、z2_.14函數(shù)f(x)x33x22在區(qū)間2，2上的最大值是_.15用數(shù)字0、1、2、3、4、5可以組成無重復數(shù)字且能被5整除的的五位數(shù)有_個.（用數(shù)字作答）16已知f(x)xexEQ F(1,e)e2，g(x)x22x1a，若存在x1R，x2(1，)，使得f(x1)g(x2)成立，則實數(shù)a的取值范圍是_.四、解答題(本大題共6小題，第17題10分，1822題每題12分，共70分)1710件不同廠生產(chǎn)的同類產(chǎn)品：（1）在商品評選會上，有2件商品不能參加評選，要選出4件商品，并排定選出的4件商品的名次，有多少種不同的選法？（2）若要選6件商品放在不同的位置上陳列，且必須將獲金質(zhì)獎章的兩件商品放上

7、，有多少種不同的布置方法？18已知是虛數(shù)單位，復數(shù).（1）若為純虛數(shù)，求實數(shù)的值；（2）若在復平面上對應的點在直線上，求復數(shù)的模.19已知函數(shù)在處的切線為（1）求實數(shù)a，b的值；（2）求函數(shù)在上的最大值20已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列是公差大于0的等差數(shù)列，且，成等比數(shù)例（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，求21將四個編號為1，2，3，4的小球放入四個編號為1，2，3，4的盒子中（1）若每盒至多一球，則有多少種放法？（2）若恰好有一個空盒，則有多少種放法？（3）若每個盒內(nèi)放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，則有多少種放法？22已知，（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實數(shù)的

8、取值范圍. 南京市20202021學年度第二學期期中六校聯(lián)考高二數(shù)學試卷 解析版本卷：共150分 考試時間：120分鐘一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1設z32i，則在復平面內(nèi)z對應的點位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【答案】D【考點】復數(shù)的幾何意義【解析】由題意，因為z32i，實部大于0，虛部小于0，所以在復平面內(nèi)z 對應的點位于第四象限，故答案選D.25名同學去聽同時舉行的3個課外知識講座，每名同學可自由選擇聽其中的1個講座，不同的選擇的種數(shù)為（ ）A60B125C240D243【答案】D【考點】排列組合【解析】由題意可知，每名同學都有3種選擇方式，5名

9、同學則共有35243種選擇種數(shù)，故答案選D.3已知遞增等比數(shù)列an的前n項和為Sn，a22，S37，則S7( )A64B63C127D48 【答案】C【考點】等比數(shù)列的概念及性質(zhì)應用【解析】由題意可設，等比數(shù)列的公比為q，則EQ F(2,q)22q7，化簡得2q25q20，解得q2或EQ F(1,2)(舍去)，則a11，所以S7EQ F(12S(7),12)127，故答案選C.43名大學生利用假期到2個山村參加扶貧工作，每名大學生只去1個村，每個村至少1人，則不同的分配方案共有（ ）A4種B5種C6種D8種【答案】C【考點】排列組合：選派問題【解析】由題意可知，對于選派問題，先選：EQ Coa

10、l(SUP5(2),SDO3(3)EQ Coal(SUP5(1),SDO3(1)，然后再排：EQ Aoal(SUP5(2),SDO3(2)，則不同的分配問題共有EQ Coal(SUP5(2),SDO3(3)EQ Coal(SUP5(1),SDO3(1)EQ Aoal(SUP5(2),SDO3(2)6種，所以答案選C.5已知函數(shù)f(x)EQ F(1,3)a2x3EQ F(3,2)ax22x1在x1處取得極大值，則a的值為( )A1或2B1或2C1D2【答案】C【考點】函數(shù)的極值點概念應用【解析】由題意可知，f(x)a2x23ax2，則f(1)0，即a23a20，解得a1或2，當a1時，f(x)x

11、23x2，令f(x)0，解得x1或2，所以f(x)在(，1)上單調(diào)遞增，在(1，2)上單調(diào)遞減，在(2，)上單調(diào)遞增，即在x1處取得極大值，滿足題意；當a2時，f(x)4x26x2，令f(x)0，解得xEQ F(1,2)或1，所以f(x)在(，EQ F(1,2)上單調(diào)遞增，在(EQ F(1,2)，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，即在xEQ F(1,2)處取得極大值，不符合題意，所以舍去，故答案選C.6甲、乙等5人在9月3號參加了紀念抗日戰(zhàn)爭勝利70周年閱兵慶典后，在天安門廣場排成一排拍照留念，甲和乙必須相鄰且都不站在兩端的排法有( )A12種B24種C48種D120種【答案】B【考點】排

12、列組合：站位問題中的捆綁法與插空法【解析】由題意可知，甲和乙必須相鄰則需要捆綁，則先排其他3人，無位置要求，為EQ Aoal(SUP5(3),SDO3(3)，此時有4個空位，需要插空，則甲和乙不站在兩端則有2個空，為EQ Coal(SUP5(1),SDO3(2)，最后考慮甲和乙兩人的位置，為EQ Aoal(SUP5(2),SDO3(2)，所以甲和乙必須相鄰且都不站在兩端的排法有EQ Aoal(SUP5(3),SDO3(3)EQ Coal(SUP5(1),SDO3(2)EQ Aoal(SUP5(2),SDO3(2)24種，故答案選B.7數(shù)學對于一個國家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達國家常常把保持數(shù)學領先地

13、位作為他們的戰(zhàn)略需求.現(xiàn)某大學為提高數(shù)學系學生的數(shù)學素養(yǎng)，特開設了“古今數(shù)學思想”，“世界數(shù)學通史”，“幾何原本”，“什么是數(shù)學”四門選修課程，要求數(shù)學系每位同學每學年至多選3門，大一到大三三學年必須將四門選修課程選完，則每位同學的不同選修方式有( )A60種B78種C84種D144種【答案】B【考點】新情景問題下的【解析】由題意可知，三年修完四門課程，則每位同學每年所修課程數(shù)為1，1，2或0，1，3或0，2，2若是1，1，2，則先將4門學科分成三組共EQ F(Coal(SUP5(1),SDO3(4)Coal(SUP5(1),SDO3(3)Coal(SUP5(2),SDO3(2),Aoal(S

14、UP5(2),SDO3(2)種不同方式，再分配到三個學年共有EQ Aoal(SUP5(3),SDO3(3)種不同分配方式，由乘法原理可得共有EQ F(Coal(SUP5(1),SDO3(4)Coal(SUP5(1),SDO3(3)Coal(SUP5(2),SDO3(2),Aoal(SUP5(2),SDO3(2)EQ Aoal(SUP5(3),SDO3(3)36種；若是0，1，3，則先將4門學科分成三組共EQ Coal(SUP5(1),SDO3(4)EQ Coal(SUP5(3),SDO3(3)種不同方式，再分配到三個學年共有EQ Aoal(SUP5(3),SDO3(3)種不同分配方式，由乘法原

15、理可得共種EQ Coal(SUP5(1),SDO3(4)EQ Coal(SUP5(3),SDO3(3)EQ Aoal(SUP5(3),SDO3(3)24種；若是0，2，2，則先將4門學科分成三組EQ F(Coal(SUP5(2),SDO3(4) Coal(SUP5(2),SDO3(2),Aoal(SUP5(2),SDO3(2)種不同方式，再分配到三個學年共有EQ Aoal(SUP5(3),SDO3(3)種不同分配方式，由乘法原理可得共有EQ F(Coal(SUP5(2),SDO3(4) Coal(SUP5(2),SDO3(2),Aoal(SUP5(2),SDO3(2)EQ Aoal(SUP5(

16、3),SDO3(3)18種所以每位同學的不同選修方式有36241878種；故答案選B8定義在R上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f(x)，若對任意實數(shù)x，有f(x)f(x)，且f(x)2022為奇函數(shù)，則不等式f(x)2022ex0的解集是( )A(，0) B(，2022) C(0，)D(2022，)【答案】C【考點】函數(shù)的單調(diào)性應用：利用導數(shù)的運算律構(gòu)造新函數(shù)進而解不等式【解析】由題意，因為f(x)2020為奇函數(shù)，所以f(0)20200，f(0)2020，考慮函數(shù)eq F(x)f(f(x),esup6(x)2020，則F(x)EQ F(f S()(x)f(x),eS(x)0， 所以eq F(x)f

17、(f(x),esup6(x)2020在R上單調(diào)遞減，因為eq F(0)f(f(0),esup6(0)20200，所以f(x)2022ex0的解集等價于eq f(f(x),esup6(x)20200的解集，即F(x)F(0)的解集為(0，)，故答案選C二、多選題(本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。)9已知復數(shù)zEQ F(47i,32i)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）Az的虛部為i B2i C|z|EQ R(,5) Dz在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限【答案】BC【考點】復數(shù)的概念及運算綜合【解析】由

18、題意可知，zEQ F(47i,32i)EQ F(47i)(32i),(32i)(32i)2i，所以z的虛部為1，2i，|z|EQ R(,2S(2)1S(2)EQ R(,5)，z在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限，所以選項BC正確，選項AD錯誤，故答案選BC.10已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則下列選項中正確的是（ ）A函數(shù)f(x)在x1處取得極大值 B函數(shù)f(x)在x1處取得極小值Cf(x)在區(qū)間(2，3)上單調(diào)遞減 Df(x)的圖象在x0處的切線斜率小于零【答案】CD【考點】導數(shù)的概念、幾何意義及應用【解析】由題意，根據(jù)f(x)的圖象可得到，f(x)在(，2)上單調(diào)遞增，在(2

19、，1)上單調(diào)遞減，在(1，3)上單調(diào)遞減，且f(2)f(1)0，所以函數(shù)f(x)在x2處取得極大值，不在x1處取得極小值，因為f(x)在(2，3)上滿足f(x)0，所以可得到f(x)在區(qū)間(2，3)上單調(diào)遞減，又f(0)0，則由導數(shù)的幾何意義可知f(x)的圖象在x0處的切線斜率小于零，所以選項AB錯誤，選項CD正確；故答案選CD.11現(xiàn)安排高二年級A，B，C三名同學到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，每名同學只能選擇一個工廠），且允許多人選擇同一個工廠，則下列說法正確的是（ ）A所有可能的方法有34種B若工廠甲必須有同學去，則不同的安排方法有37種C若同學A必須去工廠甲，則不同的安排方法有1

20、6種D若三名同學所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種【答案】BCD【考點】兩個計數(shù)原理的應用【解析】由題意可知，對于選項A，每名同學都有4種選擇，則只能選擇一個工廠共有43種，所以選項A錯誤；對于選項B，則若有1名同學去工廠甲，則去工廠甲的同學情況為EQ Coal(SUP5(1),SDO3(3)，另外兩名同學的安排方法有339種，則此情況共有EQ Coal(SUP5(1),SDO3(3)927種；若有2名同學去工廠甲，則同學選派情況有EQ Coal(SUP5(2),SDO3(3)，另外1名同學的排法有3種，此種情況共有EQ Coal(SUP5(2),SDO3(3)39種；若有3名同學去工

21、廠甲，即3名同學都去工廠甲，此種情況唯一，為1種；則工廠甲必須有同學去的情況共有279137種安排方法，所以選項B正確；對于選項C，若同學A必須去工廠甲，則另外2 名同學各有4個工廠選擇，即另外2 名同學有4416種安排方法，所以選項C正確；對于選項D，若三名同學所選工廠各不相同，則有EQ Coal(SUP5(3),SDO3(4)EQ Aoal(SUP5(3),SDO3(3)24種，所以選項D正確；綜上，答案選BCD12若0 x1x21，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）Ax2EQ eSUP6(xSDO(1)x1EQ eSUP6(xSDO(2)Bx2EQ eSUP6(xSDO(1)x

22、1EQ eSUP6(xSDO(2)CEQ eSUP6(xSDO(2)EQ eSUP6(xSDO(1)lnx2lnx1DEQ eSUP6(xSDO(2)EQ eSUP6(xSDO(1)lnx2lnx1【答案】ACD【考點】函數(shù)的單調(diào)性應用：構(gòu)造新函數(shù)問題【解析】由題意可知，對于選項AB，可構(gòu)造f(x)EQ F(eS(x),x)，則f(x)EQ F(x1)eS(x),xS(2)，所以當x1時，f(x)0，即f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，又因為0 x1x21，所以f(x1)f(x2)，即EQ F(eSUP6(xSDO(1),xSDO(1)EQ F(eSUP6(xSDO(2),xSDO(2)，則化為

23、x2EQ eSUP6(xSDO(1)x1EQ eSUP6(xSDO(2)，所以選項A錯誤，選項B正確；對于選項CD，可構(gòu)造g(x)exlnx，則g(x)exEQ F(1,x)EQ F(xeS(x)1,x)，設h(x)xex1，因為h(0)10，h(1)e10，則由函數(shù)的零點存在性定理可知，存在x0(0，1)，使得h(x0)0，又因為h(x)(1x)ex，則當x(0，1)時，h(x)0，所以h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，所以當x(0，x0)時，g(x)0，函數(shù)g(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減；當x(x0，1)時，g(x)0，函數(shù)g(x)在(x0，1)上單調(diào)遞增，若0 x1x2x0，則有g(shù)(x1

24、)g(x2)，即EQ eSUP6(xSDO(1)lnx1EQ eSUP6(xSDO(2)lnx2，則有EQ eSUP6(xSDO(2)EQ eSUP6(xSDO(1)lnx2lnx1；若x0 x1x21，則有g(shù)(x1)g(x2)，即EQ eSUP6(xSDO(1)lnx1EQ eSUP6(xSDO(2)lnx2，則有EQ eSUP6(xSDO(2)EQ eSUP6(xSDO(1)lnx2lnx1，則選項CD錯誤；綜上，答案選ACD.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13設z1x2i，z23yi，(x，yR)，且z1z256i，則z1z2_.【答案】2210i【考點】復數(shù)的簡單運

25、算【解析】由題意可知，z1z2x2i3yix3(2y)i56i，所以x35，2y6，解得x2，y8，所以z122i，z238i，所以z1z2(22i)(38i)2210i.14函數(shù)f(x)x33x22在區(qū)間2，2上的最大值是_.【答案】2【考點】利用函數(shù)單調(diào)性求最值【解析】由題意可知，f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，則x0或2，所以f(x)在2，0)上單調(diào)遞增，在0，2上單調(diào)遞減，且f(2)2，f(2)18，f(0)2，所以在2，2上的最大值是2.15用數(shù)字0、1、2、3、4、5可以組成無重復數(shù)字且能被5整除的的五位數(shù)有_個.（用數(shù)字作答）【答案】216【考點】排列組合：整除問題

26、【解析】由題意，有分類計數(shù)原理可得：當個位數(shù)為0時，其他位數(shù)上無要求，則有EQ Coal(SUP5(4),SDO3(5)EQ Aoal(SUP5(4),SDO3(4)120個；當個位數(shù)為5時，則先從1、2、3、4種選一個數(shù)放到萬位上，然后再全排中間的三個位數(shù)上的數(shù)字，則有EQ Coal(SUP5(1),SDO3(4)EQ Aoal(SUP5(4),SDO3(4)96個；所以滿足題意的五位數(shù)有12096216個.16已知f(x)xexEQ F(1,e)e2，g(x)x22x1a，若存在x1R，x2(1，)，使得f(x1)g(x2)成立，則實數(shù)a的取值范圍是_.【答案】(e2，)【考點】函數(shù)的成立

27、問題求參數(shù)范圍【解析】由題意可知，f(x)(x1)ex，令f(x)0，解得x1；f(x)0，解得x1，所以f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，所以在x1處取得最小值，即f(x)minf(1)e2，又g(x)x22x1a(x1)2a，所以g(x)在(1，)上單調(diào)遞減，所以g(x)maxg(1)a，因為存在x1R，x2(1，)，使得f(x1)g(x2)成立，所以f(x)ming(x)max，則e2a，所以實數(shù)a的取值范圍是(e2，).四、解答題(本大題共6小題，第17題10分，1822題每題12分，共70分)1710件不同廠生產(chǎn)的同類產(chǎn)品：（1）在商品評選會上，有2件商品不能參加評選，要選出4件商品，并排定選出的4件商品的名次，有多少種不同的選法？（2）若要選6件商品放在不同的位置上陳列，且必須將獲金質(zhì)獎章的兩件商品放上，有多少種不同的布置方法？【答案】（1）1680種；（2）50400種【考點】兩個計數(shù)原理與排列組合的應用【解析】（1）件商品，除去不能參加評選的件商品，剩下件，從中選出件進行排列，有(或)(種)；（2）分步完成，先將獲金質(zhì)獎章的兩件商品布置在個位置中的兩個位置上，有種方法，再從剩下的件商品中選出件，布置在剩下的個位置上，有種方法，共有(或)(種)18已知是虛數(shù)單位，復數(shù).（1）若為純虛數(shù)，求實數(shù)的值；（2）若在復平面上對應的點在直線