2023考研數(shù)學(xué)一試題及答案解析

1、2023考研數(shù)學(xué)一答案及解析一、選擇題：18小題，每題4分，共32分，以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上。1假設(shè)函數(shù)在連續(xù)，那么。A.B.C.D.【答案】A【解析】由連續(xù)的定義可得，而，因此可得，應(yīng)選擇A。2設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且，那么。A.B.C.D.【答案】C【解析】令，那么有，故單調(diào)遞增，那么，即，即，應(yīng)選擇C。3函數(shù)在點(diǎn)處沿向量的方向?qū)?shù)為。A.12B.6C.4D.2【答案】D【解析】，因此代入可得，那么有。4甲乙兩人賽跑，計(jì)時(shí)開始時(shí)，甲在乙前方10單位：m處，圖中，實(shí)線表示甲的速度曲線單位：m/s，虛線表示乙的速度曲線，三塊陰影局部面積的數(shù)

2、值依次為10，20，3，計(jì)時(shí)開始后乙追上甲的時(shí)刻記為單位：s，那么。A.B.C.D.【答案】C【解析】從0到時(shí)刻，甲乙的位移分別為與，由定積分的幾何意義可知，因此可知。5設(shè)為n維單位列向量，E為n維單位矩陣，那么。A.不可逆B.不可逆C.不可逆D.不可逆【答案】A【解析】因?yàn)榈奶卣髦禐?n-1重和1，所以的特征值為1n-1重和0，故不可逆。6矩陣，那么。A.A與C相似，B與C相似B.A與C相似，B與C不相似C.A與C不相似，B與C相似D.A與C不相似，B與C不相似【答案】B【解析】A和B的特征值為2,2,1，但是A有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，而B只有兩個(gè)，所依A可對(duì)角化，B不可，因此選擇B。7設(shè)

3、A，B為隨機(jī)事件，假設(shè)，且的充分必要條件是。A.B.C.D.【答案】A【解析】由得，即，因此選擇A。8設(shè)來自總體的簡單隨機(jī)樣本，記，那么以下結(jié)論中不正確的是。A.服從分布B.服從分布C.服從分布D.服從分布【答案】B【解析】，故，因此，故，故B錯(cuò)誤，由可得，那么有，因此。二、填空題：914小題，每題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上。9函數(shù)，那么=_?！敬鸢浮?【解析】，因此，代入可得。10微分方程的通解為=_。【答案】【解析】由，所以，因此，因此通解為：。11假設(shè)曲線積分在區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，那么=_?！敬鸢浮?【解析】設(shè)，因此可得：，根據(jù)，因此可得。12冪級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)=_。

4、【答案】【解析】。13設(shè)矩陣，為線性無關(guān)的3維向量，那么向量組的秩為_?！敬鸢浮?【解析】因?yàn)?，而，因此，所以向量組的秩2。14設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，那么=_?！敬鸢浮?【解析】因此可得。三、解答題： 1523小題，共94分，請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15此題總分值10分設(shè)函數(shù)具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求?！敬鸢浮?，【解析】因?yàn)?，所以，因此因此得?6此題總分值10分求【答案】【解析】由定積分的定義可知，然后計(jì)算定積分，17此題總分值10分函數(shù)由方程確定，求的極值?！敬鸢浮繕O大值為，極小值為?！窘馕觥繉?duì)關(guān)于求導(dǎo)得：，令得，因此，

5、當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。對(duì)關(guān)于再次求導(dǎo)得：，將代入可得當(dāng)時(shí)，時(shí)，代入可得，當(dāng)時(shí)，時(shí)，代入可得，因此有函數(shù)的極大值為，極小值為。18此題總分值10分設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有2階導(dǎo)數(shù)，且，證明：方程在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根；方程在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個(gè)不同實(shí)根?！敬鸢浮孔C：因?yàn)椋蓸O限的局部保號(hào)性知，存在，使得，而，由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得。構(gòu)造函數(shù)，因此，因?yàn)椋?，由拉格朗日中值定理知，存在，使得，所以，因此根?jù)零點(diǎn)定理可知存在，使得，所以，所以原方程至少有兩個(gè)不同實(shí)根?！窘馕觥柯?9此題總分值10分設(shè)薄片型物體時(shí)圓錐面被柱面割下的有限局部，其上任一點(diǎn)的弧度為，記圓錐與柱面的交線為，求在平面上的投影曲線的方

6、程；求的質(zhì)量?！敬鸢浮?；64?！窘馕觥康姆匠虨?，投影到平面上為，因此有。20此題總分值11分三階行列式有3個(gè)不同的特征值，且，證明；如果，求方程組的通解?！敬鸢浮柯?；?！窘馕觥孔C：因?yàn)橛腥齻€(gè)不同的特征值，所以不是零矩陣，因此，假設(shè)，那么特征根0是二重根，這與假設(shè)矛盾，因此，又根據(jù)，所以，因此。因?yàn)?，所以的根底解系中只有一個(gè)解向量，又，即，因此根底解系的一個(gè)解向量為。因?yàn)?，故的特解為，因此的通解為?1此題總分值11分設(shè)在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為，求的值及一個(gè)正交矩陣?！敬鸢浮?，正交矩陣【解析】二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)型為，所以，從而，即，代入得，解得；當(dāng)時(shí)，化簡得，對(duì)應(yīng)的特征向量為；當(dāng)時(shí)，化簡得，對(duì)應(yīng)的特征向量為；當(dāng)時(shí)，化簡得，對(duì)應(yīng)的特征向量為；從而正交矩陣。22此題總分值11分設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且的概率分布為，的概率密度為求；求的概率密度?！敬鸢浮俊窘馕觥坑蓴?shù)字特征的計(jì)算公式可知：，那么先求的分布函數(shù)，由分布函數(shù)的定義可知：。由于為離散型隨機(jī)變量，那么由全概率公式可知其中為的分布函數(shù)：23此題總分值11分某工程師為了解一臺(tái)天平的精度，用該天平對(duì)一物體的質(zhì)量做次測(cè)量，該物體的質(zhì)量是的，設(shè)次測(cè)量結(jié)果相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布，該工程師記錄的是次測(cè)量的絕對(duì)誤差，利用估計(jì)求的概率密度；利用一階矩求的矩估計(jì)量；求的最大似然估計(jì)量?！?/p>