010數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院-考試大綱已修改計(jì)算高等代數(shù)

1、湖南師范大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試自命題考試大綱考試科目代碼：841 考試科目名稱：高等代數(shù)一、試卷結(jié)構(gòu)1) 試卷成績及考試時(shí)間本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。2)答題方式：閉卷、筆試。3)試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)北京大學(xué)數(shù)學(xué)系所編的高等代數(shù)第一章至第九章。4)題型結(jié)構(gòu)a: 填空題，5小題，每小題6分，共30分；b: 計(jì)算題，4小題，每小題15分，共60分；c: 證明題，4小題，每小題15分，共60分。二、考試內(nèi)容與考試要求 1、多項(xiàng)式考試內(nèi)容數(shù)域，一元多項(xiàng)式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多項(xiàng)式函數(shù)，復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解，有理系數(shù)多項(xiàng)式，多元多項(xiàng)式?？荚囈笳莆諗?shù)域的定

2、義，并會(huì)判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否是數(shù)域。正確理解數(shù)域P上一元多項(xiàng)式的定義，多項(xiàng)式相乘，次數(shù)，一元多項(xiàng)式環(huán)等概念。掌握多項(xiàng)式的運(yùn)算及運(yùn)算律。正確理解整除的定義，熟練掌握帶余除法及整除的性質(zhì)。正確理解和掌握兩個(gè)（或若干個(gè)）多項(xiàng)式的最大公因式，互素等概念及性質(zhì)。能用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式。正確理解和掌握不可約多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)。了解因式分解定理。正確理解和掌握k重因式的定義。掌握多項(xiàng)式函數(shù)的概念，余數(shù)定理，多項(xiàng)式的根及性質(zhì)。正確理解多項(xiàng)式與多項(xiàng)式函數(shù)的關(guān)系。理解代數(shù)基本定理。熟練掌握復(fù)（實(shí)）系數(shù)多項(xiàng)式分解定理及標(biāo)準(zhǔn)分解式。正確理解和掌握本原多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)。 掌握整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的計(jì)算

3、。了解多元多項(xiàng)式的基本概念。2、行列式考試內(nèi)容排列，n級(jí)行列式的定義，n級(jí)行列式的性質(zhì)，n級(jí)行列式的展開，行列式的計(jì)算，克拉默(Cramer)法則，拉普拉斯(Laplace)定理，行列式的乘法規(guī)則。 考試要求理解并掌握排列、逆序、逆序數(shù)、奇偶排列的定義。掌握排列的奇偶性與對(duì)換的關(guān)系。深刻理解和掌握n級(jí)行列式的定義，并能用定義計(jì)算一些特殊行列式。熟練掌握行列式的基本性質(zhì)。正確理解矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換等概念，能利用行列式性質(zhì)計(jì)算一些簡單行列式。正確理解元素的余子式、代數(shù)余子式等概念。熟練掌握行列式按一行（列）展開的公式。掌握計(jì)算行列式的基本方法與技巧。熟練掌握克拉默(Cramer)法

4、則，了解拉普拉斯(Laplace)定理，能初步利用行列式的乘法規(guī)則解決簡單的問題。 3、線性方程組考試內(nèi)容消元法，n維向量空間，線性相關(guān)性，矩陣的秩，線性方程組有解判別定理，線性方程組解的結(jié)構(gòu)。考試要求正確理解和掌握一般線性方程組，方程組的解，增廣矩陣，線性方程組的初等變換等概念及性質(zhì)。掌握階梯形方程組的特征及作用。會(huì)求線性方程組的一般解。理解和掌握n維向量及兩個(gè)n維向量相等的定義。熟練掌握向量的運(yùn)算規(guī)律和性質(zhì)。正確理解和掌握線性組合、線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義及性質(zhì)。掌握兩個(gè)向量組等價(jià)的定義及等價(jià)性質(zhì)定理。深刻理解向量組的極大無關(guān)組、秩的定義，并會(huì)求向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。深刻理解和掌握矩陣的

5、行秩、列秩，以及矩陣的秩的定義。掌握矩陣的秩與其子式的關(guān)系。熟練掌握線性方程組的有解判別定理。理解和掌握線性方程組的公式解。正確理解和掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。了解解空間的概念。熟練掌握基礎(chǔ)解系的求法、線性方程組的結(jié)構(gòu)定理。并對(duì)有解的一般線性方程組，會(huì)求其全部解。4、矩陣考試內(nèi)容矩陣的概念，矩陣的運(yùn)算，矩陣乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣的分塊，初等矩陣，分塊乘法的初等變換及應(yīng)用?？荚囈笳莆站仃嚨牡募臃?、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算及其計(jì)算規(guī)律。掌握矩陣乘積的行列式定理，矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關(guān)系。正確理解和掌握可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣等概念，掌握一個(gè)n階方陣可逆的充要條件和用公式法求

6、一個(gè)矩陣的逆矩陣。理解分塊矩陣的意義，掌握分塊矩陣的加法、乘法的運(yùn)算及性質(zhì)。正確理解和掌握初等矩陣、初等變換等概念及它們之間的關(guān)系，熟練掌握一個(gè)矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形和矩陣可逆的充要條件；會(huì)用初等變換的方法求一個(gè)方陣的逆矩陣。理解分塊乘法的初等變換和廣義初等矩陣的關(guān)系，會(huì)求分塊矩陣的逆。5、二次型考試內(nèi)容二次型的矩陣表示，標(biāo)準(zhǔn)型，唯一性，正定（半正定）二次型?？荚囈笳_理解二次形和非退化線性替換的概念，掌握二次型的矩陣表示及二次型與對(duì)稱矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，掌握矩陣的合同概念及性質(zhì)。理解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的兩種基本方法。正確理解復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范性的唯一性，了解符號(hào)差、慣

7、性指數(shù)等概念，掌握慣性定理的證明思想。正確理解正定、半正定、負(fù)定二次型及正定、半正定矩陣等概念，熟練掌握正定二次型（半正定二次型）的若干等價(jià)條件。 6、線性空間考試內(nèi)容集合、映射，線性空間的定義與簡單性質(zhì)，維數(shù)、基與坐標(biāo)，基變換與坐標(biāo)變換，線性子空間，子空間的交與和，子空間的直和，線性空間的同構(gòu)?？荚囈笳_理解和掌握線性空間的定義及性質(zhì)，會(huì)判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否為線性空間。理解線性組合、線性表示、線性相關(guān)、線性無關(guān)等概念，正確理解和掌握n維線性空間的概念及性質(zhì)?；儞Q與坐標(biāo)變換的關(guān)系。正解理解和掌握基之間的過渡矩陣及其性質(zhì)。正確理解線性子空間的定義及判別定理，掌握線性方程組的解空間的概念和性質(zhì)

8、，掌握向量組生成子空間的定義及等價(jià)條件。掌握子空間的交與和的定義及性質(zhì)，掌握維數(shù)公式并能熟練運(yùn)用。深刻理解子空間的直和的概念，以及判斷直和的若干充要條件。 7、線性變換考試內(nèi)容線性變換的定義，線性變換的運(yùn)算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，對(duì)角矩陣，線性變換的值域與核，不變子空間，若爾當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形介紹，最小多項(xiàng)式?？荚囈罄斫夂驼莆站€性變換的定義及性質(zhì)。掌握線性變換的運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律，理解線性變換的多項(xiàng)式。深刻理解和掌握線性變換與矩陣的聯(lián)系，掌握矩陣相似的概念和線性變換在不同基下的矩陣相似等性質(zhì)。理解和掌握矩陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式的概念和性質(zhì)，會(huì)求一個(gè)矩陣的特征值和特征向

9、量，掌握相似矩陣與它們的特征多項(xiàng)式的關(guān)系及哈密頓-凱萊定理。掌握n維線性空間中一個(gè)線性變換在某一組基下的矩陣為對(duì)角矩陣的充要條件。掌握線性變換的值域、核、秩、零度等概念，深刻理解和掌握線性變換的值域與它對(duì)應(yīng)的矩陣的秩的關(guān)系及線性變換的秩和零度間的關(guān)系。掌握不變子空間的定義，會(huì)判定一個(gè)子空間是否是A-子空間，深刻理解不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關(guān)系，掌握將空間V按特征值分解成不變子空間和直和表達(dá)式。了解若爾當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形及其相關(guān)性質(zhì)。掌握最小多項(xiàng)式的定義和基本性質(zhì)，會(huì)求任意Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的最小多項(xiàng)式。 8、-矩陣考試內(nèi)容-矩陣的定義，-矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)型，不變因子，

10、矩陣相似的條件，初等因子，若爾當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)，矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形?？荚囈罅私?矩陣的定義，理解-矩陣可逆的充要條件。了解-矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子及其之間關(guān)系。了解-矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形了解特征矩陣E-A之間的等價(jià)和矩陣之間的相似的關(guān)系。 9、歐幾里德空間考試內(nèi)容定義與基本性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)正交基，同構(gòu)，正交變換，子空間，實(shí)對(duì)稱矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形，向量到子空間的距離，最小二乘法。考試要求深刻理解歐氏空間的定義及性質(zhì)，深刻理解內(nèi)積的本質(zhì)，掌握向量的長度，兩個(gè)向量的夾角、單位向量、正交及度量矩陣等概念和基本性質(zhì)，掌握各種概念之間的聯(lián)系和區(qū)別。正確理解正交向量組、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，掌握施密特正交化過程，并能把一組線性無關(guān)的向量化為單位正交的向量。正確理解和掌握正交變換的概念及幾個(gè)等價(jià)關(guān)系，掌握正交變換與向量的長度，標(biāo)準(zhǔn)正交基，正交矩陣間的關(guān)系。正確理解和掌握兩個(gè)子空間正交的概念，掌握正交與直和的關(guān)系，及有限維歐氏空間中的每一個(gè)子空間都有唯一的正交補(bǔ)的性質(zhì)。深