2023屆湖南省湘潭市高三上學(xué)期入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁2023屆湖南省湘潭市高三上學(xué)期入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知集合，則()ABCD【答案】A【分析】求解二次方程，確定集合A和集合B，根據(jù)集合交集運(yùn)算法則計(jì)算即可【詳解】且，故選：A2復(fù)數(shù)（）AB1CDi【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，故選:C.3若函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象經(jīng)過以下變換得到的， 則該變換為（）A向左平移 個(gè)單位長度B向左平移 個(gè)單位長度C向右平移 個(gè)單位長度D向右平移 個(gè)單位長度【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換的規(guī)則，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，所以函數(shù)向右平

2、移 個(gè)單位長度，即可得到.故選：D.4已知直三棱柱 的側(cè)棱和底面邊長均為 分別是棱 上的點(diǎn)， 且 ， 當(dāng) 平面 時(shí)， 的值為（）ABCD【答案】B【分析】過作交于，利用線面平行的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得四邊形為平行四邊形，即得.【詳解】過作交于，連接，因?yàn)?，故共?因?yàn)?平面 ，平面平面 ，平面，所以，又,四邊形為平行四邊形，又，所以.故選：B5設(shè)某芯片制造廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線均生產(chǎn)規(guī)格的芯片， 現(xiàn)有 20 塊該規(guī)格的芯片， 其中甲、乙生產(chǎn)的芯片分別為 12 塊， 8 塊， 且乙生產(chǎn)該芯片的次品率為， 現(xiàn)從這 20 塊芯片中任取一塊芯片， 若取得芯片的次品率為， 則甲廠生產(chǎn)該芯片的次品率為（）ABC

3、D【答案】B【分析】首先設(shè)分別表示取得的這塊芯片是由甲廠、乙廠生產(chǎn)的，B表示取得的芯片為次品，甲廠生產(chǎn)該芯片的次品率為，得到則，再利用全概率公式求解即可.【詳解】設(shè)分別表示取得的這塊芯片是由甲廠、乙廠生產(chǎn)的，B表示取得的芯片為次品，甲廠生產(chǎn)該芯片的次品率為，則，則由全概率公式得：，解得，故選：B6牛頓迭代法亦稱切線法，它是求函數(shù)零點(diǎn)近似解的另一種方法.若定義是函數(shù)零點(diǎn)近似解的初始值，在點(diǎn)的切線為，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即為函數(shù)零點(diǎn)近似解的下一個(gè)初始值，以此類推，X滿足精度的初始值即為函數(shù)零點(diǎn)近似解設(shè)函數(shù)，滿足應(yīng)用上述方法，則（）A3BCD【答案】C【分析】根據(jù)題意依次計(jì)算即可得出答案.【詳解

4、】因?yàn)?，所以，又，所以在點(diǎn)的切線方程為，令得，所以在點(diǎn)的切線方程為，令，得，所以，所以在點(diǎn)的切線方程為，令，得，故選：C7在四邊形中，為的重心，點(diǎn)在線段 上， 則的最小值為（）ABCD0【答案】A【分析】首先根據(jù)平面向量的加法幾何意義，三角形重心的性質(zhì)和平面數(shù)量積的概念得到，再利用基本不等式性質(zhì)即可得到答案.【詳解】如圖所示：因?yàn)椋?，于是有，又，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以.故選：A8已知 , , , 則（）ABCD【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù),判斷其單調(diào)性可得到，再利用與1的大小比較可得到.【詳解】設(shè)函數(shù)，則，令函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，所以因?yàn)椋鬃C

5、當(dāng)時(shí)，所以，而，所以，所以，故選：A二、多選題9已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A函數(shù)是周期函數(shù)B函數(shù)的最大值是C函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【答案】AC【分析】化簡的解析式可得，即可求得最小正周期以及最大值，從而判斷出A正確，B錯(cuò)誤；代入檢驗(yàn)即可以判斷C正確D錯(cuò)誤【詳解】因?yàn)?，所以是周期?的周期函數(shù)，其最大值是，所以A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)椋訡正確D錯(cuò)誤，故選：AC10已知函數(shù) ， 則下列結(jié)論中正確的是（）A函數(shù) 是其定義域上的減函數(shù)B函數(shù) 是其定義域上的減函數(shù)C函數(shù) 是其定義域上的增函數(shù)D函數(shù) 是其定義域上的增函數(shù)【答案】ABD【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

6、判斷可解.【詳解】對于A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以A正確；對于B，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)和在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以B正確；對于C，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，函?shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)在上不可能是單調(diào)函數(shù)，所以C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，函?shù)和在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，所以D正確.故選:ABD11已知直線 與拋物線 交于 兩點(diǎn)， 點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 若線段的中點(diǎn)是 ， 則（）ABCD【答案】AC【分析】聯(lián)立拋物線與直線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，然后對選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】設(shè)，由得，所以，所以，又點(diǎn)在直線l上，所以，所以A正確，B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)橹本€l經(jīng)

7、過拋物線的焦點(diǎn)，所以，所以C正確；對于D，因?yàn)椋?，所以，所以D錯(cuò)誤，故選:AC12如圖， 已知圓錐頂點(diǎn)為 ， 其軸截面 是邊長為 6 的為正三角形， 為底面的圓心， 為圓 的一條直徑， 球 內(nèi)切于圓錐 （與圓錐底面和側(cè)面均相切）， 點(diǎn) 是球 與圓錐側(cè)面的交線上一動點(diǎn)，則（）A圓錐的表面積是B球的體積是C四棱錐體積的最大值為D的最大值為【答案】BCD【分析】根據(jù)給定條件，求出球O的半徑，動點(diǎn)Q的軌跡圓的半徑及線段長，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.【詳解】依題意，動點(diǎn)Q的軌跡是圓，所在平面與圓錐底面平行，令其圓心為，連接，如圖，正內(nèi)切圓即為球O的截面大圓，球心O、截面圓圓心都在線段上，連，則球O的半徑，

8、顯然，對于A，圓錐的表面積是，A錯(cuò)誤；對于B，球O的體積是，B正確；對于C，因Q到平面AEBF的距離與截面圓圓心到平面的距離相等，均為，則當(dāng)四邊形AEBF的面積最大時(shí)，四棱錐的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，則四棱錐體積的最大值為，C正確；對于D，因，則有，即，因此，由均值不等式得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，D正確.故選：BCD三、填空題13設(shè)關(guān)于的不等式的解集為， 則的值等于_【答案】【分析】依題意可得、是方程的兩根，利用韋達(dá)定理求出、的值，即可得解.【詳解】解：因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以、是方程的兩根，所以，所以故答案為?4設(shè)， 若， 則的所有可能取值的個(gè)數(shù)是_【答案】3【分析】根據(jù)二項(xiàng)

9、式系數(shù)的性質(zhì)，即可得到的所有可能取值.【詳解】因?yàn)?，且，即為系?shù)的最大項(xiàng)，由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)知，的所有可能取值為，故的所有可能取值的個(gè)數(shù)是故答案為：15某燈泡廠對編號為 的十五個(gè)燈泡進(jìn)行使用壽命試驗(yàn)， 得到奇數(shù)號燈泡的平均使用壽命 （單位: 小時(shí)）為 1580 ， 方差為 15000 ， 偶數(shù)號燈泡的平均使用壽命為 1580 ， 方差為 12000 ，則這十五個(gè)燈泡的使用壽命的方差為_【答案】【分析】根據(jù)題意求得平均使用壽命為，結(jié)合方差的公式，即可求解.【詳解】由題意，十五個(gè)燈泡的平均使用壽命為，所以方差故答案為：.16已知雙曲線 的右頂點(diǎn)為， 若以點(diǎn)為圓心， 以 為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線

10、交于 兩點(diǎn)， 點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 且 ， 則雙曲線的離心率為_【答案】【分析】首先取的中點(diǎn)，連接則，根據(jù)已知條件得到，從而得到，再求離心率即可.【詳解】如圖所示：取的中點(diǎn)，連接則由知，又因?yàn)辄c(diǎn)到漸近線的距離，所以，即，又，代入化簡得，即，解得或（舍去），故故答案為：四、解答題17設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是等差數(shù)列， 其前項(xiàng)和是， 且(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;(2)求使得是數(shù)列中的項(xiàng)的的取值集合【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，即可求得的通項(xiàng)，再根據(jù)的值，即可求得的通項(xiàng).（2）由（1）中結(jié)論，寫出，將其形式化為通項(xiàng)的形式，即可得到結(jié)果.【詳解】(1)由知，當(dāng)時(shí)，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)

11、列，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為又因?yàn)?，所以?shù)列的公差為，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；(2)由（1）知，而，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，是數(shù)列中的項(xiàng)即所求的m的取值集合為18設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，為鈍角，且(1)探究與的關(guān)系并證明你的結(jié)論；(2)求的取值范圍【答案】(1)，證明見解析(2)【分析】（1）由題意及正弦定理得到，即，結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可求解；（2）由（1）得，令，化簡得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】(1)解：因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，所以，即，又因?yàn)椋?，于是，所?(2)解：由（1）知，所以，所以，所以，令，則且，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)值為，所以的取值范圍是19如圖，在四棱椎中，

12、已知四邊形是梯形，是正三角形(1)求證：；(2)當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，求：點(diǎn)A到平面的距離；平面與平面夾角的余弦值【答案】(1)證明見解析(2)；【分析】(1)取AB的中點(diǎn)E，連接CE、AC，取BC中點(diǎn)，連接AO和PO.證明ABC是等邊三角形得AOBC，結(jié)合線面垂直的判定方法證明BC平面PAO即可；(2)由(1)可知底面梯形ABCD面積為定值，故當(dāng)P到平面ABCD距離最大時(shí)，四棱錐體積最大，PBC為等邊三角形，邊長確定，故當(dāng)平面PBC平面ABCD時(shí)，P到平面ABCD距離最大，且為PBC的高，易證AO平面PBC，故AO長度即為所求以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OP分別為x軸、y軸和z軸的正方向，建立

13、空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量法即可求解【詳解】(1)如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接CE，AC，CD與AE平行且相等，四邊形AECD是平行四邊形，又，四邊形AECD是矩形，是等邊三角形取BC的中點(diǎn)O，連接AO，則連接PO，平面PAO，平面PAO，PA平面PAO，；(2)由(1)知，是等邊三角形，梯形ABCD的面積為定值，故當(dāng)平面平面ABCD時(shí)，四棱錐體積最大，平面ABCD，OABC，BCPO=O，BC、PO平面PBC，平面PBC，故此時(shí)點(diǎn)A到平面PBC的距離等于；OP，OA，OB兩兩互相垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OP分別為x軸、y軸和z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由

14、，可得，設(shè)平面PAD的一個(gè)法向量為，由得，可取，則設(shè)平面PAB的法向量為，則，即，取，則，則設(shè)平面PAB與平面PAD的夾角為，則故所求的平面PAB與平面PAD的夾角的余弦值為20湘潭是偉人故里， 生態(tài)宜居之城， 市民幸福感與日倶增某機(jī)構(gòu)為了解市民對幸福感滿意度， 隨機(jī)抽取了 120 位市民進(jìn)行調(diào)查， 其結(jié)果如下: 回答 “滿意” 的 “工薪族”人數(shù)是 40 人， 回答 “不滿意” 的“工薪族”人數(shù)是 30 人， 回答“滿意”的“非工薪族”人數(shù)是 40 人， 回答“不滿意” 的 “非工薪族”人數(shù)是 10 人(1)請根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下面 列聯(lián)表， 并依據(jù) 的獨(dú)立性檢驗(yàn)， 分析能否認(rèn)為市民對于幸福感

15、滿意度與是否為工薪族有關(guān)聯(lián)?滿意不滿意合計(jì)工薪族非工薪族合計(jì)(2)用上述調(diào)查所得到的滿意度頻率估計(jì)概率， 機(jī)構(gòu)欲隨機(jī)抽取部分市民做進(jìn)一步調(diào)查規(guī)定: 抽樣的次數(shù)不超過， 若隨機(jī)抽取的市民屬于不滿意群體， 則抽樣結(jié)束; 若隨機(jī)抽取的市民屬于滿意群體， 則繼續(xù)抽樣， 直到抽到不滿意市民或抽樣次數(shù)達(dá)到時(shí)，抽樣結(jié)束.記此時(shí)抽樣次數(shù)為 (i) 若 ， 求 的分布列和數(shù)學(xué)期望;(ii) 請寫出 的數(shù)學(xué)期望的表達(dá)式 （不需證明）， 根據(jù)你的理解說明 的數(shù)學(xué)期望的實(shí)際意義附:005000100005384166357879參考公式: ， 其中 【答案】(1)列聯(lián)表見解析，能(2)(i) 分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為

16、；(ii)答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意，補(bǔ)全分布列，根據(jù)公式計(jì)算出的值即可得到答案；（2）利用獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算概率即可得到分布列，既而得到的數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)由題意可知滿意不滿意合計(jì)工薪族403070非工薪族401050合計(jì)8040120根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為市民對幸福感的滿意度與是否為工薪族有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于001；(2)(i)當(dāng)時(shí)，的取值為1，2，3，4，5由（1）可知市民的滿意度和不滿意度分別為和，所以，所以的分布列為12345P所以；(ii)由得令，所以-得所以當(dāng)n趨向于正無窮大時(shí)趨向于3，可以理解為平均每抽取3個(gè)人，就會有一個(gè)不滿意的市民21如圖所示， 已

17、知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線 的交點(diǎn)為，且它們的斜率之積(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)設(shè)點(diǎn)為軸上 （不同于）一定點(diǎn)， 若過點(diǎn)的動直線與的交點(diǎn)為， 直線與 直線和直線分別交于兩點(diǎn)， 求證：的充要條件為【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)，即可求得軌跡的方程；（2）設(shè)直線MN的方程為，聯(lián)立方程組求得，根據(jù)，得到，求得，又由，求得，即可得證【詳解】(1)解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由題設(shè)得，故所求的點(diǎn)P的軌跡的方程為(2)證明：設(shè)，由題設(shè)知，直線MN的斜率存在，不妨設(shè)直線MN的方程為，且，由消去y并整理得，則且，由，可得，所以，整理得，可得，整理得所以，可得，即，將代入，可得，則，同

18、理由，可得，所以，即，所以的充要條件為22已知 (1)若在定義域上單調(diào)遞增， 求的取值范圍;(2)設(shè)函數(shù)，其中,若存在兩個(gè)不同的零點(diǎn) 求的取值范圍; 證明:【答案】(1)(2) ；證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用其導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而求得參數(shù)范圍;（2）求出的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，利用構(gòu)造新函數(shù)以及取特殊值說明零點(diǎn)存在的范圍，即可求得參數(shù)范圍；設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，從而可得，即，令，結(jié)合的單調(diào)性，即可證明結(jié)論.【詳解】(1)的定義域?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，故恒成立， 依題意可知，恒成立設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，故，即；(2)解：因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，由（1）可知時(shí)，恒成立，即有恒成立，故當(dāng)時(shí)，則，則，令，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)單調(diào)遞減，所以，即，所以在上單調(diào)遞減綜上知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單