2023屆浙江省“山水聯(lián)盟”高三上學(xué)期8月返校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)2023屆浙江省“山水聯(lián)盟”高三上學(xué)期8月返校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1若集合，則（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)不等式可化簡(jiǎn),根據(jù)對(duì)數(shù)型定義域可化簡(jiǎn),進(jìn)而根據(jù)集合的交運(yùn)算即可求解.【詳解】由得，所以，故選：C2已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（）A1BCD【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)得，進(jìn)而可求其共軛復(fù)數(shù).【詳解】由得，所以，故的虛部為，故選：B3已知，則“是“”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C既不充分也不必要條件D充要條件【答案】A【分析】由“成立可推出即得，反之，由推不出成立，由此可得答案.【

2、詳解】由“成立可推出，繼而可得到；當(dāng)時(shí)，比如，推不出成立，故“是“”的充分不必要條件，故選：A4已知向量，則在方向上的投影向量為（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)向量垂直的數(shù)量積的值，解得題目中，已知向量的數(shù)量積，再根據(jù)投影向量的計(jì)算公式，可得答案.【詳解】，則，在方向上的投影向量為，故選：B.5四棱錐的外接球O的半徑為2，平面ABCD，底面ABCD為矩形，則平面PAD截球O所得的截面面積為（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)外接球的球心到所有頂點(diǎn)距離相等，故可得球心為的中點(diǎn)，即可根據(jù)截面的性質(zhì)求解截面圓半徑.【詳解】由題意可知，球心為的中點(diǎn)，因?yàn)?所以平面,為的中點(diǎn),故到平面的距離為,故截面圓

3、的半徑為，截面面積為故選：B6在平行四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）ABCD【答案】D【分析】不妨設(shè)（其中）. 在中，由余弦定理得到，基本不等式得到；在中，由余弦定理得，即可求出的取值范圍【詳解】如圖示：不妨設(shè)（其中）.在中，由余弦定理得：，所以，且（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.在中，由余弦定理得：，即，所以.又且，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.即.所以的取值范圍是.故選：D7已知，則（）ABCD【答案】A【分析】時(shí)，令，利用導(dǎo)數(shù)得出，有可判斷的大小，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性可比較的大小，從而可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，且，所以，所以，即，所以，設(shè)，所以單調(diào)遞減，

4、得，可得，所以，即.故選：A.8已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）ABCD【答案】D【分析】換元法得到，由導(dǎo)函數(shù)得到單調(diào)遞增，得到，所以，構(gòu)造函數(shù)，求出其極值和最值情況，從而得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，則，則，整理得：，令，則在R上恒成立，故單調(diào)遞增，所以，故，令，則，當(dāng)時(shí)，令得：，令得：，所以，又，其中，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】求解參數(shù)取值范圍問(wèn)題，本題要先通過(guò)換元轉(zhuǎn)化得到，構(gòu)造函數(shù)后，利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性和最值情況，從而求出參數(shù)的取值范圍.二、多選題9若，則（）A若A，B為互斥事件，則BC若A，B相互獨(dú)立，則D若，則A，B相互獨(dú)立【答案】AD【分析】利用互斥

5、事件的定義及性質(zhì)判斷A選項(xiàng)；利用和事件的關(guān)系判斷B選項(xiàng)；利用相互獨(dú)立事件的定義及性質(zhì)判斷C選項(xiàng)；利用條件概率公式，求解事件A與B的積事件，根據(jù)獨(dú)立事件關(guān)系確定A、B的獨(dú)立性可判斷D.【詳解】解：選項(xiàng)A：若A，B為互斥事件，則，故A正確；選項(xiàng)B：，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：若A，B相互獨(dú)立，故C錯(cuò)誤； 選項(xiàng)D：，則A，B相互獨(dú)立，故D正確；故選：AD.10已知點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，則（）A的最大值為B點(diǎn)到直線的距離的最大值為4C的最小值為D的最小值為【答案】AC【分析】首先求出圓心坐標(biāo)與半徑，求出，即可得到，從而判斷A，再判斷在圓內(nèi)，即可求出點(diǎn)到直線的距離的最大值為，即可判斷B，當(dāng)直線

6、時(shí)，弦取得最小值，即可判斷C，設(shè)，表示出，利用坐標(biāo)法求出數(shù)量積，再根據(jù)輔助角公式計(jì)算即可判斷D.【詳解】解：圓的圓心為，半徑，又，所以，故A正確；因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，又，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)直線時(shí)取最大值，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以?dāng)直線時(shí)，弦取得最小值，故C正確；設(shè)，所以，所以，其中，所以當(dāng)時(shí)，故D錯(cuò)誤；故選：AC11如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A與不垂直B二面角的大小為定值C三棱錐的體積為定值D若是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，則長(zhǎng)度的最小值為【答案】BCD【分析】由線面垂直的性質(zhì)判斷A；由二面角判斷B；由等積法判斷C；將平面沿直線翻折到平面內(nèi)，作出平面圖可求解D【詳解】

7、對(duì)于A：由正方體可得，又平面，平面，所以，因?yàn)?，所以平面，又平面，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：平面即為平面，平面與平面所成的二面角為定值，而這兩個(gè)平面的位置固定不變，故二面角的大小為定值，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，為定值，故C正確；對(duì)于D：將平面沿直線翻折到平面內(nèi)，平面圖如下，過(guò)點(diǎn)作，此時(shí)的值最小，由題可知，則，故，又，故長(zhǎng)度的最小值為，故D正確；故選：BCD12對(duì)于函數(shù)和，設(shè)，若存在，使得，則稱與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.若函數(shù)與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的值可以是（）ABCD【答案】BC【分析】由題意，易得，進(jìn)而得到，結(jié)合含參函數(shù)，轉(zhuǎn)化為含參方程有解問(wèn)題，求導(dǎo)，可得答案.【詳解】由題意，可得，易知

8、，則，則在有解，求導(dǎo)得：，令，解得，可得下表：極大值則當(dāng)時(shí)，取得最大值為，無(wú)最小值，則的取值范圍為，故選：BC.三、填空題13已知的展開式中常數(shù)項(xiàng)為20，則_.【答案】【分析】寫出的展開式的通項(xiàng)公式，根據(jù)題意可得關(guān)于m的方程，解得答案.【詳解】由題意可得的展開式的通項(xiàng)公式為 ，故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，故的常數(shù)項(xiàng)為，解得，故答案為：14已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且.則數(shù)列_.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義與等差數(shù)列定義，可得答案.【詳解】是等比數(shù)列，且，公比，且，即；，解得，是等差數(shù)列，且，公差，且，故答案為：.15拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到的距離最小值記為，則滿足的所有實(shí)數(shù)的和為_.【答案】【

9、分析】設(shè)點(diǎn)，可得出，其中，令，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，解出的可能取值，即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，令，其中，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，整理可得，解得或；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，整理可得，因?yàn)椋獾?，因此，滿足條件的實(shí)數(shù)之和為.故答案為：.16如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，則過(guò)點(diǎn)且與垂直的平面截該三棱柱所得的截面面積的最大值為_.【答案】【分析】根據(jù)線線垂直，證明線面垂直，找到與垂直的平面，從而平面平面，由此能求出過(guò)點(diǎn)且與垂直的平面截該三棱柱所得的截面面積的最大值【詳解】取中點(diǎn)為，連接，交于，連接，因?yàn)槿庵侵比庵?，故平?平面，故平面平面

10、，且平面平面,因?yàn)?是中點(diǎn)，故平面,平面，平面,，平面,平面，平面平面，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，此時(shí)截面最大，進(jìn)而面積最大，此時(shí)面積為故答案為：四、解答題17已知.(1)若函數(shù)的最小正周期為，求的值及的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若時(shí)，方程恰好有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1)，單調(diào)遞減區(qū)間為：；(2).【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換可得，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即得；（2）由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而即得【詳解】(1)因?yàn)橐驗(yàn)樽钚≌芷?，又，所以，即令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)因?yàn)闀r(shí)，恰好有三個(gè)解，即恰好有三個(gè)解，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.182022年8月28日“山水

11、聯(lián)盟”高三開學(xué)考試，據(jù)統(tǒng)計(jì)共有6000名學(xué)生參加了聯(lián)考，其中男生共有3200名，女生共有2800名.為了解考試情況，對(duì)6000名學(xué)生采取分層抽樣的方式抽取60名學(xué)生調(diào)查數(shù)學(xué)成績(jī)，其中有29名男生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，有21名女生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀.(1)是否有的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？(2)在本次考試抽樣調(diào)查中從數(shù)學(xué)成績(jī)沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀的10人中隨機(jī)抽取兩人做進(jìn)一步追蹤調(diào)查，設(shè)抽到的女生人數(shù)為，求的概率分布列.參考公式：獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其中.臨界值表：【答案】(1)沒(méi)有的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)系(2)答案見解析【分析】（1）題中的數(shù)據(jù)列出二聯(lián)表，根據(jù)卡方的計(jì)算公式計(jì)算卡方值，與臨界

12、值進(jìn)行即可求解.（2）根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算，即可求解分布列.【詳解】(1)抽取男生數(shù)為，女生數(shù)為，根據(jù)列聯(lián)表：優(yōu)秀不優(yōu)秀合計(jì)男生29332女生21728合計(jì)501060可以求出，而沒(méi)有的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)系.(2)由題意可知：10名成績(jī)未達(dá)到優(yōu)秀的人中男生有3人，女生有7人，故，分布列為：01219如圖，四棱錐中，為正方形，為等腰直角三角形，且，平面平面，、分別為、中點(diǎn)(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）要證線面平行，只需在面內(nèi)找一線與已知線平行即可，連接，根據(jù)中位線即可得即可求證；（2）求線面角則可直接建立空間直角

13、坐標(biāo)系，寫出線向量和面的法向量，然后根據(jù)向量夾角公式求解即可.【詳解】(1)連接，是正方形，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，平面，平面，平面(2)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，則，取得，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為20已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，如果對(duì)于任意的恒有，求的最小值.【答案】(1)；(2)2【分析】（1）先由累乘法求出，再由退位相減法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（2）先求出，再由裂項(xiàng)相消法求和，進(jìn)而求得的范圍，即可求解.【詳解】(1)因?yàn)?，所以，由累乘法得，則，又，所以，當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)也符合，所以；(2)，

14、則，又對(duì)于任意的恒有，即的最小值為2.21如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為.一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和.（）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明；（）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）=1（）存在常數(shù)使得恒成立，【詳解】試題分析：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意知：，2a2c4(1)，所以a2，c2.又a2b2c2，因此b2.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.由題意設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1

15、(m0)，因?yàn)榈容S雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，所以m2，因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則k1，k2.因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線x2y24上，所以xy4.因此k1k21，即k1k21.(3)由于PF1的方程為yk1(x2)，將其代入橢圓方程得(2k1)x28kx8k80，顯然2k10，顯然0.由韋達(dá)定理得x1x2，x1x2.所以|AB|.同理可得|CD|.則，又k1k21，所以.故|AB|CD|AB|CD|.因此存在，使|AB|CD|AB|CD|恒成立【解析】本題考查了圓錐曲線方程的求法及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系點(diǎn)評(píng)：對(duì)于直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，往

16、往要聯(lián)立方程，同時(shí)結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解；而對(duì)于最值問(wèn)題，則可將該表達(dá)式用直線斜率k表示，然后根據(jù)題意將其進(jìn)行化簡(jiǎn)結(jié)合表達(dá)式的形式選取最值的計(jì)算方式22已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)，求函數(shù)的最大值；(3)若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，證明：.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、和三種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出函數(shù)的最大值；（3）利用分析法可得只需證，即證，令，只需證，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證.【詳解】(1)解：當(dāng)時(shí)，切線方程為：.(2)解：