新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第八章立體幾何初步課件

1、基本立體圖形第1課時棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征1.空間幾何體、多面體的概念（1）空間幾何體如果只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體。（2）一般地，由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點。多面體【思考】多面體怎樣分類？提示：（1）按多面體是否在任一面的同側(cè)關(guān)系分，可分為凸多面體（把一個多面體的任意一個面延展為平面，如果其余的各面都在這個平面的同一側(cè)）和凹多面體。我們所研究的多面體若不特別說明，都是指凸多面體。（2）多面體按圍成它的面的個數(shù)

2、分，可分為四面體、五面體、六面體2.棱柱（1）棱柱的結(jié)構(gòu)特征：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。在棱柱中，兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰的側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點。（2）棱柱的圖形表示：（3）棱柱的表示方法：如上圖所示的棱柱，可記為四棱柱ABCD-ABCD。【思考】棱柱具有哪些重要的特征？提示：（1）側(cè)棱互相平行且相等，側(cè)面都是平行四邊形。（2）兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形。3.棱錐（1）棱錐的結(jié)構(gòu)特征：有一個面是多邊形，其余各面都是

3、有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。這個多邊形面叫做棱錐的底面；有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱。（2）棱錐的圖形表示：（3）棱錐的表示方法：如上圖所示，該棱錐可表示為四棱錐S-ABCD?！舅伎肌坷忮F的結(jié)構(gòu)特征中應(yīng)注意什么？提示：對于棱錐要注意有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐，必須強調(diào)其余各面是共頂點的三角形。4.棱臺（1）棱臺的結(jié)構(gòu)特征：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺。原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面。（2）棱臺的圖形表示：（3）棱

4、臺的表示方法：如上圖所示的棱柱，可記為四棱臺ABCD-ABCD。【思考】棱臺具有哪些重要的特征？提示：棱臺的上下底面必須平行，各側(cè)棱延長后必相交于一點，否則不是棱臺?！舅仞B(yǎng)小測】1.思維辨析（對的打“”，錯的打“”）（1）棱柱的側(cè)面都是平行四邊形。（）（2）有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐。（）（3）正三棱錐也稱為正四面體。（）【解析】（1）。棱柱的兩個底面是全等的多邊形，側(cè)面是平行四邊形。（2）。其余各面都是有一個公共頂點的三角形。（3）。正四面體是正三棱錐，正三棱錐不一定是正四面體。2.下列關(guān)于棱柱的說法中正確的是（）A.棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊

5、形B.棱柱的一條側(cè)棱的長叫做棱柱的高C.棱柱的兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面D.棱柱的所有面中，至少有兩個面互相平行【解析】選D。由棱柱的定義，知A不正確，例如長方體；只有直棱柱才滿足選項B的條件，故B不正確；C不正確，例如正六棱柱的相對側(cè)面互相平行；D顯然正確。3.下面四個幾何體中，是棱臺的是（）【解析】選C。由棱臺的概念知側(cè)棱延長應(yīng)交于一點。4.面數(shù)最少的多面體有_個面?！窘馕觥棵鏀?shù)最少的多面體是四面體（三棱錐），有4個面。答案：4類型一棱柱的結(jié)構(gòu)特征【典例】1.下列說法中，正確的是（）A.棱柱中所有的側(cè)棱都相交于一點B.棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的底面C.棱柱的側(cè)面是平行四邊形，

6、而底面不是平行四邊形D.棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面是平行四邊形2.如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1。（1）這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？（2）用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號表示；如果不是，請說明理由。【思維引】根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征判斷。【解析】1.選D。A選項不符合棱柱的特點；B選項中，如圖，構(gòu)造四棱柱ABCD-A1B1C1D1，令四邊形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1平面DCC1D1，但這兩個面不能作為棱柱的底面；C選項中，如圖，底面ABCD可以是平行四邊形；D選項是棱柱的特點。2.（1）是棱柱，并且是四棱

7、柱，因為以長方體相對的兩個面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四條側(cè)棱互相平行，符合棱柱的定義。（2）截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1。【內(nèi)化悟】怎樣判斷棱柱的底面？提示：棱柱的底面，不是看到直觀圖“位置”上的上下底面，而是平行且全等的那兩個多邊形?！绢愵}通】棱柱結(jié)構(gòu)特征問題的解題策略1.有關(guān)棱柱概念辨析問題應(yīng)緊扣棱柱定義：兩個面互相平行；其余各面是四邊形；相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行。求解時，首先看是否有兩個面平行，再看是否滿足其他特征。2.多注意觀察一些實物模型和圖片便于反例排除。【習(xí)練破】1.下列幾何體是棱柱的有（）A.

8、5個B.4個C.3個D.2個【解析】選D。棱柱的結(jié)構(gòu)特征有三方面：有兩個面互相平行，其余各面是平行四邊形，這些平行四邊形面中，每相鄰兩個面的公共邊都互相平行。當一個幾何體同時滿足這三方面的結(jié)構(gòu)特征時，這個幾何體才是棱柱。很明顯，幾何體均不符合，僅有符合。2.下列關(guān)于棱柱的說法錯誤的是（）A.所有的棱柱兩個底面都平行B.所有的棱柱一定有兩個面互相平行，其余各面每相鄰兩個面的公共邊互相平行C.有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱D.棱柱至少有五個面【解析】選C。對于A，B，D，顯然是正確的；對于C，棱柱的定義是這樣的：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公

9、共邊都互相平行，由這些面圍成的幾何體叫做棱柱，顯然題中漏掉了“并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”這一條件，因此所圍成的幾何體不一定是棱柱。如圖所示的幾何體就不是棱柱，所以C錯誤。類型二棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征【典例】1.下列三種敘述，正確的有（）用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺；兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺。其中正確的有（）A.0個B.1個C.2個D.3個2.如圖在三棱臺ABC-ABC中，截去三棱錐A-ABC，則剩余部分是（）A.三棱錐B.四棱錐C.三棱柱D.三棱臺【思維引】根據(jù)棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征

10、判斷。【解析】1.選A。中的平面不一定平行于底面，故錯；可用反例去檢驗，如圖所示，側(cè)棱延長線不能相交于一點，故錯。2.選B。剩余部分為四棱錐A-BBCC。【內(nèi)化悟】棱臺能不能由棱錐截得？提示：能?！绢愵}通】判斷棱錐、棱臺形狀的兩個方法（1）舉反例法：結(jié)合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確。（2）直接法：棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點延長后相交于一點【習(xí)練破】下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法：棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形；棱錐的側(cè)面只能是三角形；棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐。其中正確說法的序號是_?！窘?/p>

11、析】正確，棱臺的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形；錯誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐。答案：類型三多面體的表面展開圖【典例】1.某同學(xué)制作了一個對面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個正方體禮品盒的平面展開圖應(yīng)該為（對面是相同的圖案）（）2.如圖是三個幾何體的平面展開圖，請問各是什么幾何體？【思維引】1.正方體的平面展開圖以其中一個面不動把其他面展開。2.常見幾何體的定義與結(jié)構(gòu)特征空間想象或動手制作平面展開圖進行實踐?！窘馕觥?.選A。由選項驗證可知選A。2.圖中，有5個平行四邊形，而且還有兩個全等的五邊形，符合棱柱特點；圖中，有5

12、個三角形，且具有共同的頂點，還有一個五邊形，符合棱錐特點；圖中，有3個梯形，且其腰的延長線交于一點，還有兩個相似的三角形，符合棱臺的特點。把平面展開圖還原為原幾何體，如圖所示：所以為五棱柱，為五棱錐，為三棱臺?！绢愵}通】多面體展開圖問題的解題策略（1）繪制展開圖：繪制多面體的平面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型。在解題過程中，常常給多面體的頂點標上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其平面展開圖。（2）由展開圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的平面展開圖，來判斷是由哪一個多面體展開的，則可把上述過程逆推。同一個幾何體的平面展開圖可能是不一樣

13、的，也就是說，一個多面體可有多個平面展開圖。【習(xí)練破】如圖所示，不是正四面體（各棱長都相等的三棱錐）的展開圖的是（）A.B.C.D.【解析】選C。可選擇陰影三角形作為底面進行折疊，發(fā)現(xiàn)可折成正四面體，不論選哪一個三角形作底面折疊都不能折成正四面體。第2課時圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征1.圓柱、圓錐、圓臺、球【思考】（1）圓柱、圓錐、圓臺都是旋轉(zhuǎn)體，它們在結(jié)構(gòu)上有哪些相同點和不同點？當?shù)酌姘l(fā)生變化時，它們能否互相轉(zhuǎn)化？提示：它們的相同點是：它們都是由平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的；不同點是：圓柱和圓臺有兩個底面，圓錐只有一個底面，圓柱的兩個底面是半徑相等的圓，圓臺的兩個底面是半徑不相等的圓；當

14、底面發(fā)生變化時，它們能相互轉(zhuǎn)化，即圓臺的上底面擴大，使上下底面全等，就是圓柱；圓臺的上底面縮為一個點就是圓錐。（2）球與球面有何區(qū)別？提示：球與球面是兩個完全不同的概念，球是指球面所圍成的空間，而球面只指球的表面部分；球是實心的，球面是空心的。2.組合體的結(jié)構(gòu)特征（1）定義：由簡單幾何體組合而成的幾何體。（2）基本形式：【思考】怎樣正確認識簡單組合體？提示：（1）準確理解簡單幾何體（柱、錐、臺、球）的結(jié)構(gòu)特征。（2）正確掌握簡單組合體構(gòu)成的兩種基本形式。（3）若用分割的方法，則需要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征恰當?shù)刈鞒鲚o助線（或面）。【素養(yǎng)小測】1.思維辨析（對的打“”，錯的打“”）（1）以直角三角形

15、的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐。（）（2）以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺。（）（3）用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺。（）【解析】（1）。應(yīng)以直角三角形的一條直角邊為軸。（2）。應(yīng)以直角梯形的垂直于底邊的腰為軸。（3）。應(yīng)是平面與圓錐底面平行時。2.圓錐的側(cè)面展開圖是（）A.三角形B.長方形C.正方形D.扇形【解析】選D。圓錐的側(cè)面展開圖是扇形。3.如圖所示的組合體的結(jié)構(gòu)特征是（）A.一個棱柱中截去一個棱柱B.一個棱柱中截去一個圓柱C.一個棱柱中截去一個棱錐D.一個棱柱中截去一個棱臺【解析】選C。由簡單組合體的基本形式可知，該組合體是一個棱柱中截去一個棱錐。類型一旋轉(zhuǎn)體

16、的結(jié)構(gòu)特征【典例】1.下列結(jié)論：在圓柱的上、下兩底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；在圓臺上、下兩底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；圓柱的任意兩條母線相互平行。其中正確的是（）A.B.C.D.2.下列說法中正確的是（）過球面上任意兩點只能作一個經(jīng)過球心的圓；以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，半圓的直徑叫做球的直徑；用不過球心的截面截球，球心和截面圓心的連線垂直于截面；球面上任意三點可能在一條直線上；球的半徑是連接球面上任意一點和球心的線段。A.B.C.D.【思維引】根據(jù)圓柱、圓錐、圓

17、臺以及球的定義及結(jié)構(gòu)特征進行判斷?！窘馕觥?.選D。所取的兩點與圓柱的軸OO的連線所構(gòu)成的四邊形不一定是矩形，若不是矩形，則與圓柱母線定義不符。若所取兩點連線的延長線不與軸交于一點，則不符合圓臺母線的定義。符合圓錐、圓柱母線的定義及性質(zhì)。2.選C。由球的結(jié)構(gòu)特征可知正確。【內(nèi)化悟】判斷簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征應(yīng)注意哪兩個方面的問題？提示：（1）明確由哪種平面圖形旋轉(zhuǎn)而成。（2）明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線?！绢愵}通】1.判斷旋轉(zhuǎn)體形狀的步驟（1）明確旋轉(zhuǎn)軸l。（2）確定平面圖形中各邊（通常是線段）與l的位置關(guān)系。（3）依據(jù)圓柱、圓錐、圓臺、球的定義和一些結(jié)論來確定形狀。2.與簡單旋轉(zhuǎn)體的截面有關(guān)的結(jié)論（1）

18、圓柱、圓錐、圓臺平行于底面的截面都是圓面。（2）圓柱、圓錐、圓臺的軸截面（即過旋轉(zhuǎn)軸的截面）分別是矩形、等腰三角形、等腰梯形?！玖?xí)練破】給出下列說法：圓柱的底面是圓面；經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；圓臺的任意兩條母線的延長線可能相交，也可能不相交；夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體。其中說法正確的是_。（填序號）【解析】正確，圓柱的底面是圓面；正確，如圖所示，經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；不正確，圓臺的母線延長，相交于一點；不正確，夾在圓柱兩個平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體。答案：類型二簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征【典例】1.將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋

19、轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括（）A.一個圓臺、兩個圓錐B.兩個圓柱、一個圓錐C.兩個圓臺、一個圓柱D.一個圓柱、兩個圓錐2.描述下列幾何體的結(jié)構(gòu)特征?！舅季S引】1.先將平面圖形割補成三角形、矩形，再旋轉(zhuǎn)識別幾何體。2.關(guān)鍵是弄清簡單組合體是由哪幾部分組成。【解析】1.選D。圖1是一個等腰梯形，CD為較長的底邊，以CD邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為一個組合體，如圖2，包括一個圓柱、兩個圓錐。2.題干圖所示的幾何體是由兩個圓臺拼接而成的組合體；題干圖所示的幾何體是由一個圓臺挖去一個圓錐得到的組合體；題干圖所示的幾何體是在一個圓柱中間挖去一個三棱柱后得到的組合體。【內(nèi)化悟】常見的簡單旋轉(zhuǎn)體有哪些

20、？提示：圓柱、圓錐、圓臺和球。【類題通】識別簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征的策略（1）組合體是由簡單幾何體拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔細觀察組合體的組成，結(jié)合柱、錐、臺、球的幾何結(jié)構(gòu)特征，對原組合體進行分割。（2）用分割法識別簡單組合體，則需要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征恰當?shù)刈鞒鲚o助線（或面），進而將幾何體“分拆”成幾個簡單的幾何體。【習(xí)練破】如圖，AB為圓弧BC所在圓的直徑，BAC=45。將這個平面圖形繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周，得到一個組合體，試說明這個組合體的結(jié)構(gòu)特征?！窘馕觥咳鐖D所示，這個組合體是由一個圓錐和一個半球體拼接而成的。類型三空間幾何體中的計算問題【典例】如圖所示，用一個平行于圓錐SO底

21、面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為116，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺OO的母線長?！舅季S引】過圓錐的軸作截面圖，利用三角形相似解決。【解析】設(shè)圓臺OO的母線長為l cm，由截得的圓臺上、下底面面積之比為116，可設(shè)截得的圓臺的上、下底面的半徑分別為r cm，4r cm，過軸SO作截面，如圖所示。則SOASOA，SA=3cm。所以 。所以 解得l=9，即圓臺OO的母線長為9cm?！绢愵}通】1.簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用（1）簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量。（2）在軸截面中解決簡單旋轉(zhuǎn)體問題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想。2.

22、與圓錐有關(guān)的截面問題的解決策略（1）畫出圓錐的軸截面。（2）在軸截面中借助直角三角形或三角形的相似關(guān)系建立高、母線長、底面圓的半徑長的等量關(guān)系，求解便可?！玖?xí)練破】有一根長為3 cm，底面半徑為1cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，求鐵絲的最短長度。【解析】把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD（如圖所示），由題意知BC=3 cm，AB=4 cm，點A與點C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度。AC= =5 cm，故鐵絲的最短長度為5 cm。謝 謝簡單幾何體的表面積與體積8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表

23、面積和體積1.棱柱、棱錐、棱臺的表面積棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的各個面的 。面積的和【思考】棱柱、棱錐、棱臺的表面積與其展開圖的面積是否也都相等？提示：是。棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是幾何體表面的面積，它表示幾何體表面的大小。常把多面體展開成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積。2.棱柱、棱錐、棱臺的體積棱柱：棱柱的底面面積為S，高為h，則 。棱錐：棱錐的底面面積為S，高為h，則_。棱臺：棱臺的上、下底面面積分別為S、S，高為h，則_。V=Sh【思考】棱柱、棱錐、棱臺的體積之間有什么關(guān)系？提示：棱柱、棱錐、棱臺的體積之間的關(guān)系可以理解為：【素養(yǎng)小測】1.思維辨析（對的打“”，錯的

24、打“”）（1）錐體的體積等于底面面積與高之積。（）（2）棱臺的側(cè)面展開圖是由若干個等腰梯形組成的。（）（3）沿不同的棱將多面體展開，得到的展開圖相同，表面積相等。（）【解析】（1）。錐體的體積等于底面積與高之積的 。（2）。棱臺的側(cè)面展開圖是由若干個梯形組成的，不一定是等腰梯形。（3）。由于剪開的棱不同，同一個幾何體的表面展開圖可能不相同。但是，不論怎么剪，同一個多面體表面展開圖的面積是一樣的。2.正方體的表面積為96，則正方體的體積為（）A.48 B.64C.16D.96【解析】選B。設(shè)正方體的棱長為a，則6a2=96，所以a=4。所以其體積V=a3=43=64。3.已知某長方體同一頂點上的

25、三條棱長分別為1，2，3，則該長方體的表面積為（）A.22B.20C.10D.11【解析】選A。所求長方體的表面積S=2（12）+2（13）+2（23）=22。4.若長方體的長、寬、高分別為3cm、4cm、5cm，則長方體的體積為（）A.27cm3B.60cm3C.64cm3D.125cm3【解析】選B。長方體即為四棱柱，其體積為底面積高，即為345=60（cm3）。類型一棱柱、棱錐、棱臺的表面積【典例】1.側(cè)面都是等腰直角三角形的正三棱錐，底面邊長為a時，該三棱錐的表面積是（）2.現(xiàn)有一個底面是菱形的直四棱柱，它的體對角線長為9和15，高是5，求該直四棱柱的表面積。【思維引】分別求出各個面的

26、面積，表面積等于各個面的面積之和?！窘馕觥?.選A。設(shè)正三棱錐的側(cè)棱長為b，則由條件知，b2+b2=a2，即b2= a2，所以S表= 2.如圖，設(shè)底面對角線AC=a，BD=b，交點為O，對角線A1C=15，B1D=9，所以a2+52=152，b2+52=92所以a2=200，b2=56。所以a=10 ，b=2 ，因為該直四棱柱的底面是菱形，所以AB2= =64，所以AB=8。所以直四棱柱的側(cè)面積S側(cè)=485=160。又因為四邊形ABCD為菱形，所以S菱形= ACBD= 10 2 =20 ，所以S表=2S菱形+S側(cè)=220 +160=40 +160?！緝?nèi)化悟】怎樣求多面體的表面積？提示：多面體的

27、表面積就是各個面的面積之和，也可以先求出側(cè)面展開圖面積，再分別求上、下底面的面積，再求總的表面積。【類題通】棱錐或棱臺的表面積計算常借助側(cè)面三角形或梯形的高、側(cè)棱及其在底面的射影與高、底面邊長等構(gòu)成的直角三角形（或梯形）求解。【習(xí)練破】已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為4和8的正方形，側(cè)面是腰長為8的等腰梯形，則該四棱臺的表面積為_。【解析】如圖，在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，過B1作B1FBC，垂足為F，在RtB1FB中，BF= （8-4）=2，B1B=8，故B1F=所以 （8+4）2 =12 ，故四棱臺的側(cè)面積S側(cè)=412 =48 ，所以S表=48 +44+88=80+48 。答案

28、：80+48 類型二棱柱、棱錐、棱臺的體積【典例】如圖所示，在長方體ABCD-ABCD中，用截面截下一個棱錐C-ADD，求棱錐C-ADD的體積與剩余部分的體積之比?！舅季S引】先求出棱錐的體積，再求得剩余部分的體積，最后求得體積之比?！窘馕觥糠椒ㄒ唬涸O(shè)AB=a，AD=b，DD=c，則長方體ABCD-ABCD的體積V=abc，又SADD= bc且三棱錐C-ADD的高為CD=a。所以V三棱錐C-ADD= SADDCD= abc。則剩余部分的幾何體體積V剩=abc- abc= abc。故V棱錐C-ADDV剩= abc abc=15。方法二：已知長方體可以看成側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ADDA-BCCB，設(shè)

29、它的底面ADDA面積為S，高為h，則它的體積為V=Sh。而棱錐C-ADD的底面面積為 S，高為h，因此棱錐C-ADD的體積VC-ADD= Sh= Sh。剩余部分的體積是Sh- Sh= Sh。所以棱錐C-ADD的體積與剩余部分的體積之比為 Sh Sh=15?！緝?nèi)化悟】怎樣求幾何體的體積？提示：求幾何體的體積，關(guān)鍵是弄清該幾何體是柱體，錐體還是臺體，再分別選擇公式求解。【類題通】常見的求幾何體體積的方法（1）公式法：直接代入公式求解。（2）等積法：如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可。（3）分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積?！玖?xí)練破】如圖所示，正方

30、體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，過頂點B，D，A1截下一個三棱錐，則剩余部分的體積為_?！窘馕觥?SABDA1A= a2a= a3。故剩余部分的體積V=V正方體- =a3- = a3。答案： a3類型三棱柱、棱錐、棱臺的表面積、體積的綜合應(yīng)用角度1等積變換法求體積【典例】如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E為線段B1C上的一點，則三棱錐A-DED1的體積為_。【思維引】把三棱錐A-DED1轉(zhuǎn)換為三棱錐E-DD1A，底面為直角三角形DAD1，高為正方體的棱長。【解析】答案：【素養(yǎng)探】等積轉(zhuǎn)換法是求錐體體積的常用方法，特別是當題目中某些點是不固定的點時，常用等積轉(zhuǎn)換固定

31、一個面，再進行求值。在解題過程中主要考查直觀想象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。把本例改為：如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，求三棱錐D1-EDF的體積?！窘馕觥拷嵌?等體積法求點到面的距離【典例】如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，求點A到平面A1BD的距離d?！舅季S引】先求出三棱錐A-BDA1的體積，再求出三角形BDA1的面積，再根據(jù)等體積法求點到平面的距離。【解析】在三棱錐A1-ABD中，AA1平面ABD，AB=AD=AA1=a，A1B=BD=A1D= a，因為 所以 所以d= a。所以點A到平面A1BD的距離為 a?！绢?/p>

32、題通】利用等體積法求點到面的距離，一般是先選擇適當?shù)捻旤c求出錐體的體積，再改變頂點，求題目給出平面的面積，再用等體積法求點到面的距離?！玖?xí)練破】已知正四棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱長為5，則此棱錐的側(cè)面積為（）A.6B.12C.24D.48【解析】選D。正四棱錐的斜高h= =4，S側(cè)=4 64=48。8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積1.圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式【思考】圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式之間有什么關(guān)系？提示：圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式之間的關(guān)系：S圓柱側(cè)=2rl S圓臺側(cè)=（r+r）l S圓錐側(cè)=rl。2.圓柱、圓錐、圓臺的體積公式柱體的體積公式V=Sh（S為底面面積，h

33、為高）；錐體的體積公式V= Sh（S為底面面積，h為高）；臺體的體積公式V= （S+ +S）h?！舅伎肌繄A柱、圓錐、圓臺的體積公式之間有什么關(guān)系？提示：柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系：V=Sh V= （S+ +S）h V= Sh。3.球的表面積和體積公式設(shè)球的半徑為R，則球的表面積S=4R2，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍。球的體積V= R3?！舅伎肌咳绾卫斫?、把握球的表面積、體積公式？提示：把握住球的表面積公式S球=4R2，球的體積公式V球= R3是計算球的表面積和體積的關(guān)鍵，半徑與球心是確定球的條件。把握住公式，球的體積與表面積計算的相關(guān)題目也就迎刃而解了?！舅仞B(yǎng)小測】1.思維辨

34、析（對的打“”，錯的打“”）（1）球的體積之比等于半徑比的平方。（）（2）長方體既有外接球又有內(nèi)切球。（）（3）球面展開一定是平面的圓面。（）（4）圓臺的高就是相應(yīng)母線的長。（）【解析】（1）。球的體積之比等于半徑比的立方。（2）。長方體只有外接球，沒有內(nèi)切球。（3）。球的表面不能展開成平面圖形。（4）。圓臺的高是指兩個底面之間的距離。2.兩個球的半徑之比為13，那么兩個球的表面積之比為（）A.19B.127C.13D.11【解析】選A。由表面積公式知，兩球的表面積之比為 =19。3.已知一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，這個圓柱的表面積與側(cè)面積的比是（）【解析】選A。設(shè)圓柱底面半徑、母線長分

35、別為r，l，由題意知l=2r，S側(cè)=l2=42r2。S表=S側(cè)+2r2=42r2+2r2=2r2（2+1），4.圓錐的母線長為5，底面半徑為3，則其體積為（）A.15B.30C.12D.36【解析】選C。設(shè)圓錐的高為h，如圖，則h= 所以其體積V= Sh= 324=12。類型一圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積【典例】1.已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A.12 B.12C.8 D.102.若球的過球心的截面圓的周長是C，則這個球的表面積是（）A.B.C.D.2C23.已知某圓錐的底面半徑為8，高為6，則該圓

36、錐的表面積為_?！舅季S引】1.根據(jù)條件畫出圖形，根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖求出圓柱的底面半徑。2.根據(jù)已知大圓周長求出大圓半徑即球的半徑，再求球的表面積。3.根據(jù)圓錐的底面半徑和高求出圓錐的母線長?！窘馕觥?.選B。因為過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2 ，底面圓的直徑為2 ，所以該圓柱的表面積為2（ ）2+2 2 =12。2.選C。由題意知大圓的半徑即球的半徑，設(shè)為R，由2R=C，得R= ，所以S球面=4R2= 。3.由題意，得該圓錐的母線長l= =10，所以該圓錐的側(cè)面積為810=80，底面積為82=64，所以該圓錐的表面積為80+64=144。答案：14

37、4【內(nèi)化悟】怎樣求圓柱、圓錐、圓臺的表面積？提示：求圓柱、圓錐、圓臺的表面積，關(guān)鍵是求出底面圓的半徑，圓柱、圓錐、圓臺的高及母線長?！绢愵}通】1.圓柱、圓錐、圓臺的表面積的求解步驟：解決圓柱、圓錐、圓臺的表面積問題，要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸截面及側(cè)面展開圖，借助平面幾何知識，求得所需幾何要素，代入公式求解即可，基本步驟如下：（1）得到空間幾何體的平面展開圖。（2）依次求出各個平面圖形的面積。（3）將各平面圖形的面積相加。2.球的表面積的求法要求球的表面積，關(guān)鍵是知道半徑R或者通過條件能求出半徑R，然后代入球的表面積公式求解?！玖?xí)練破】1.過球一條半徑的中點，作一垂直于這個半徑的截面，截面面積為48

38、cm2，則球的表面積為_cm2。【解析】易知截面為一圓面，如圖所示，圓O是球的過已知半徑的大圓，AB是截面圓的直徑，作OC垂直AB于點C，連接OA。由截面面積為48 cm2，可得AC=4 cm。設(shè)OA=R cm，則OC= R cm，所以R2- =（4 ）2，解得R=8。故球的表面積S=4R2=256（cm2）。答案：2562.如圖所示，已知直角梯形ABCD，BCAD，ABC=90，AB=5cm，BC=16cm，AD=4cm。求以BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積?！窘馕觥恳訠C所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是圓柱和圓錐的組合體，如圖所示：其中圓錐的高為16-4=12（cm），圓柱的母線

39、長為AD=4cm，故該幾何體的表面積為254+52+513=130（cm2）。類型二圓柱、圓錐、圓臺、球的體積【典例】1.圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側(cè)面積是16 ，則圓錐的體積是（）A. B. C.64D.128 2.棱臺的上、下底面面積分別是2，4，高為3，則該棱臺的體積是（）A.18+6 B.6+2 C.24D.183.用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為（）【思維引】1.先由側(cè)面積求出圓錐的底面半徑和高，再求體積。2.直接利用公式求體積即可。3.根據(jù)與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為，先求出小圓的半徑，再求球的半徑，進而求出球的體積?！窘馕觥?.選A

40、。設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，因為圓錐的軸截面是等腰直角三角形，所以2r= 即l= r，由題意得，側(cè)面積S側(cè)=rl= r2=16 ，所以r=4。所以l=4 ，高h= =4。所以圓錐的體積V= Sh= 424= 。2.選B。V= （S+ +S）h= （2+ +4）3=6+2 。3.選D。設(shè)截面圓的半徑為r，則r2=，故r=1，由勾股定理求得球的半徑為 ，所以球的體積為 【內(nèi)化悟】如何利用圓柱、圓錐、圓臺的體積公式巧解題？提示：利用圓柱、圓錐、圓臺的體積公式解題時，首先要記準、記清公式，根據(jù)題目給出的已知條件求出底面半徑和幾何體的高，再利用公式求解即可?！绢愵}通】求幾何體體積的常用方法（1）

41、公式法：直接代入公式求解。（2）等積法：例如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可。（3）補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，棱臺補成棱錐等。（4）分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積?！玖?xí)練破】1.若一個圓錐的軸截面（過圓錐頂點和底面直徑的截面）是面積為 的等邊三角形，則該圓錐的體積為（）【解析】選B。設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則圓錐的高為 r。由題意，得 （2r）2= ，得r=1，所以該圓錐的體積V= 12 = 。2.已知RtABC中，C=90，分別以AC，BC，AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得三個幾何體的體積分別為V1，V2，V。求證：

42、【證明】如圖，設(shè)AC=b，BC=a，作CHAB于H，則AB= 。由射影定理，得AH= BH= ，CH2=AHBH= 三個幾何體分別是兩個圓錐和組合體（有公共底面的圓錐組合體），依題意，得V1= S1h1= a2b，V2= S2h2= b2a，V= CH2AB所以 類型三與球有關(guān)的切、接問題【典例】1.將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為（）2.長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為_?！舅季S引】1.把正方體削成一個體積最大的球，該球是正方體的內(nèi)切球，球的直徑就是正方體的棱長。2.球是長方體的外接球，球的直徑是長方體的體對角線?！窘馕觥?/p>

43、1.選A。球的直徑是正方體的棱長，所以2R=2，R=1。所以V= R3= 。2.球的直徑是長方體的體對角線，所以2R= S=4R2=14。答案：14【類題通】球的切接問題處理策略及常用結(jié)論（1）在處理與球有關(guān)的相接、相切問題時，一般要通過作一適當?shù)慕孛?，將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決，而這類截面往往指的是圓錐的軸截面、球的大圓等。（2）幾個常用結(jié)論球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑；球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑；球與棱錐相切，則可利用V棱錐= S底

44、h= S表R，求球的半徑R?！玖?xí)練破】1.棱長為2的正方體的各個頂點均在同一球面上，求此球的體積。【解析】正方體的外接球直徑等于正方體的體對角線長，即2R= ，所以R= ，所以V球= （ ）3=4 。2.棱長為a的正四面體的各個頂點都在半徑為R的球面上，求其外接球的表面積?！窘馕觥堪颜拿骟w放在正方體中，設(shè)正方體棱長為x，則a= x，由題意2R= 所以R= a，所以S球=4R2= a2。3.三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長分別為2a，a，a，求其外接球的表面積和體積?！窘馕觥恳匀忮F的三條側(cè)棱為長方體從一頂點出發(fā)的三條棱，將三棱錐補成長方體，則該長方體的外接球即為三棱錐的外接球，其球的直徑等于

45、長方體的體對角線長，故2R=R= a，所以S球=4R2=6a2，V球=謝 謝空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系8.4.1平面1.平面的概念幾何里所說的“ ”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的。幾何里的平面是無限延展的。平面【思考】幾何中的平面有什么特點？提示：（1）平面是平的。（2）平面是沒有厚度的。（3）平面是無限延展而沒有邊界的。2.平面的畫法（1）水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，它的銳角通常畫成45，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍。如圖。（2）如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出來。如圖。3.平面的表示法如圖的平面可表示為平面、平面

46、ABCD、平面AC或者平面BD。4.點、線、面之間的關(guān)系（1）直線在平面內(nèi)的概念：如果直線l上的所有點都在平面內(nèi)，就說直線l在平面內(nèi)，或者說平面經(jīng)過直線l。（2）直線、平面都可以看成點的集合。點P在直線l上，記作Pl；點P在直線l外，記作Pl；點P在平面內(nèi)，記作P；點P在平面外，記作P；直線l在平面內(nèi)，記作l；直線l在平面外，記作l?！舅伎肌恐本€和平面都是由點組成的，聯(lián)系集合的觀點，點和直線、平面的位置關(guān)系，如何用符號來表示？直線和平面呢？答案：點和直線、平面的位置關(guān)系可用數(shù)字符號“”或“”表示，直線和平面的位置關(guān)系，可用數(shù)學(xué)符號“”或“”表示。5.平面的基本事實及推論基本事實內(nèi)容圖形符號基本

47、事實1過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面 A，B，C三點不共線存在唯一的平面使A，B，C基本事實內(nèi)容圖形符號基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi) Al，Bl，且A，Bl基本事實內(nèi)容圖形符號基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P，P=l，且Pl推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面（圖）。推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面（圖）。推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面（圖）?！舅伎肌咳齻€基本事實各有什么作用？提示：基本事實1：確定平面。基本事實2：確定直線在平面內(nèi)?；臼聦?：確定兩個平

48、面相交，確定三點共線、三線共點?！舅仞B(yǎng)小測】1.思維辨析（對的打“”，錯的打“”）（1）一條直線和一個點可以確定一個平面。（）（2）四邊形是平面圖形。（）（3）兩條相交直線可以確定一個平面。（）【解析】（1）。一條直線和直線外一個點可以確定一個平面。（2）。四邊形不一定是平面圖形。（3）。兩條相交直線可以確定一個平面。2.如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為（）A.平面MNB.平面NQC.平面D.平面MNPQ【解析】選A。表示平面不能用一條線段的兩個端點表示，但可以表示為平面MP。3.已知與是兩個不重合的平面，則下列推理正確個數(shù)是_。Al，A，Bl，BlA，A，B，B=ABl，AlA

49、Al，lA【解析】由基本事實2知，正確；由基本事實3知，正確；若l=A，顯然有l(wèi)，Al，但是A，錯誤；正確。答案：3類型一文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化【典例】1.點P在直線a上，直線a在平面內(nèi)可記為（）A.Pa，aB.Pa，aC.Pa，aD.Pa，a2.用符號表示下列語句，并畫出圖形。（1）平面與相交于直線l，直線a與，分別相交于點A，B。（2）點A，B在平面內(nèi)，直線a與平面交于點C，點C不在直線AB上?！舅季S引】解決本例的關(guān)鍵是，要正確理解立體幾何中表示點、線、面之間位置關(guān)系的符號“”，“”，“”，“”，“”的意義?！窘馕觥窟xA。2.（1）用符號表示：=l，a=A，a=B，如圖。（

50、2）用符號表示：A，B，a=C，CAB，如圖?！緝?nèi)化悟】根據(jù)題目給出符號語言作圖時，要注意哪些問題？提示：根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意分清點線面之間的關(guān)系，作圖時要注意實線和虛線的區(qū)別?！绢愵}通】三種語言的轉(zhuǎn)換方法（1）用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示。（2）要注意符號語言的意義。如點與直線的位置關(guān)系只能用“”或“”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“”或“”?！玖?xí)練破】根據(jù)下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形。（1）A，B。（2）l，m=A，Al。（3

51、）Pl，P，Ql，Q。【解析】（1）點A在平面內(nèi)，點B不在平面內(nèi)。（2）直線l在平面內(nèi)，直線m與平面相交于點A，且點A不在直線l上。（3）直線l經(jīng)過平面外一點P和平面內(nèi)一點Q。圖形分別如圖，所示。類型二點、線共面問題【典例】證明：兩兩相交且不過同一點的三條直線在同一平面內(nèi)?！舅季S引】證明多線共面，一般先選取兩條直線構(gòu)造一個平面，然后證明其他直線都在這個平面內(nèi)?！窘馕觥恳阎喝鐖D所示，l1l2=A，l2l3=B，l1l3=C。求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)?！咀C明】方法一（納入法）：因為l1l2=A，所以l1和l2確定一個平面。因為l2l3=B，所以Bl2。又因為l2，所以B。同理可證C

52、。又因為Bl3，Cl3，所以l3。所以直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)。方法二（重合法）：因為l1l2=A，所以l1、l2確定一個平面。因為l2l3=B，所以l2、l3確定一個平面。因為Al2，l2，所以A。因為Al2，l2，所以A。同理可證B，B，C，C。所以不共線的三個點A、B、C既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)。所以平面和重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)。【內(nèi)化悟】在該例中，如何確定一個平面，確定平面的理論依據(jù)是什么？如何判斷一條直線在平面內(nèi)，理論依據(jù)是什么？提示：確定平面，可以根據(jù)基本事實1或三個推論，在本例中，確定平面的依據(jù)是推論2；判斷一條直線在平面內(nèi)，關(guān)鍵是找到這條直線上的兩個點在

53、這個平面內(nèi)，理論依據(jù)是基本事實2?！绢愵}通】證明直線共面常用的方法（1）納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線也在這個平面內(nèi)。（2）重合法：先說明一些直線在一個平面內(nèi)，另一些直線也在另一個平面內(nèi)，再證明兩個平面重合?！玖?xí)練破】下列說法正確的是（）任意三點確定一個平面；圓上的三點確定一個平面；任意四點確定一個平面；兩條平行線確定一個平面。A.B.C.D.【解析】選C。不共線的三點確定一個平面，所以錯；圓上的三點一定不共線，所以可以確定一個平面，對；如果四點共線，無法確定平面，所以錯；根據(jù)推論3，兩條平行線確定一個平面，所以對。類型三點共線、線共點問題角度1三點共線問題【典例】如圖，E，

54、F，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點，且直線EH與直線FG交于點O。求證：B，D，O三點共線?！舅季S引】先證O平面ABD以及O平面BCD，從而O平面ABD平面BCD，又平面ABD平面BCD=BD，從而OBD，得證B，D，O共線?！咀C明】因為EAB，HAD，所以E平面ABD，H平面ABD。所以EH平面ABD。因為EHFG=O，所以O(shè)平面ABD。同理O平面BCD，即O平面ABD平面BCD，所以O(shè)BD，即B，D，O三點共線。【素養(yǎng)探】證明三點共線問題時，常用到邏輯推理的核心素養(yǎng)。若把本例改為：已知ABC在平面外，其三邊所在的直線滿足AB=P，BC=Q，AC=R，如圖所示

55、。求證：P，Q，R三點共線。【證明】因為APAR=A，所以直線AP與直線AR確定平面APR。又因為AB=P，AC=R，所以平面APR平面=PR。因為B平面APR，C平面APR，所以BC平面APR。因為QBC，所以Q平面APR，又Q，所以QPR，所以P，Q，R三點共線。角度2三線共點問題【典例】如圖，在四面體ABCD中，E，G分別為BC，AB的中點，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DFFC=DHHA=23，求證：EF，GH，BD交于一點。【思維引】EF，GH交于一點BD經(jīng)過EF與GH交點EF、GH、BD共點?！咀C明】如圖可知，平面ABD平面BCD=BD。易知FHAC且FH= AC，GEAC且GE=

56、AC，所以FHGE且GH，EF交于點O。因為GH平面ABD，OGH。所以O(shè)平面ABD。因為EF平面BCD，OEF。所以O(shè)平面BCD，因為平面ABD平面BCD=BD，所以O(shè)BD。所以EF，GH，BD交于一點。【類題通】證明三線共點常用的方法（1）先說明兩條直線共面且交于一點，然后說明這個點在兩個平面內(nèi)。于是該點在這兩個平面的交線上，從而得到三線共點。（2）也可以說明a，b相交于一點A，b與c相交于一點B，再說明A，B是同一點，從而得到a，b，c三線共點。注意：證明線共點主要利用基本事實1，基本事實3作為推理的依據(jù)。【習(xí)練破】如圖所示，已知E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱A

57、B，BC，CC1，C1D1的中點。求證：FE，HG，DC三線共點?！咀C明】如圖所示，連接C1B，GF，HE，由題意知HC1EB，且HC1=EB，所以四邊形HC1BE是平行四邊形，所以HEC1B。又C1G=GC，CF=BF，所以GFC1B，且GF= C1B。所以GFHE，且GFHE，所以HG與EF相交。設(shè)交點為K，所以KHG，HG平面D1C1CD，所以K平面D1C1CD。因為KEF，EF平面ABCD，所以K平面ABCD，因為平面D1C1CD平面ABCD=DC，所以KDC，所以EF，HG，DC三線共點。8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系1.異面直線（1）定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線

58、。（2）異面直線的畫法。2.空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系特點相交同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點平行同一平面內(nèi)，沒有公共點異面直線不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點【思考】分別在不同平面內(nèi)的兩條直線是異面直線嗎？提示：不一定。分別在兩個平面內(nèi)的直線，既可以是平行直線，也可以是相交直線，還可以是異面直線。3.直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面內(nèi)直線a在平面外直線a與平面相交直線a與平面平行公共點無數(shù)個公共點一個公共點沒有公共點位置關(guān)系直線a在平面內(nèi)直線a在平面外直線a與平面相交直線a與平面平行符號表示aa=Aa圖形表示【思考】可以根據(jù)公共點的個數(shù)判斷直線與平面的位置關(guān)系嗎？提示：可以，0個公

59、共點時，直線與平面交行；1個公共點時，直線與平面相交；多個公共點時，直線在平面內(nèi)。4.兩個平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點沒有公共點有無數(shù)個公共點（在一條直線上）符號表示=l圖形表示【思考】判斷平面與平面相交時的理論依據(jù)是什么？提示：判斷平面與平面相交時的理論依據(jù)是基本事實3：如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線?！舅仞B(yǎng)小測】1.思維辨析（對的打“”，錯的打“”）（1）兩條直線無公共點，則這兩條直線平行。（）（2）過平面外一點與平面內(nèi)一點的連線，與平面內(nèi)的任意一條直線均構(gòu)成異面直線。（）（3）若直線與平面不相交，則直線與平面平行。（）（4）過一

60、點有且只有一條直線與已知直線平行。（）【解析】（1）。空間兩直線無公共點，則可能平行，也可能異面。（2）。過平面外一點與平面內(nèi)一點的連線，和平面內(nèi)過該點的直線是相交直線。（3）。若直線與平面不相交，則直線在平面內(nèi)或直線與平面平行。（4）。當點在已知直線上時，不存在過該點的直線與已知直線平行。2.一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是（）A.平行或異面B.相交或異面C.異面D.相交【解析】選B。一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條相交或異面。3.已知平面平面，若P，Q是，之間的兩個點，則（）A.過P，Q的平面一定與，都相交B.過P，Q有且僅有一個平面與，都平行C