量子力學中的Hilbert空間

1、I三量子力學中的Hilbert空間羅XX(XX大學物理科學學院XX級光X班)摘要解偏微分時，需要解本征值方程，常用的方法是級數(shù)法。這時需要有一個函 數(shù)空間，其軸是一組正交完備系。由一組正交完備的基底通過線性疊加組成方程 的解。本征解既是在一個具體表象(固定坐標軸)中只有一個軸表示。這個空間 叫做希爾伯特空間。Hilbert空間、態(tài)、態(tài)矢量、表象引言在量子力學的研究中用到了 Hilbert空間來描述微觀系統(tǒng)的態(tài)空間，為研究 帶來了理論基礎(chǔ)及方便。一、對Hilbert空間的描述在數(shù)學領(lǐng)域，希爾伯特空間是歐幾里德空間的一個推廣，其不再局限于有限 維的情形。與歐幾里德空間相仿，希爾伯特空間也是一個內(nèi)積

2、空間，其上有距離 和角的概念(及由此引伸而來的正交性與垂直性的概念)。此外，希爾伯特空間 還是一個完備的空間，其上所有的柯西列等價于收斂列，從而微積分中的大部分 概念都可以無障礙地推廣到希爾伯特空間中。希爾伯特空間為基于任意正交系上 的多項式表示的傅立葉級數(shù)和傅立葉變換提供了一種有效的表述方式，而這也是 泛函分析的核心概念之一。希爾伯特空間是公式化數(shù)學和量子力學的關(guān)鍵性概念 之一。1二、量子力學中對Hilbert空間的描述同一個態(tài)可以在不同的表象中用波函數(shù)來描述，所取的表象不同，波函數(shù)的 形式也不同，但他們描寫同一個態(tài)。這和幾何中一個矢量可以在不同的坐標系中 描寫類似。矢量A可以在直角笛卡爾坐

3、標中用三個分量(A A A)來描寫，也可 以在球極坐標中用三個分量(ArAe A來描寫等等。在量子力學中，我們可以 把狀態(tài)甲看成是一個矢量態(tài)矢*。選取一個特定的Q表象，就相當選取一個 特定的坐標系。Q的本征函數(shù)u (x)u (x)u (x)u (x) 是這個表象的基123n矢。這相當于直角坐標系中單位矢量i,j,k。波函數(shù)(a(t)a2(t) )是 態(tài)矢量甲在Q表象中沿各基矢方向的“分量”。正如A沿i；j,k三個方向的分量是(AxAyAz)一樣i,j,k是三個相互獨立的方向，說明A所在的空間是普通三維 空間。量子力學中Q的本征函數(shù)u1(x)u2(x)u3(x) u (x) 有無限多， 所以態(tài)矢

4、量所在的空間是無限維的函數(shù)空間：這種空間在數(shù)學中稱為Hilbert 空間。2三、為何要引進Hilbert空間來描述態(tài)矢量所在空間與經(jīng)典力學不同，量子力學中用波函數(shù)來描述微觀粒子的運動。所以在量子 力學中也用不同于經(jīng)典力學的方法來表示力學量，即用算符來表示微觀粒子的力 學量。而量子力學中算符有其自己的性質(zhì)：算符都是線性算符，算符有厄米性。 所以量子力學中也稱算符為厄米算符，且厄米算符的本征函數(shù)構(gòu)成了正交、歸一、 完備系。3在量子力學中，算符可以用矩陣表示，公式可以用矩陣表述。矩陣 本身可以看成是一個級數(shù)組成的空間。而且一個粒子的態(tài)是又很多個態(tài)疊加而成 的。量子力學的態(tài)空間是一個完備的線性內(nèi)積空間

5、。在量子力學的研究中，常常 要得到一個本征函數(shù)的本征值，且本征函數(shù)往往都是一個偏微分方程。在解偏微 分時，需要解本征值方程，常用的方法是級數(shù)法。這時需要有一個函數(shù)空間，其 軸是一組正交完備系。由一組正交完備的基底通過線性疊加組成方程的解。本征 解既是在一個具體表象(固定坐標軸)中只有一個軸表示。這個空間叫做希爾伯 特空間。量子力學之所以選擇Hilbert空間作為描述微觀系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)空間， 是由態(tài)函數(shù)的性質(zhì)決定的，量子力學使用的數(shù)學工具主要是泛函分析。4所以 在量子力學中引入Hilbert空間是非常必要的。結(jié)束語在量子力學中引入Hilbert空間方便了對量子力學問題的研究，量子力學也 給Hilbert空間理論很好的物理應用空間。參考文獻1百度百科：Hilbert空間。 HYPERLINK /view/310495.html /view/310495.html2周世勛著，