排列組合與概率論初步

1、第六章 排列組合與概率論初步第六章 排列組合與概率論初步內(nèi)容:6.1排列組合6.2隨機(jī)實(shí)驗(yàn)、樣本空間和隨機(jī)事件6.3事件的概率6.4條件概率6.5獨(dú)立性6.6貝努力(Bernoulli)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ头祷厣弦豁撓乱豁撏顺?.1排列組合加法原理 如果完成一件事情有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，第二類辦法中有m2種方法，第n類辦法中有mn種方法，那么完成這件事總共有m1m2mn 種不同的方法 1.兩個(gè)基本原理返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合例6.1.1 從甲地到乙地,可以乘火車,也可以乘汽車,還可以乘輪船.一天中,火車有4班,汽車有2班,輪船有3班.那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多

2、少種不同方法?解:從甲地到乙地有3類方法:第一類,乘火車,有4種方法;第二類,乘汽車,有2種方法;第三類,乘輪船,有3種方法.所以,共有4+2+3=9種方法.1.兩個(gè)基本原理返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合乘法原理 如果完成一件事情有n個(gè)步驟，在第一個(gè)步驟中有m1種方法，第二個(gè)步驟中有m2種方法，在第n個(gè)步驟中有mn種方法，那么完成這件事總共有m1m2mn 種不同的方法 1.兩個(gè)基本原理返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合例6.1.2 甲乙兩個(gè)盒子分別裝有10只小球和8只小球,小球的顏色互不相同,求:(1)從甲乙兩個(gè)盒子中任取一個(gè)小球,有多少種不同的取法?(2)從甲乙兩個(gè)盒子中各取一個(gè)小球,有

3、多少種不同的取法?1.兩個(gè)基本原理返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合解:(1)從甲乙兩個(gè)盒子中任取一個(gè)小球,有兩類方法:第一類是從甲盒中任取一個(gè),有10種方法;第二類是從乙盒中任取一個(gè),有8種方法.根據(jù)加法原理,取法共有:10+8=18(種).(2)從甲乙兩個(gè)盒子中各取一個(gè)小球,可以分兩步完成:第一步,從甲盒中任取一個(gè),有10種取法;第二步,從乙盒中任取一個(gè),有8種取法.根據(jù)乘法原理,取法種數(shù)有:108=80(種).1.兩個(gè)基本原理返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合排列定義6.1.1從n個(gè)不同的元素中，任取m (mn)個(gè)不同的元素，按照一定的順序排成一列，稱為從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的一

4、個(gè)排列 排列數(shù)定義6.1.2 從n個(gè)不同的元素中取出m (mn)個(gè)元素的所有不同的排列個(gè)數(shù)稱為排列數(shù)記作 .2.排列返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合排列數(shù)公式特別地,從n個(gè)不同元素中任取n個(gè)元素的排列稱為全排列.2.排列返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合那么有2.排列返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合例6.1.3 解方程2.排列解: 由已知得返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合2.排列解:由題可得:返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合例6.1.4 證明2.排列證明:返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合2.排列證明:返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合2.排列證明:由(1)的結(jié)論得返回上一頁下一頁習(xí)題

5、6.1排列組合例6.1.5用五面不同顏色的旗，按不同的次序掛在旗桿上表示信號(hào)，可以單用一面、二面或三面,一共可以得到幾種不同的信號(hào)?解:用一面旗作信號(hào)有 種，用二面旗作信號(hào)有 種，用三面旗作信號(hào)有 種.于是所求信號(hào)總數(shù)是 2.排列返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合例6.1.6 用0,1,2,3,4,5,6組成滿足下列條件的數(shù)各有多少?(1)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù);(2)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)偶數(shù);(3)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)且能被5整除;(4)個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的四位數(shù).解(1)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),0不能作首位,所以首位選法有 種,其它三位可以從剩下的62.排列返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合個(gè)數(shù)中任

6、選,有 種.所以,總共有 種.(2)當(dāng)首位為奇數(shù)時(shí),有 種,末位有 種,所以,組成的四位偶數(shù)有 種;當(dāng)首位為偶數(shù)時(shí)首位不為0,有 種,末位在其它三個(gè)偶數(shù)中選,有 種,所以,組成的四位偶數(shù)有種.因此,可選個(gè)數(shù)為(3)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)且能被5整除,0不能作首位,末位只能從0,5中選.當(dāng)首位為5時(shí),末位2.排列返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合只能為0,所以,有 種;當(dāng)首位不為5時(shí),選法為 種.因此共有種. (4)首位不為0,有 種,末兩位數(shù)字從余下的數(shù)中選,對(duì)于選出的數(shù)個(gè)位大于十位的幾率相等,所以末兩位的選法有 種.因此,共有 2.排列返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合例6.1.7 4名女生和3

7、名男生站成一排,求(1)甲站在中間的不同排法有多少種?(2)甲乙二人不能站在兩端的排法有多少種?(3)男生不相鄰的排法有多少種?解(1)甲的位置確定,排法有 種 (2)甲乙可以排在中間5個(gè)不同的位置,其余的人排在剩下的位置,排法共有 種2.排列返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合(3)先排女生,有 種,然后在4名女生的三個(gè)間隔及兩端共5個(gè)位置排男生,有 種排法.所以,共有 種.2.排列返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合組合定義6.1.3從n個(gè)不同的元素中,任取m(mn)個(gè)不同的元素,不管順序并成一組,稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合 .組合數(shù)定義6.1.4從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的

8、所有不同的組合種數(shù),稱為組合數(shù),記作 3.組合返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合組合數(shù)公式3.組合返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)23.組合例6.1.8 計(jì)算解:返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合3.組合返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合例6.1.9 證明證明:3.組合返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合例6.1.10 在產(chǎn)品檢驗(yàn)時(shí),常從產(chǎn)品中抽出一部分進(jìn)行檢查.現(xiàn)在從50件產(chǎn)品中任意抽出3件:一共有多少種不同的抽法?(2) 如果50件產(chǎn)品中有2件次品,抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?(3) 如果50件產(chǎn)品中有2件次品,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少

9、種? 3.組合返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合解:(1) 所求的不同抽法的種數(shù),就是從50件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)即一共有19600種抽法.(2)從2件次品中抽出1件的抽法有 種,從48件合格品中抽出2件的抽法有 種,因此抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法種數(shù)是 3.組合返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合(3)從50件產(chǎn)品抽出的3件中至少有1件是次品的抽法,就是包括1件是次品的和2件是次品的抽法.而1件是次品的抽法有 種,2件是次品的抽法有 種,因此,至少有1件是次品的抽法的種數(shù)為 3.組合返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合例6.1.11由13個(gè)人組成的課外活動(dòng)小組,其中5個(gè)只會(huì)跳舞,5個(gè)只

10、會(huì)唱歌,3個(gè)人既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞,若從中選出4個(gè)會(huì)跳舞和4個(gè)會(huì)唱歌的人去表演節(jié)目,共有多少種不同的選法?解:此題從既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的3人進(jìn)行分類.第一類:若3人都不參加,共有 種;第二類:若3人都跳舞或都唱歌,共有 種3.組合返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合第三類:若3人中有2人跳舞或都唱歌,共有種第四類:若3人中有1人跳舞或都唱歌,共有種第五類:若3人中有2人跳舞第3人唱歌或有2人唱歌第3人跳舞,共有 種3.組合返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合第六類:若3人中有1人跳舞1人唱歌,共有種由分類計(jì)數(shù)原理得不同選法有:所以,共有1875種不同選法.3.組合返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合例6.

11、1.12 從4個(gè)男同學(xué)和5個(gè)女同學(xué)里選出2個(gè)男同學(xué)和2個(gè)女同學(xué)分別擔(dān)任班長(zhǎng)、團(tuán)支書、學(xué)習(xí)委員、組織委員,一共有多少種不同的選法? 解:從4個(gè)男同學(xué)中選出2個(gè)男同學(xué)的方法有 種;從5個(gè)女同學(xué)中選出2個(gè)女同學(xué)的方法有 種;對(duì)所選出的4個(gè)同學(xué)進(jìn)行分工的方法有 種3.組合返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合因此不同的選法一共有例6.1.13有6本不同的書：分成3堆,一堆3本,一堆2本,一堆1本,有多少種分法?(2) 等分成3堆,有多少種分法?(3)把(2)中的兩堆書再分給甲乙丙3人,有多少種分發(fā)?3.組合返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合解:(1) 從6本書中取3本書有 種方法,從剩下的3本書中取2本的

12、方法是 種,最后,從1 本中取1本的分發(fā)有 .即所求分法是(2)等分3堆,每堆2本,先取2本,再取2本,最后取2本的分發(fā)有 ;由于等分,不分順序,所以有 種重復(fù).所以分發(fā)有 3.組合返回上一頁下一頁習(xí)題6.1排列組合(3)把(2)中的3堆書分給甲乙丙3人,有 種分發(fā).所以,分發(fā)有3.組合返回上一頁下一頁習(xí)題6.2 隨機(jī)實(shí)驗(yàn)、樣本空間和隨機(jī)事件概率論中討論具有如下特點(diǎn)的試驗(yàn):(1)在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行;(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事先明確試驗(yàn)的所有結(jié)果;(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.具有上述3個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱之為隨機(jī)試驗(yàn),常用E表示.1.隨機(jī)實(shí)驗(yàn)返回上一頁下一頁習(xí)題

13、6.2 隨機(jī)實(shí)驗(yàn)、樣本空間和隨機(jī)事件拋一枚硬幣,觀察正面H,反面T出現(xiàn)的情況.將一枚硬幣拋3次,觀察正面H,反面T出現(xiàn)的情況.將一枚硬幣拋3次,觀察出現(xiàn)正面的次數(shù).拋一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).記錄某尋呼臺(tái)一晝夜接到的尋呼次數(shù).從一批電腦中,任取一臺(tái)觀察無故障運(yùn)行時(shí)間.1.隨機(jī)實(shí)驗(yàn)返回上一頁下一頁習(xí)題6.2 隨機(jī)實(shí)驗(yàn)、樣本空間和隨機(jī)事件我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間,記為 , 中的元素即E的每個(gè)結(jié)果.稱為樣本點(diǎn),記為例6.2.1給出6.2.1中的隨機(jī)試驗(yàn) 的樣本空間.解: 2.樣本空間返回上一頁下一頁習(xí)題6.2 隨機(jī)實(shí)驗(yàn)、樣本空間和隨機(jī)事件2.樣本空間注意:樣本空間的元

14、素有試驗(yàn)的目的所決定.返回上一頁下一頁習(xí)題6.2 隨機(jī)實(shí)驗(yàn)、樣本空間和隨機(jī)事件我們稱試驗(yàn)E的樣本空間 的子集為E的隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件.一般用大寫字母A,B,C等表示.隨機(jī)事件的兩個(gè)極端:(1)必然事件:每次試驗(yàn)中它總是發(fā)生.(2)不可能事件:每次試驗(yàn)中它總不發(fā)生.3.隨機(jī)事件返回上一頁下一頁習(xí)題6.2 隨機(jī)實(shí)驗(yàn)、樣本空間和隨機(jī)事件事件是一集合,因此,事件間的關(guān)系與運(yùn)算可以按集合之間的關(guān)系與運(yùn)算來處理.事件間的關(guān)系4. 事件間的關(guān)系與運(yùn)算返回上一頁下一頁習(xí)題6.2 隨機(jī)實(shí)驗(yàn)、樣本空間和隨機(jī)事件4. 事件間的關(guān)系與運(yùn)算(2)事件的和返回上一頁下一頁習(xí)題6.2 隨機(jī)實(shí)驗(yàn)、樣本空間和隨機(jī)事件(3)事件

15、的積4. 事件間的關(guān)系與運(yùn)算返回上一頁下一頁習(xí)題6.2 隨機(jī)實(shí)驗(yàn)、樣本空間和隨機(jī)事件(4)事件的差(5)互不相容事件(6)對(duì)立事件4. 事件間的關(guān)系與運(yùn)算返回上一頁下一頁習(xí)題6.2 隨機(jī)實(shí)驗(yàn)、樣本空間和隨機(jī)事件4. 事件間的關(guān)系與運(yùn)算事件的運(yùn)算設(shè)A,B,C為事件,則有:返回上一頁下一頁習(xí)題6.2 隨機(jī)實(shí)驗(yàn)、樣本空間和隨機(jī)事件4. 事件間的關(guān)系與運(yùn)算返回上一頁下一頁習(xí)題6.2 隨機(jī)實(shí)驗(yàn)、樣本空間和隨機(jī)事件例6.2.24. 事件間的關(guān)系與運(yùn)算返回上一頁下一頁習(xí)題6.2 隨機(jī)實(shí)驗(yàn)、樣本空間和隨機(jī)事件例6.2.34. 事件間的關(guān)系與運(yùn)算解:返回上一頁下一頁習(xí)題6.3 事件的概率定義6.3.1 1. 頻

16、率的定義返回上一頁下一頁習(xí)題6.3 事件的概率定義6.3.2 我們把事件A的頻率的穩(wěn)定值定義為A的概率,記為P(A),這一定義稱為概率的統(tǒng)計(jì)定義.性質(zhì):2. 概率的定義返回上一頁下一頁習(xí)題6.3 事件的概率等可能概型(古典概型)一類隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn):(1)試驗(yàn)的樣本空間中只有有限個(gè)元素.(2)試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.這類隨機(jī)試驗(yàn)我們稱為等可能概型古典也稱概型定義6.3.32. 概率的定義返回上一頁下一頁習(xí)題6.3 事件的概率例6.3.12. 概率的定義解:返回上一頁下一頁習(xí)題6.3 事件的概率例6.3.2 在100件產(chǎn)品中,有65件合格品,5件次品,從中任取2件,計(jì)算:(1)2件都是

17、合格品的概率;(2)2件都是次品的概率;(3)1件是合格品1件是次品的概率.解:2. 概率的定義返回上一頁下一頁習(xí)題6.3 事件的概率2. 概率的定義返回上一頁下一頁習(xí)題6.3 事件的概率例6.3.3 一只袋中裝有8只球,其中5只白球,3只紅球,從袋中取球,每次隨機(jī)的取一只.考慮兩種取球方式(1)一次取一只球,觀察其顏色后放回,攪勻后再取一球,這種取球方式叫放回抽樣.(2)一次取一只球不放回袋中,下一次從剩余的球中再取一球.這種取球方式叫不放回抽樣.分別考慮上面兩種情況求:(1)取到的三只球都是白球的概率.(2)取到的三只球有兩白球一紅球的概率.2. 概率的定義返回上一頁下一頁習(xí)題6.3 事件

18、的概率解:令A(yù),B分別表示事件“取到的三只球都是白球”，“取到的三只球有兩白球一紅球”.(1)放回抽樣的情況:在袋中取3球,每次都有8只球可抽取.共有種取法,即樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)有 .A中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)有 ,B中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2. 概率的定義返回上一頁下一頁習(xí)題6.3 事件的概率(2)不放回抽樣樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù) ,A中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ,B中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為2. 概率的定義返回上一頁下一頁習(xí)題6.3 事件的概率例6.3.4 設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有D件次品,現(xiàn)從中任取n件,問其中恰有 件次品的概率是多少?解:令A(yù)為“從N件產(chǎn)品中取k件次品”,從N件產(chǎn)品中取n件,樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)為 ,A中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)

19、為 ,于是2. 概率的定義返回上一頁下一頁習(xí)題6.3 事件的概率例6.3.5解:2. 概率的定義返回上一頁下一頁習(xí)題6.3 事件的概率2. 概率的定義返回上一頁下一頁習(xí)題6.3 事件的概率例6.3.6 從0,1,2,9十個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)不同數(shù)字,求3個(gè)數(shù)字中不含0或5的概率.解:2. 概率的定義返回上一頁下一頁習(xí)題6.3 事件的概率對(duì)立事件的概率如果兩個(gè)互不相容事件A,B中必有一個(gè)發(fā)生,且只有一個(gè)發(fā)生,則稱A與B互為對(duì)立事件.有以下等式成立:例6/3/7 在30件產(chǎn)品中,有15件一級(jí)品,15件二級(jí)品.從中任取3件,其中至少有1件為二級(jí)品的概率是多少?2. 概率的定義返回上一頁下一頁習(xí)題6.3

20、事件的概率解:2. 概率的定義返回上一頁下一頁習(xí)題6.4 條件概率在“已知事件B發(fā)生”的條件下,事件A發(fā)生的概率.記為P(A|B).例6.4.1 將一枚硬幣拋兩次,設(shè)事件A為“兩次出現(xiàn)同一面”,事件B為“至少有一次為反面T”,求已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率.解:1. 條件概率的定義返回上一頁下一頁習(xí)題6.4 條件概率定義6.4.1例6.4.2 一盒中混有100只新舊乒乓球,各有紅白兩色,分類如下表示,隨機(jī)抽取一只,取得的若是紅球,求該球?yàn)樾虑虻母怕?1. 條件概率的定義紅白新4030舊2010返回上一頁下一頁習(xí)題6.4 條件概率解:設(shè)事件A為“從盒中隨機(jī)取到一只新球”,B為“從盒中隨

21、機(jī)取到一只紅球”例6.4.3 甲乙兩市位于長(zhǎng)江下游,根據(jù)100多年的記錄知,一年中雨天的比例,甲市為20%,乙市為18%,兩市同時(shí)下雨為12%.求1. 條件概率的定義返回上一頁下一頁習(xí)題6.4 條件概率(1)乙市下雨時(shí)甲市也下雨的概率;(2)甲乙兩市至少一市下雨的概率.解:分別用A,B表示事件“甲市下雨”和“乙市下雨”,由題可得1. 條件概率的定義返回上一頁下一頁習(xí)題6.4 條件概率概率的乘法公式:推廣:2. 乘法公式返回上一頁下一頁習(xí)題6.4 條件概率例6.4.4 n張彩票中有一張中獎(jiǎng)票,(1)已知前面k-1個(gè)人沒摸到中獎(jiǎng)票,求第k個(gè)人摸到的概率;(2)求第k個(gè)人摸到的概率.解(1)是在條件

22、“前面k-1個(gè)人沒摸到”下的條件概率,(2)是無條件概率,設(shè)2. 乘法公式返回上一頁下一頁習(xí)題6.4 條件概率2. 乘法公式返回上一頁下一頁習(xí)題6.5 獨(dú)立性定義6.5.1 設(shè)A,B是兩事件,如果滿足等式則稱事件A,B相互獨(dú)立.定理6.5.1 設(shè)A,B是兩事件,且P(B)0.若A,B相互獨(dú)立,則P(A|B)=P(A),反之亦然.定理6.5.2 若事件A,B相互獨(dú)立,則下列事件也相互獨(dú)立:返回上一頁下一頁習(xí)題6.5 獨(dú)立性證明:只證明第一個(gè).返回上一頁下一頁習(xí)題6.5 獨(dú)立性推廣:返回上一頁下一頁習(xí)題6.5 獨(dú)立性例6.5.1 同時(shí)拋兩個(gè)均勻的正四面體一次,每一個(gè)四面體的面分別標(biāo)有1,2,3,4

23、.令A(yù)為事件“第一個(gè)四面體出現(xiàn)偶數(shù)”,B為事件“第二個(gè)四面體出現(xiàn)奇數(shù)”,C為事件“兩個(gè)四面體同時(shí)出現(xiàn)偶數(shù)或同時(shí)出現(xiàn)奇數(shù)”,驗(yàn)證A,B,C的獨(dú)立性.解:由已知得,這是古典概型,有返回上一頁下一頁習(xí)題6.5 獨(dú)立性返回上一頁下一頁習(xí)題6.5 獨(dú)立性例6.5.2 甲乙兩人各進(jìn)行一次射擊,如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.4,求兩人都擊中目標(biāo)的概率.解:設(shè)A表示事件“甲射擊一次,擊中目標(biāo)”,B表示事件“乙射擊一次,擊中目標(biāo)”.所以,所求事件是AB,根據(jù)題意,A與B相互獨(dú)立.返回上一頁下一頁習(xí)題6.5 獨(dú)立性例6.5.3 有一名射手,平均每射5發(fā)子彈能命中4發(fā)子彈,求:(1)連射n發(fā)子彈都未命中的概率;(2)要使至少能命中1發(fā)子彈的概率達(dá)到0.99以上,需要射多少發(fā)子彈.解返回上一頁下一頁習(xí)題6.5 獨(dú)立性(2)設(shè)要使至少能命中1發(fā)子彈的概率達(dá)到0.99以上,需要射n發(fā)子彈返回上一頁下一頁習(xí)題6.5 獨(dú)立性例6.5.4 在一個(gè)系統(tǒng)中元件能正常工作的概率稱為元件的可靠度.如圖,有4個(gè)獨(dú)立工作的元件構(gòu)成一個(gè)串并聯(lián)系統(tǒng),且每個(gè)元件的可靠度為s,求此系統(tǒng)的可靠度.解:1234返回上一頁下一頁習(xí)題6.5 獨(dú)立性返回上一頁下一頁習(xí)題6.5 獨(dú)立性例6.5.5 3個(gè)人獨(dú)立破譯一