抽象代數(shù)期末考試試卷及答案

1、 抽象代數(shù)試題一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選多選或未選均無分。1、6階有限群的任何子群一定不是()。A、2階B、3階C、4階D、6階2、設G是群，6有()個元素，則不能肯定G是交換群。A、4個B、5個C、6個D、7個3、有限布爾代數(shù)的元素的個數(shù)一定等于()。A、偶數(shù)B、奇數(shù)C、4的倍數(shù)D、2的正整數(shù)次冪4、下列哪個偏序集構(gòu)成有界格()A、(N,)B.(Z,)C、(2,3,4,6,12,|(整除關系)D、(P(A),)5、設S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132

2、),那么，在S3中可以與(123)交換的所有元素有()A、(1),(123),(132)B、12),(13),(23)C、(1),(123)D、S3中的所有元素二、填空題(本大題共10小題,每空3分,共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。TOC o 1-5 h z1、群的單位元是的,每個元素的逆元素是的。2、如果f是A與A間的一一映射，a是A的一個元，則/-1f(a)L。3、區(qū)間1,2上的運算ab=mina,b的單位元是。4、可換群G中|a|=6,|x|=&貝U|ax|二。5、環(huán)Z的零因子有。86、一個子群H的右、左陪集的個數(shù)。7、從同構(gòu)的觀點,每個群只能同構(gòu)于他/它自己

3、的。8、無零因子環(huán)R中所有非零元的共同的加法階數(shù)稱為R的。9、設群G中元素a的階為m，如果an=e，那么m與n存在整除關系為三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、用2種顏色的珠子做成有5顆珠子項鏈，問可做出多少種不同的項鏈？2、S,S是A的子環(huán)，則SOS也是子環(huán)。S+S也是子環(huán)嗎?1212123、設有置換*(1345)(1245),t=(234)(456),S&求5和t-1a；確定置換aT和t-1a的奇偶性。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、一個除環(huán)R只有兩個理想就是零理想和單位理想。2、M為含幺半群，證明b二a-i的充分必要條件是aba

4、二a和abza二e。近世代數(shù)模擬試題三參考答案一、單項選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空題（本大題共10小題，每空3分，共30分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1、唯一、唯一；2、a；3、2；4、24；5、玄彳忑；6、相等；7、商群；8、特征;cmn9、；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、解在學群論前我們沒有一般的方法，只能用枚舉法。用筆在紙上畫一下，用黑白兩種珠子，分類進行計算：例如，全

5、白只1種，四白一黑1種，三白二黑2種，等等，可得總共8種。2、證由上題子環(huán)的充分必要條件，要證對任意a,bGS1GS2有a-b,ab$S1GS2：因為S1，S2是A的子環(huán)，故a-b,abeS1和a-b,ab$S2，因而a-b,abGS1GS2，所以S1GS2是子環(huán)。S1+S2不一定是子環(huán)。在矩陣環(huán)中很容易找到反例：3、解：1.，（1243）（56），1“（16524）；2.兩個都是偶置換。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分,共25分）1、證明：假定是R的一個理想而不是零理想，那么a0e，由理想的定義am=1訂，因而R的任意元方=b1*這就是說=R，證畢。2、證必要性：將b

6、代入即可得。充分性：利用結(jié)合律作以下運算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以b二a-1。一判斷題(每小題2分,共20分)實數(shù)集R關于數(shù)的乘法成群.()若H是群G的一個非空有限子集，且a,beH都有abeH成立，則H是G的一個子群.()3.循環(huán)群一定是交換群.4.素數(shù)階循環(huán)群是單群.()5.設G是有限群，aeG，n是a的階，若ak，e,則n1k.()6.設f是群G到群G的同態(tài)映射，H是G的子群，則f(H)是G的子群.()7.交換群的子群是正規(guī)子群.()8.1g|設G是有限群，H是G的子群，則GH，-.HIHI()9

7、.有限域的特征是合數(shù).()10.整數(shù)環(huán)Z的全部理想為形如nZ的理想.()二選擇題(每小題3分,共15分)11.下面的代數(shù)系統(tǒng)(G,*)中，()不是群.A.G為整數(shù)集合，*為加法；B.G為偶數(shù)集合，*為加法；C.G為有理數(shù)集合，*為加法；D.G為整數(shù)集合，*為乘法.12.設H是G的子群，且G有左陪集分類H,aH,bH,cH如果H的階為6,那么G的階G|，()A.6；B.24；C.10；D.12.13.14.15三1617.18.1920.四21.22.五設S=（1）,（12）,（13）,（23）,（123）,（132）,則S中與元（123）不能交換的元的個數(shù)33是A.1；B.2；C.3；D.4.

8、從同構(gòu)的觀點看,循環(huán)群有且只有兩種,分別是（）A.G=（a）與G的子群；B.整數(shù)加法群與模n的剩余類的加法群；C.變換群與置換群；D.有理數(shù)加法群與模n的剩余類的加法群.TOC o 1-5 h z整數(shù)環(huán)Z中，可逆元的個數(shù)是（）。A.1個B.2個C.4個D.無限個填空題（每小題3分,共15分）如果G是全體非零有理數(shù)的集合，對于普通乘法來說作成一個群，則這個群的單位元是.n次對稱群S的階是.n整數(shù)加法群Z關于子群nZ的陪集為.設N是G的正規(guī)子群，商群gn中的單位元是若R是交換環(huán)，aR則主理想（a）=,計算題（第21小題8分,第22小題12分，共20分）令P=623544532123456、2315

9、64丿6、J，計算P6-1-設H=（1）,（123）,（132）是3次對稱群S的子群，求H的所有左陪集和右陪集，并說3明H是否是S的正規(guī)子群.3證明題（每題10分,共30分）23.設G是群，H是G的子群，證明：aG，則aHa-1也是子群24.設G是群，H是G的正規(guī)子群.G關于H的陪集的集合為Gh，gHIgG，證明：G/H對于陪集的乘法成為一個群，稱為G對H的商群.25.證明：域F上全體nxn矩陣的集合M（F在矩陣的加法和乘法下成為環(huán).n一判斷題（每小題2分,共20分）1-10XXVVVVVVXV二選擇題（每小題3分,共15分）11.D；12.B；13.C；14.B；15.B.三填空題（每小題3

10、分,共15分）16.1；17.n!；18.tnZ,nZ+1,nZ+19.N；20.aR.四.計算下列各題（第21小題8分，第22小題12分，共20分）21.解：1234554621-4分8分,123456)-11312645丿22.解：H的所有左陪集為H(1),(123),(132)， # #(12)H(12),(13),(23)；4分 #H的所有右陪集為H(1),(123),(132),H(12)=(,(13),(23).TOC o 1-5 h z對gS,有H=H,即H是正規(guī)子群.-12分五證明題(每題10分,共30分)23.證明：因為H是G的子群，對任意x,ygH，有xy-1gH.4分由題意，對任意x,ygH，有axa-1,ay-1a-1gaHa-1，從而10分(axa-JCy-1a-1)=axy-1a-1gaHa-1，即aHa-1也是子群.24證明：首先GH對于上述乘法是封閉的，且乘法滿足結(jié)合律.3分陪集H=eH是它的單位元，eHgH=egH=gH,gg