固體物理學A市公開課獲獎課件

1、第一章 晶體結構1.1 晶格1.2 對稱性和布拉維格子分類1.3 幾種常見晶體結構1.4 倒格子和布里淵區(qū)1.5 晶體結構試驗擬定參考： 閻守勝固體物理基礎第二章 黃昆、韓汝琦固體物理學第一章 Kittel 固體物理導論一、二章.03固態(tài)電子論A(1)第1頁第1頁晶體形態(tài)六角相綠玉單斜相石膏三角相石英非晶琥珀晶體含有規(guī)則外形，明顯宏觀對稱性，遵守晶面角守恒定律。存在特定解理面。晶體上述特點給出了晶體中原子含有周期性排列線索。 1830年Bravais提出用晶體點陣來表述晶體中原子周期排列方式，成為固體理論基礎。.03固態(tài)電子論A(1)第2頁第2頁切點切點最后被切開石膏沿特定方向被切開。這一過程

2、被稱為解理，容易被切開面被稱為解理面。離子晶體沿特定方向被解理示意圖。.03固態(tài)電子論A(1)第3頁第3頁一. 什么是晶格？ X光衍射證實，晶體外形對稱性是其構成原子在空間做有規(guī)律周期性排列結果。 為了更加好地觀測、描述晶體內部原子排列方式，我們把晶體中按周期重復排列那一部分原子（結構單元）抽象成一個幾何點來表示，忽略重復周期中所包括詳細結構單元內容而集中反應周期重復方式，這個從晶體結構中抽象出來幾何點集合稱之為晶體點陣，簡稱晶格（crystal lattice）。1.1 晶格（Crystal lattice）.03固態(tài)電子論A(1)第4頁第4頁 晶體結構 晶體點陣 基元 二維正方點陣 點陣學

3、說最早在1848年由Bravais提出，因此晶體點陣又稱布拉菲格子（ Bravais lattice ），也叫空間格點（Space lattice ）。Auguste Bravais (1811-1863).03固態(tài)電子論A(1)第5頁第5頁描述晶體表面原子排列二維長方點陣.03固態(tài)電子論A(1)第6頁第6頁Po ：a = 3.34， （1010 m）晶體點陣實例： 剛性單原子正方堆積結合成元素晶體： 二維情況能夠用正方點陣表示其周期排列方式。 三維情況能夠用簡立方點陣表示其周期排列方式， 含有簡立方周期排列元素晶體只有釙（Po）。.03固態(tài)電子論A(1)第7頁第7頁CsCl結構中原子排列 簡

4、立方點陣 CsCl.03固態(tài)電子論A(1)第8頁第8頁 除去元素晶體外，很多化合物晶體原子也都含有這種周期排列方式，都能夠用簡立方點陣表示。比如：CsCl 等，只是此時基元不是一個原子，而是CsCl分子，和CsCl晶體相同結構化合物還有很多，它們原子排列方式完全相同，只是原子之間距離不同罷了。CsCl：4.1110-10 m ; CuZn：2.9410-10 m ; AlNi： 2.88 LiHg：3.29AgMg：3.29 TlBr： 3.97.03固態(tài)電子論A(1)第9頁第9頁晶體結構 晶體點陣 結構基元反應原子周期排列方式反應周期排列內容能夠是一個原子能夠是一個分子能夠是一組原子能夠是分

5、子集團它是等同點集合，反應是抱負、無限大、沒有缺點晶體中，原子排列情況。是抓住晶體關鍵特點后一個高度概括，將在晶體理論中起到極其主要作用。.03固態(tài)電子論A(1)第10頁第10頁思考： 二維蜂房端點構成陣列是點陣嗎？.03固態(tài)電子論A(1)第11頁第11頁原胞和基矢 既然點陣是等同點集合，我們只要繪出一個點陣最小周期單元（一個陣點及相應空間）即可，這個最小周期重復單元稱作點陣原胞（Primitive cell ）。 二維點陣原胞是平行四邊形，三維點陣原胞是平行六面體。 以原胞邊長為點陣基矢構成平移矢量，能夠把原胞復制滿空間。 .03固態(tài)電子論A(1)第12頁第12頁二維點陣基矢和原胞 a1a1

6、a1a1a2 a2 a2 a2 這是一個二維簡樸斜方點陣，原胞和基矢選取都不是唯一，但一定有相同面積。普通我們選為代表該點陣原胞，稱作斜方點陣。.03固態(tài)電子論A(1)第13頁第13頁另一原則選取法：Wigner-Seitz原胞以格點為中心，取和近鄰格點連線垂直平分線（面）圍成面積（體積）為原胞。這種選取辦法是唯一，一個點陣相應一個形式 Wigner-Seitz原胞。.03固態(tài)電子論A(1)第14頁第14頁 a1a2二維正方點陣原胞選取a2a2a1a1.03固態(tài)電子論A(1)第15頁第15頁 三維點陣原胞是一個平行六面體，簡立方點陣原胞通常選取一個簡立方體代表。a3a2a1ra1a2a3晶胞參

7、量定義.03固態(tài)電子論A(1)第16頁第16頁三. 晶體點陣（布拉維格子）數(shù)學表示布拉維格子（ Bravais lattice）能夠當作是矢量所代表所有點集合。n1、n2、n3取整數(shù),這樣定義表明：晶體點陣是無限大。是三個不共面矢量，稱為布拉維格子基矢（Primitive vector）。稱為布拉維格子格矢，其端點稱為格點（Lattice site）。.03固態(tài)電子論A(1)第17頁第17頁原胞參量： 原胞（Primitive cell）是晶體中最小周期性重復單元。原胞常取以基矢為棱邊平行六面體，體積為： 原則上，原胞能夠有各種取法，只要是晶體最小重復單元即可。但無論如何選取，原胞都有相同體積

8、，每個原胞只含有一個格點。為了統(tǒng)一期間，人們商定成俗地為每種點陣要求了代表該點陣慣用晶胞，它能夠是原胞，它也能夠是原胞整倍數(shù)。.03固態(tài)電子論A(1)第18頁第18頁 原胞也稱初基晶胞，或固體物理原胞，求解固體性質，只需要在一個原胞內進行即可。比如已知原胞內距端點 r 處某種性質，則通過格矢平移后所有 r位置處性質都是相同。這里，我們充足地利用了晶體中原子做周期性排列特點，給求解晶體性質帶來了極大簡化。.03固態(tài)電子論A(1)第19頁第19頁幾種慣用詞理解：Cell 晶胞Primitive cell 原胞(初基晶胞）Wigner-Seitz primitive cell 維格納塞茨原胞Non-

9、primitive cell 非初基晶胞Conventional cell 慣用晶胞 慣用晶胞是人們商定能夠反應點陣對稱性特點單位，它也許是點陣一個原胞，也也許是非初基晶胞，但體積一定是原胞整數(shù)倍。.03固態(tài)電子論A(1)第20頁第20頁四. 點陣類型：商定使用慣用晶胞表示點陣類型.03固態(tài)電子論A(1)第21頁第21頁正方點陣六角點陣簡樸長方點陣有心長方點陣.03固態(tài)電子論A(1)第22頁第22頁.03固態(tài)電子論A(1)第23頁第23頁.03固態(tài)電子論A(1)第24頁第24頁.03固態(tài)電子論A(1)第25頁第25頁.03固態(tài)電子論A(1)第26頁第26頁表示點陣類型慣用晶胞選取方法：盡也許選

10、取高次對稱軸為晶軸方向。晶胞外形盡也許反應點陣對稱性。獨立晶胞參量最少，并盡也許使晶軸夾角為直角。在滿足上述標準前提下盡也許選取原胞作慣用晶胞。 慣用晶胞參量：三個邊長及三個邊夾角： .03固態(tài)電子論A(1)第27頁第27頁小結：晶體點陣（布拉菲格子）晶體點陣是一個無限延展點陣，點陣內所有陣點完全等價。晶體點陣是等價點集合。2. 晶體點陣代表了晶體最本征特性，即：晶體含有平移對稱性。3. 晶體點陣是晶體原子周期排列方式高度概括和近似描述，一個點陣也許代表了許各種晶體原子周期排列方式。4. 能夠證實：二維空間存在著 5 種點陣類型；三維空間存在著14種點陣類型。.03固態(tài)電子論A(1)第28頁第

11、28頁五. 晶體點陣實例： 1. 剛性原子正方排列,層間交錯而排，原子排列周期性能夠用體心立方點陣表示。.03固態(tài)電子論A(1)第29頁第29頁體心立方點陣簡立方點陣按簡立方點陣排列，單原子晶體原子最近鄰數(shù)（配位數(shù)）是 6；按體心立方點陣排列，單原子晶體原子最近鄰是8。.03固態(tài)電子論A(1)第30頁第30頁 含有體心立方點陣排列元素晶體有： Li,Na,K,Rb,Cs,Ba,Cr,Nb,Ta,W 等，它們原子空間排列方式都相同，只是原子間距有所不同。比如：Li： a=3.49, Ba a=5.02, Fe a=2.87, V a=3.03, Cr a=2.88, Ta a=3.30, W a

12、=3.16, (單位1010 m).03固態(tài)電子論A(1)第31頁第31頁 2. 剛性原子密堆積排列： 表面原子這種排列能夠用二維六角點陣表述。 .03固態(tài)電子論A(1)第32頁第32頁 三維情況有兩種方式：按ABABAB 規(guī)律層狀排列，形成六角（ hexagonal close-packed, hcp ）密堆積： hcp結構中原子配位數(shù)是多少？它是點陣么？.03固態(tài)電子論A(1)第33頁第33頁 hcp配位數(shù)是12.03固態(tài)電子論A(1)第34頁第34頁含有密堆六方點陣排列元素晶體有： Be,Mg,Zn,Cd,Gd,Tb,Dy,Ho,Er,Tm,等化合物晶體也諸多。晶體 c/a Be 1.6

13、33 Mg 1.623 Zn 1.861 Cd 1.886 Co 1.622 Lu 1.586 Gd 1.592.03固態(tài)電子論A(1)第35頁第35頁按ABCABC 規(guī)律層狀排列，形成面心立方（face-centered cubic, fcc）堆積：立方密堆積.03固態(tài)電子論A(1)第36頁第36頁.03固態(tài)電子論A(1)第37頁第37頁.03固態(tài)電子論A(1)第38頁第38頁.03固態(tài)電子論A(1)第39頁第39頁fcc配位數(shù)為12按ABCABC規(guī)律層狀排列構成面心立方點陣含有面心立方點陣結構元素晶體諸多，有：Cu,Ag,Au,Al,Ca,Pb,Pt, 金剛石,Si,Ge,Sn等。化合物晶

14、體也諸多，代表性有：堿金屬和鹵族元素化合物，如NaCl ， KBr 等. .03固態(tài)電子論A(1)第40頁第40頁它不是點陣！它是面心立方點陣.03固態(tài)電子論A(1)第41頁第41頁.03固態(tài)電子論A(1)第42頁第42頁.03固態(tài)電子論A(1)第43頁第43頁NaCl結構中原子排列.03固態(tài)電子論A(1)第44頁第44頁NaCl結構CsCl結構.03固態(tài)電子論A(1)第45頁第45頁見 kittel p15.03固態(tài)電子論A(1)第46頁第46頁.03固態(tài)電子論A(1)第47頁第47頁abca3a2a10fcc：abca1a2a30bcc：六. 體心和面心立方點陣基矢和原胞.03固態(tài)電子論A

15、(1)第48頁第48頁體心立方基矢和維格納賽茨原胞，后者是截角八面體，或者說是一個十四周體。.03固態(tài)電子論A(1)第49頁第49頁面心立方點陣基矢和原胞及維格納賽茨原胞，后者是一個正十二面體。.03固態(tài)電子論A(1)第50頁第50頁 習 題1.1 假如將等體積球分別排成下列結構，求證鋼球 所占體積與總體積之比為： 簡立方：0.52；體心立方：0.68； 面心立方：0.74； 1.2 寫出體心立方和面心立方晶格結構金屬中，最近 鄰和次近鄰原子數(shù),若立方邊長為a,寫出最近鄰和 次近鄰原子間距。.03固態(tài)電子論A(1)第51頁第51頁.03固態(tài)電子論A(1)第52頁第52頁 一. 對稱性概念 二.

16、 晶體中允許對稱操作 三. 晶體宏觀對稱性表述：點群 四. 七個晶系和14種晶體點陣 五. 晶體微觀對稱性：空間群 六. 點群對稱性和晶體物理性質 除去晶體點陣外，晶體結構還能夠用什么樣 語言以便地描述?1.2 對稱性和布拉維格子分類.03固態(tài)電子論A(1)第53頁第53頁對稱操作：維持整個物體不變而進行操作稱作對稱操作。即：操作前后物體任意兩點間距離保持不變操作。點對稱操作：在對稱操作過程中至少有一點保持不動操作。有限大小物體，只能有點對稱操作。對稱元素：對稱操作過程中保持不變幾何要素： 點，反演中心；線，旋轉軸；面，反應面等。對稱性概念： 一個物體（或圖形）含有對稱性，是指該物體（或圖形）

17、是由兩個或兩個以上部分構成，通過一定空間操作（線性變換），各部分調換位置之后整個物體（或圖形）保持不變性質。.03固態(tài)電子論A(1)第54頁第54頁一些圖形對稱操作：如何科學地概括和區(qū)別四種圖形對稱性？從旋轉來看，圓形對繞中心任何旋轉都是不變；正方形只能旋轉 才保持不變；后2個圖形只有 旋轉。圓形任始終徑都是對稱線；正方形只有4條連線是對稱線；等腰梯形只有兩底中心連線是對稱線。.03固態(tài)電子論A(1)第55頁第55頁 以上，考察在一定幾何變換之下物體不變性，使用幾何變換（旋轉和反射）都是正交變換保持兩點距離不變變換： 其中 Aij 為正交矩陣從解析幾何知道，符合正交變換是：繞固定軸轉動(Rot

18、ation about an axis) 繞 z 軸旋轉角數(shù)學上能夠寫作：.03固態(tài)電子論A(1)第56頁第56頁反演：（Inversion )反應（Reflection )恒等操作（Z=0 平面）表示對稱操作符號有兩種，這里用是國際符號。.03固態(tài)電子論A(1)第57頁第57頁 假如，一個物體在某一正交變換下保持不變，我們就稱這個變換為物體一個對稱操作。一個物體也許對稱操作越多，它對稱性就越高。立方體含有較高對稱性，它有48個對稱 操作：繞 4 條體對角線能夠旋轉 共8個對稱操作；繞 3 個立方邊能夠旋 轉 共9個對稱操作；繞 6 條棱對角線能夠轉動，共 6 個對稱操作；加上恒等操作共24個

19、。立方體體心為中心反演，因此以上每一個操作加上中心反演后，仍為對稱操作，因此立方體共有48個對稱操作。.03固態(tài)電子論A(1)第58頁第58頁 通過仔細分析可知正四周體允許對稱操作只有24個；正六角拄對稱操作也只有24個，它們都沒有立方體對稱性高。請思考它們對稱操作？.03固態(tài)電子論A(1)第59頁第59頁數(shù)學上看，群代表一組元素集合 G=E,A,B,C,D, 這些元素被賦予一定乘法法則，滿足下列性質： 若A,BG 則 ABC G, 這是群閉合性。 存在單位元素E,使所有元素滿足： AE=A 任意元素A，存在逆元素：AA-1=E 元素間滿足結合律：A(BC)=(AB)C對稱操作群： 一個物體所

20、有對稱操作集合，構成對稱操作群。描述物體對稱性需要找出物體所有對稱操作，也就是找出它所含有對稱操作群。 一個物體所有對稱操作集合，也滿足上述群定義，運算法則是連續(xù)操作，不動操作是單位元素。.03固態(tài)電子論A(1)第60頁第60頁注意： 在闡明一個物體對稱性時，為了簡便，有 時不去一一列舉所有對稱操作，而是指出它對稱元素，若一個物體繞某一個轉軸轉 以及它倍數(shù)物體保持不變時，便稱作 n 重旋轉軸，記做 n ；若一個物體繞某一轉軸轉 再作反演以及轉動它倍數(shù)再作反演物體保持不變時，該軸稱作 n 重旋轉反演軸,記做 。立方體對稱元素有：正四周體對稱元素只有： 卻沒有顯然，列舉出一個物體對稱元素和說出它對

21、稱操作同樣，都能夠表明出物體對稱特點。.03固態(tài)電子論A(1)第61頁第61頁二. 晶體中允許對稱操作： 人們早就指出，晶體外形（宏觀）對稱性是其原子做周期性排列結果。原子排列周期性用晶體點陣表示，晶體本身對稱操作后不變，其晶體點陣在對稱操作后也應當保持不變，這就限制了晶體所也許有點對稱操作數(shù)目，能夠證實：無論任何晶體，它宏觀對稱元素最多只也許有10種（一說8種）對稱元素： 闡明： 是反應面 m，而 不是獨立。8種說法指：對稱操作符號，除去以上使用國際符號外，還通常使用熊夫利符號。 .03固態(tài)電子論A(1)第62頁第62頁.03固態(tài)電子論A(1)第63頁第63頁旋轉反演軸對稱操作：1次反軸為對

22、稱中心；2次反軸為對稱面；3次反軸為3次軸加反演對稱中心.03固態(tài)電子論A(1)第64頁第64頁旋轉反演軸對稱操作：6次反軸為3次軸加對稱面；4次反軸能夠獨立存在。.03固態(tài)電子論A(1)第65頁第65頁見黃昆書30頁晶體中只有 2，3，4，6 次旋轉軸，沒有 5次軸和不小于 6 次以上軸，能夠直觀從只有正方形、長方形、正三角形、正六邊形能夠重復充斥平面，而 5 邊形和 n (6)邊形不能充斥平面空間來直觀理解。因此固體中不也許存在 5 次軸曾是大家共識，然而1984年美國科學家Shechtman在急冷鋁錳合金中發(fā)覺了晶體學中禁戒 20 面體含有 5 次對稱性，這是對老式晶體觀念一次沖擊。.0

23、3固態(tài)電子論A(1)第66頁第66頁20面體對稱性.03固態(tài)電子論A(1)第67頁第67頁黃昆書47頁 當前普遍結識是：晶體必要條件是其構成原子長程有序，而不是平移對稱性，含有 5 次對稱性準晶體（Quasicrystal）就是屬于原子有嚴格位置有序，而無平移對稱性晶體。它圖像可從二維Penrose拼圖中得到理解。實際是一個準周期結構，是介于周期晶體和非晶玻璃之間一個新物質形態(tài)準晶態(tài) 。 見馮端書p72 是黃金比值.03固態(tài)電子論A(1)第68頁第68頁Roger Penrose.03固態(tài)電子論A(1)第69頁第69頁三. 晶體宏觀對稱性表述：點群： 晶體中只有 8 種獨立對稱元素： C1 (

24、1)、C2 (2)、C3 (3)、C4 (4)、C6 (6)、Ci (i)、(m)和 實際晶體對稱性就是由以上八種獨立點對稱元素各種可能組合之一，由對稱元素組合成對稱操作群時，對稱軸之間夾角、對稱軸數(shù)目，都會受到嚴格限制，比如，若有兩個2重軸，它們之間夾角只可能是 ，能夠證實總共只能有32種不同組合方式，稱為 32 種點群。形形色色晶體就宏觀對稱性而言，總共只有這 32 種類型，每種晶體一定屬于這 32 種點群之一，這是對晶體按對稱性特點進行第一步分類。 .03固態(tài)電子論A(1)第70頁第70頁7 種晶系和14種布拉菲格子： 1.1 中我們討論了晶體周期性，現(xiàn)在我們又分析了晶體宏觀對稱性，它們

25、是晶體中原子有序排列所反應互相聯(lián)系、互相制約兩個側面。任何晶體都含有晶體點陣所代表基本周期性，由此我們導出了晶體宏觀對稱性所含有 32 種點群類型?，F(xiàn)在我們反過來提出問題，晶體假如含有某種宏觀對稱，它應當含有如何點陣？也就是說假如要求一個晶體 點陣陣矢 要含有某一點群 對稱性，它基矢 應當滿足如何要求？.03固態(tài)電子論A(1)第71頁第71頁 首先經過度析發(fā)覺，一些不同點群之間，有一些相同特性，比如：3 種四周體群和 2 種八面體群都含有 4 個 3 重軸，能夠把它們歸為一個晶系，包含上述 5 個點群。依次類推，能夠依據(jù)一些特性對稱元素，把32 種點群歸并為 7個晶系。這是對晶體對稱性更概括分

26、類。 對應于這 7個晶系點陣及選擇出點陣原胞（經過對晶軸相對取向選擇）也應該表達這些晶系對稱性，我們稱之為慣用晶胞。它們都是簡樸格子，比如簡立方格子包含 4個 3重軸和 3個 4次軸，能夠代表立方晶系晶胞等，如此我們得到 7個晶系名稱及其對晶胞要求。.03固態(tài)電子論A(1)第72頁第72頁三斜晶系 Triclinic 除了1次軸或中心反演外無其它對稱元素單斜晶系 Monoclinic 最高對稱元素是一個2次軸或鏡面正交晶系 Orthorhombic 最高對稱元素是2個以上2次軸或鏡面4. 四方晶系 Tetragonal 最高對稱元素是一個4次軸或一個4次反軸立方晶系 Cubic 含有 4 個3

27、次軸三方晶系 Trigonal (菱方晶系 Rhombohedral) 最高對稱含有唯一3次軸或3次反軸六方晶系 Hexagonal 最高對稱含有唯一6次軸或6次反軸.03固態(tài)電子論A(1)第73頁第73頁14 種 Bravais 格子： 依據(jù)晶體對稱性特性，我們已經將晶體劃分成七個晶系，每個晶系都有一個能反應其對稱性特性晶胞，每個晶胞端點安放一個陣點，就是一個晶體點陣原胞，共形成 7 種點陣?，F(xiàn)在考慮在原胞體心、面心和單面心上增加陣點可能，新圖像必須符合平移對稱性和晶系對稱性要求，且又不同于上述 7 種簡樸點陣，結果又給出 7 種新點陣類型，因此既能反應平移對稱性又能反應所屬晶系對稱性特性晶

28、體點陣共有14種，它們慣用晶胞以下頁所表示：P：簡樸格子；C：底心格子；I：體心格子； F：面心格子，三方晶系菱形原胞用 R 表示。.03固態(tài)電子論A(1)第74頁第74頁.03固態(tài)電子論A(1)第75頁第75頁.03固態(tài)電子論A(1)第76頁第76頁The 7 lattice systemsThe 14 Bravais latticestriclinicP monoclinicPC orthorhombicPCIF .03固態(tài)電子論A(1)第77頁第77頁tetragonalPI rhombohedralP hexagonalP cubicP I (bcc)F (fcc) .03固態(tài)電子論A

29、(1)第78頁第78頁 任何一個晶體，相應晶格都是14種點陣中一個，指出晶體所屬點陣類型不但表征了晶體晶格周期性類型，并且也能從它所屬晶系理解到該晶體宏觀對稱所含有基本對稱性。但完整地闡明晶體結構，除去需要擬定其點陣類型外，還要知道基元中原子種類、數(shù)量、相對取向及位置，繪出帶有基元內容點陣慣用晶胞。但是一些比較簡樸晶體，在擬定出它點陣類型和晶胞參量后就已經能夠完全掌握它結構了，比如：Cu; Si；NaCl; CsCl; ZnS等。.03固態(tài)電子論A(1)第79頁第79頁 14 種晶體點陣各有它們自己慣用晶胞，同樣也能夠選出它們各自原胞和基矢，每一個點陣都能夠用其基矢表示點陣矢量來表示：每一個點

30、陣所有平移矢量之和構成平移操作群。因此晶體共有14個平移操作群。使晶體復原所有轉動、平移操作群集合構成空間群。.03固態(tài)電子論A(1)第80頁第80頁五. 晶體微觀對稱性：空間群（space group） 晶體微觀結構必須考慮與平移相關對稱元素：1. 平移操作與平移軸。2. 螺旋旋轉與螺旋軸。3.滑移反應與滑移面 32種點群，再加上這3類也許操作就能夠導出230種空間群。.03固態(tài)電子論A(1)第81頁第81頁 空間群是對晶體對稱性更細致分類，反應了晶體中各原子位置及環(huán)境特點，對于進一步分析晶體性質，非常主要。 所有晶體結構，就它對稱性而言，共有230種類型，這是理論上分析結果，至當前為止，尚

31、有幾十種空間群尚未找到詳細晶體例子。 除了普通三個空間維度（即位置坐標）外，還也許要考慮另一個含有不連續(xù)維度，比如原子自旋上下，這時該空間對稱群被叫做色群，理論分析應當有1651種類型。（見馮端書p51-52) .03固態(tài)電子論A(1)第82頁第82頁.03固態(tài)電子論A(1)第83頁第83頁六. 點群對稱性和晶體物理性質： 物體物理性質，常通過兩個物理量之間關系來定義，比如下列關系分別給出密度、電導率和介電常數(shù)：晶體諸多物理性質是各向異性，均依賴于測量方向，數(shù)學上表示為張量：Neumann定理：晶體任一宏觀物理性質一定含有它所屬點群一切對稱性。因而點群對稱性將會大大減少獨立張量元數(shù)目。通常，能

32、夠通過選擇坐標軸為主軸，使張量對角化來達到。比如選擇6重軸為z軸話，6角晶系晶體介電常數(shù)能夠用 表示。立方晶系只需要一個參量 表示。（見習題）.03固態(tài)電子論A(1)第84頁第84頁.03固態(tài)電子論A(1)第85頁第85頁 一. 晶體結構表示辦法 二. 晶向、晶面和它們標志 三. 晶面間距 四. 典型晶體結構 五. 多晶型現(xiàn)象和結構相變1.3 幾種常見晶體結構.03固態(tài)電子論A(1)第86頁第86頁晶體結構表示方法 指出晶體所屬點陣、晶系、點群和空間群類型是在不同層次上對晶體結構做描述。 以NaCl為例說明。 面心立方點陣說明了它屬于立方晶系，能夠用 a=b=c, =90面心立方晶胞表示其 原

33、子周期排列特點。 點群為Oh ，說明了它外形含有宏觀對稱性。 空間群為Oh5-Fm3m ,指出了它原子排列規(guī)律。 至此我們才干夠說對NaCl晶體幾何結構特點有了比較充分認識。.03固態(tài)電子論A(1)第87頁第87頁對晶體結構幾何特性理解歸結為繪出它結晶學晶胞（包括基元中原子種類、數(shù)量、相對取向及位置點陣慣用原胞），定出所有原子位置，并擬定出它晶胞參量： a,b,c 和, 通過X光衍射等試驗辦法即能夠做到這些。 對 NaCl 晶體結構測定，使我們得到了右面反應其完整結構晶胞圖（測定原理見1.5節(jié)）Cl-1Na+1a=5.628zyx.03固態(tài)電子論A(1)第88頁第88頁NaCl結構中原子排列.

34、03固態(tài)電子論A(1)第89頁第89頁NaCl晶體為八面體群說明：Oh, 它每個原子都處于不同原子組成8面體體心位置。考慮它晶場時就要注意到這個特點。點群對稱操作：體對角線是3重軸；3 條棱邊是4重軸；棱對角線是2重軸，體心是反演中心。 .03固態(tài)電子論A(1)第90頁第90頁 原子位置表示：繪制晶胞時需要明確指出基元中各原子位置?；械?j 個原子中心位置相對于作為坐標原點格點位置能夠表示為：假如以晶胞各邊長度做單位，NaCl中，Cl原子位置為： Na原子位置為：CsCl晶體為簡立方晶胞， Cs原子在 000， Cl原子在 。xyz.03固態(tài)電子論A(1)第91頁第91頁簡樸晶格和復式晶格

35、： 許多元素晶體，其最小重復單元就是一個原子，知道了它點陣類型，把陣點換成原子，就是它晶胞，我們常稱它含有簡樸晶格。比如：含有體心立方結構堿金屬Li、Na、K，和含有面心立方結構Cu，Ag，Au晶體都是簡樸晶格。簡樸晶格晶體中所有原子是完全等價，它們不但化學性質相同并且在晶格中處于完全相同位置，有完全相同環(huán)境，比如近鄰、次近鄰原子數(shù)目、原子種類等。.03固態(tài)電子論A(1)第92頁第92頁 但有些元素晶體和全部化合物晶體，其最小重復單位（基元）最少包含 2個或 2 個以上原子，它們每一個原子即使都組成一樣點陣類型（即一樣周期排列方式），但繪成晶胞時，要繪出基元原子之間位置上相互關系，因此是一樣點

36、陣類型疊加，我們稱這些晶體含有復式晶格。比如：CsCl晶體是兩個原子各自組成簡立方點陣后，沿晶胞對角線方向移動二分之一距離疊加。 NaCl晶體是兩個原子各自形成一個面心立方點陣后，沿立方邊方向移動二分之一晶胞邊長距離疊加。 上述復式晶格中，每種原子本身是等價，有完全相同環(huán)境，但兩類原子是不等價，它們幾何環(huán)境是完全不同。.03固態(tài)電子論A(1)第93頁第93頁 CsCl晶體中，Cs離子最近鄰是 8個Cl離子，而Cl離子最近鄰則是 8個Cs離子，NaCl晶體中，Na離子最近鄰是 6個Cl離子，Cl離子最近鄰則是 6個Na離子。元素晶體也不都是簡樸晶格，比如密堆六方（hcp）晶體Be，Mg，Zn，G

37、d等，它基元包含 2個原子，雖是同種原子，但它們幾何環(huán)境是不等價，從一個A層原子看上下兩層原子三角形，和從一個B層原子看上下兩層原子三角形是不同。它是復式晶格，它基元有2個原子。A層A層B層.03固態(tài)電子論A(1)第94頁第94頁 晶體Cu,Al,Au,AgNaCl,MgO金剛石型Si,Ge,閃鋅礦立方ZnS點陣類型 fcc fcc fcc fcc點群類型 Oh Oh Oh Td 空間群其它符號 A1 B1 A4 B3幾種立方晶系晶體結構表示.03固態(tài)電子論A(1)第95頁第95頁 二. 晶向、晶面和它們標志： 晶體一個基本特點是各向異性，沿晶格不同方向晶體性質不同，因此有必要識別和標志晶格中

38、不同方向。 點陣格點能夠分列在一系列平行直線系上，這些直線系稱作晶列。同一點陣能夠形成不同晶列，每一個晶列定義一個方向，稱作晶向。假如從一個陣點到最近一個陣點位移矢量為：(以基矢為單位）則晶向就用 來標志。.03固態(tài)電子論A(1)第96頁第96頁按照上述辦法擬定簡立方晶格晶向如圖所表示，晶向指數(shù)和坐標系選取相關，OA反方向記做 ，由于立方晶格對稱性，沿立方邊6個晶向是等價，記做：同樣，代表了8個體對角線 晶向。 .03固態(tài)電子論A(1)第97頁第97頁.03固態(tài)電子論A(1)第98頁第98頁 晶體點陣所有格點也能夠當作是排列在一系列互相平行、等間距平面系上，這些平面叫晶面，很明顯，對每個晶面系

39、來說，格點在各晶面中分布是相同；一個晶面系必須包括所有格點，晶格中能夠有諸多個（嚴格說是無窮個）晶面系。以后討論晶體性質時常要指出詳細晶面，因此需要擬定晶面系名稱晶面指數(shù)。晶面指數(shù)普通擬定辦法： 在一組互相平行晶面中任選一個晶面，量出它在三個坐標 軸上截距并用點陣周期a,b,c為單位來量度；2. 寫出三個截距倒數(shù)，和一個坐標軸平行、截距為時，倒 數(shù)記做零；3. 將三個倒數(shù)分別乘以分母最小公倍數(shù)，把它們化為三個簡 單整數(shù)，并用圓括號括起，即為該組平面系晶面指數(shù)。這種辦法定義出晶面指數(shù)也叫 “密勒（Miller）指數(shù)”。.03固態(tài)電子論A(1)第99頁第99頁簡立方點陣兩個方向上點陣平面系， 見A

40、shcroft p90.03固態(tài)電子論A(1)第100頁第100頁晶面指數(shù)簡易求法： 在一平面族中，取一個但是原點平面，它在三個坐標軸上截距分別為x1、x2和 x3 其中h、k、l為互質整數(shù)，則定義該晶 面面指數(shù)為（hkl）。等效晶面：hkl取它們倒數(shù)之比：.03固態(tài)電子論A(1)第101頁第101頁比如：(1) 以O為原點直角坐標系OX、OY、OZ（選擇晶面與坐標原點O不能有交點） (2) 以一個晶格常數(shù)a為度量單位求出該晶面與坐標軸截距（m1，n1/2，p1/2）。(3) 取截距倒數(shù)（1/m1，1/n2，1/p2），化簡成最小整數(shù)放入（hkl）內，晶面指數(shù)為（122） .03固態(tài)電子論A(

41、1)第102頁第102頁下圖標出了簡立方點陣幾組最主要晶面系晶面指數(shù)和晶向指數(shù)。從中能夠明顯看出晶面指數(shù)最簡樸晶面族面間距最大，它們也是以后經常討論到最主要晶面。.03固態(tài)電子論A(1)第103頁第103頁 六角晶系晶面指數(shù)表示與其它晶系不同，晶體學中往往采取四軸定向方法，這么晶面指數(shù)能夠顯著地顯示出 6 次對稱特點。.03固態(tài)電子論A(1)第104頁第104頁晶面指數(shù)小結（1）一個晶面指數(shù)代表空間互相平行一組晶面，將晶面指數(shù)各乘以-1表示同一晶面。 表示同一晶面。（2）晶面空間方位不同，但原子排列規(guī)律相同屬于同一晶面族用hkl表示。 100（100）+（010）+（001） （3）能夠證實，

42、如此擬定晶面指數(shù)晶面法線方向和三個坐標軸夾角方向余弦之比。.03固態(tài)電子論A(1)第105頁第105頁注意：晶向和晶面指數(shù)定義都涉及到坐標軸選取，或者選點陣原胞基矢a1a2a3,或者選慣用晶胞三個邊abc，當兩者不一致時，比如體心立方和面心立方情形，用兩個坐標系定義出晶向和晶面指數(shù)是不一致，使用時必須注意到它們差別。多數(shù)情況下，我們習慣使用慣用晶胞a,b,c做單位進行標注。 由上述辦法定義晶向和晶面指數(shù)有主要意義： 1. 晶軸方向是最主要方向，晶向指數(shù)最簡樸； 2. 晶面指數(shù)最簡樸晶面族，晶面間距最大。.03固態(tài)電子論A(1)第106頁第106頁 三. 晶面間距：晶面間距是指兩個相鄰平行晶面間

43、垂直距離。以米勒指數(shù)表示晶面間距在晶體結構測定中是一個很慣用參數(shù)，必須掌握。能夠證實：（見習題）立方晶系：四方晶系：a = b= c六角晶系：正交晶系：.03固態(tài)電子論A(1)第107頁第107頁四. 典型晶體結構 在晶體結構匯報中常按照化合物中各類原子種類與數(shù)目參考晶體化學性質進行分類，并用英文字母命名，科學文獻中也常使用這種分類，簡介下列： A 代表元素晶體。 A1 面心立方結構（Cu)， A2 為體心立方（W） A3 密堆六方結構（Mg) A4 金鋼石結構 B 代表AB型化合物， B1 NaCl型結構； B2 CsCl型結構； B3 閃鋅礦型結構；B4 纖鋅礦型結構 ； C 代表AB2型

44、化合物 C1 螢石及反螢石結構（CaF2) C2 黃鐵礦 FeS2 C3 赤銅礦（Cu2O) 其中每一小類都代表著許多結構基元排列相同、空間群相同晶體。我們簡介其中經常提到和最主要幾類：.03固態(tài)電子論A(1)第108頁第108頁以元素晶體Cu為代表晶體，含有面心立方點陣（fcc)，其晶胞內原子坐標為：點群符號為：空間群符號：原子最近鄰 12 ，次近鄰 6 。 相同結構元素晶體尚有：Ag,Au,Ni,Al,Pb,Pd,Pt, 及固態(tài)稀有氣體Ne,Ar,Kr,Xe. A1 .03固態(tài)電子論A(1)第109頁第109頁A2： 以金屬鎢為代表元素晶體，體心立方點陣 bcc, 其原子坐標為： 點群符號

45、為： 空間群符號為： 最近鄰為 8，次近鄰為 6 相同結構元素晶體有：堿金屬Li,Na,K,Rb,Cs, 及金屬Ba,V,Cr,Nb,Mo,Ta,W,Fe 等.03固態(tài)電子論A(1)第110頁第110頁A3：以金屬Be為代表密堆六方結構hcp。慣用晶胞.03固態(tài)電子論A(1)第111頁第111頁hcp 結構原胞中原子坐標：點群符號：空間群符號：hcp抱負密排比是：最近鄰12，但 6個近鄰稍近一點，6個稍遠。含有hcp結構元素晶體有：Be,Mg,Sc,Y,Ti,Zr,Zn,Cd 和大多數(shù)稀土金屬Gd,Tb,Dy,Ho,Er,Tm,Lu.03固態(tài)電子論A(1)第112頁第112頁A4：金剛石結構（Diamond).03固態(tài)電子論A(1)第113頁第113頁金剛石晶胞中原子位置, 有兩種不同晶格位置。即基元包括2個原子，各自形成面心立方點陣，沿體對角線移動四分之一疊加而成。但每個原子都處于同種原子四周體中，因此含有這種結構晶體，其原子是共價鍵結合。Kittel p13.03固態(tài)電子論A(1)第114頁第114頁金剛石結構點群符號： 空間群符號：含有相同結構元素晶體有：C:a=3.567 Si:a=5.430; Ge