《不等式的證明》教學(xué)案

1、PAGE6不等式的證明1不等式證明的常用方法1比較法：比較法是證明不等式的一種最基本的方法，也是一種常用方法，基本不等式就是用比較法證得的比較法有差值、比值兩種形式，但比值法必須考慮正負(fù)比較法證明不等式的步驟：作差商、變形、判斷符號其中的變形主要方法是分解因式、配方，判斷過程必須詳細(xì)敘述2綜合法：綜合法就是從題設(shè)條件和已經(jīng)證明過的基本不等式出發(fā)，不斷用必要條件替換前面的不等式，直到推出要證明的結(jié)論，即為“由因?qū)Ч?，在使用綜合法證明不等式時，常常用到基本不等式3分析法：分析法就是從所要證明的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件替換前面的不等式，直至推出顯然成立的不等式，即為“執(zhí)果索因”2不等式證明的其

2、他方法和技巧1反證法從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實(shí)結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定結(jié)論是正確的證明方法2放縮法欲證AB，可通過適當(dāng)放大或縮小，借助一個或多個中間量，使得AC1C2CnB，利用傳遞性達(dá)到證明的目的3數(shù)學(xué)歸納法題型1用比較法證明不等式例1求證：a2b2abab1證明：a2b2abab1a2b2abab1eqf1,22a22b22ab2a2b2eqf1,2a22abb2a22a1b22b1eqf1,2ab2a12b120a2b2abab1變式：已知a0，b0，求證：eqfa,rbeqfb,raeqraeqrb證明：證法1eqblcrcavs4alco1fa,rbfb,rae

3、qraeqrbeqblcrcavs4alco1fa,rbrbeqblcrcavs4alco1fb,raraeqfab,rbeqfba,raeqf（ab）（rarb）,rabeqf（rarb）（rarb）2,rab0，原不等式成立證法2由于eqfblcavs4alco1fa,rbfb,ra,rarbeqfarabrb,rab（rarb）eqf（rarb）（arabb）,rab（rarb）eqfab,rab1eqf2rab,rab11又a0，b0，eqrab0，eqfa,rbeqfb,raeqraeqrb題型2用分析法、綜合法證明不等式例2已知、y、均為正數(shù)，求證：eqf,yeqfy,eqf,ye

4、qf1,eqf1,yeqf1,證明：證法1：綜合法因?yàn)?、y、都是正數(shù)，所以eqf,yeqfy,eqf1,eqblcrcavs4alco1f,yfy,eqf2,同理可得eqfy,eqf,yeqf2,，eqf,yeqf,yeqf2,y將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2，得eqf,yeqfy,eqf,yeqf1,eqf1,yeqf1,證法2：分析法因?yàn)?、y、均為正數(shù)，要證eqf,yeqfy,eqf,yeqf1,eqf1,yeqf1,只要證eqf2y22,yeqfyy,y，只要證2y22yy，只要證y2y220，而y2y220顯然成立，所以原不等式成立eqavs4al變式訓(xùn)練已知a0，求證：eqr

5、a2f1,a2eqr2aeqf1,a2證明：要證eqra2f1,a2eqr2aeqf1,a2，只需證eqra2f1,a22aeqf1,aeqr2，只需證a2eqf1,a244eqra2f1,a2a2eqf1,a222eqr2eqblcrcavs4alco1af1,a2，即證2eqra2f1,a2eqr2eqblcrcavs4alco1af1,a，只需證4eqblcrcavs4alco1a2f1,a22eqblcrcavs4alco1a2f1,a22，即證a2eqf1,a22，此式顯然成立原不等式成立題型3均值不等式與柯西不等式的應(yīng)用例3求證：eqrfa2b2c2,3eqfabc,3證明：121

6、212a2b2c2abc2，eqfa2b2c2,3eqf（abc）2,9，即eqrfa2b2c2,3eqfabc,3eqavs4al變式訓(xùn)練若實(shí)數(shù)、y、滿足2y3aa為常數(shù)，求2y22的最小值解：1222322y222y32a2，即142y22a2，2y22eqfa2,14，即2y22的最小值為eqfa2,14變式用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n是不小于5的自然數(shù)時，總有2nn2成立證明：1當(dāng)n5時，2552，結(jié)論成立2假設(shè)當(dāng)nN，5時，結(jié)論成立，即有22，那么當(dāng)n1時，左邊21222212221121eqr21eqr212右邊也就是說，當(dāng)n1時，結(jié)論成立由1、2可知，不等式2nn2對nN，n5時恒成立

7、例4求函數(shù)yeqr1eqr42的最大值解：y2eqr1eqr2eqr2212eqr221233，y3，當(dāng)且僅當(dāng)eqf1,r1eqfr2,r2時取“”號，即當(dāng)0時，yma3變式2022湖南改編設(shè)、yR，求eqblcrcavs4alco12f1,y2eqblcrcavs4alco1f1,24y2的最小值解：由柯西不等式，得eqblcrcavs4alco12f1,y2eqblcrcavs4alco1f1,24y21229eqblcrcavs4alco12f1,y2eqblcrcavs4alco1f1,24y2的最小值為9、b、m、n均為正數(shù)，且ab1，mn2，求ambnbman的最小值解：利用柯西不

8、等式求解，ambnanbmeqramaneqrbnbm2mnab2212，且僅當(dāng)eqfam,aneqfbn,bmmn時取最小值222022湖北設(shè)、y、R，且滿足2y221，2y3eqr14，求y的值解：由柯西不等式可知2y32142y22122232，因?yàn)?y221，所以當(dāng)且僅當(dāng)eqf,1eqfy,2eqf,3時取等號此時y2，3代入2y3eqr14得eqfr14,14，即yeqf2r14,14，eqf3r14,14，所以yeqf3r14,7b0，求證：2a3b32ab2a2b證明：2a3b32ab2a2b2a32ab2a2bb32aa2b2ba2b2a2b22ababab2ab，又ab0，a

9、b0，ab0，2ab0，abab2ab0，2a3b32ab2a2b0，2a3b32ab2a2b、b、c均為正數(shù)，且abc1證明：1abbccaeqf1,3；2eqfa2,beqfb2,ceqfc2,a1證明：1由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca由題設(shè)得abc21，即a2b2c22ab2bc2ca1所以3abbcca1，即abbccaeqf1,32因?yàn)閑qfa2,bb2a，eqfb2,cc2b，eqfc2,aa2c，故eqfa2,beqfb2,ceqfc2,aabc2abc，即eqfa2,beqfb2,ceqfc2,aabc所以eqfa2,beqfb2,ceqfc2,a11算術(shù)幾何平均不等式若a1，a2，anR，n1且nN*，則eqfa1a2an,n叫做這n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，eqrn,a1a2an叫做這n個正數(shù)的幾何平均數(shù)基本不等式：eqfa1a2an,neqrn,a1a2annN*，aiR，1in2絕對值三角形不等式若a、b是實(shí)數(shù)，則|a|b|ab|a|b|推論1：|a1a2an|a1|a2|a