自動控制原理課程教案附錄1拉普拉斯變換

1、文檔編碼 : CF10I1O3A4W3 HK10A5D8M4U2 ZO7U1D8G10T10附錄 1.拉普拉斯變換附錄 1.1拉氏變換的定義f t ,它的定義域是t0,那么拉氏變換就是如下運(yùn)算式A-1 假如有一個以時間為變量的函數(shù)F s tst f t e dt式中 s 為復(fù)數(shù)；一個函數(shù)可以進(jìn)行拉氏變換的充分條件是（1）在 t 0 時,f t 0；（2）在 t 0 時的任一有限區(qū)域內(nèi),f t 是分段連續(xù)的；st（3）0 f t e dt在實(shí)際工程中,上述條件通常是中意的；式 A-1 中,F s 成為像函數(shù),f t 成為原函數(shù)；為了表述便利,通常把式 A-1 記作F s L f t 假如已知象函

2、數(shù) F s ,可用下式求出原函數(shù)1 c j stf t 2 j c j F s e ds（A-2 ）式中 c 為實(shí)數(shù),并且大于 F s 任意奇點(diǎn)的實(shí)數(shù)部分,此式稱為拉氏變換的反變換；同樣,為了表述方便,可以記作為了工程應(yīng)用便利,常把F s 和f t L1F s A-1 列f t 的對應(yīng)關(guān)系編成表格,就是一般所說的拉氏變換表；表出了最常用的幾種拉氏變換關(guān)系；一些常用函數(shù)的拉氏變換附錄 1.1.1 單位階躍函數(shù)的拉氏變換這一函數(shù)的定義為u t 00,t03-1 所示；單位階躍函數(shù)的拉氏變換0,t0它表示t時,突然作用于系統(tǒng)的一個不變的給定量或擾動量,如圖為F s 0estdt1est01Re 0,

3、因此ss在進(jìn)行這個積分時,假設(shè)s的實(shí)部比零大,即lim test0附錄 1.1.2單位脈沖函數(shù)的拉氏變換0期間內(nèi)作用的矩形波,單位脈沖函數(shù)也是作為自動把握系統(tǒng)常用的標(biāo)準(zhǔn)輸入量；它是在連續(xù)時間其幅值與作用時間的乘積等于1,如圖 3-3 所示；其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 0, 0t和tlim 01 0t其拉氏變換為L lim 00 t estdt1eslim 01est 0lim 01sslim 011s2s2L1s1.2.附錄 1.1.3單位斜坡時間函數(shù)和拋物線時間函數(shù)的拉氏變換單位斜坡時間函數(shù)為f t 0,t0t t0如圖 3-2 所示,斜坡時間函數(shù)的拉氏變換為F s 0testdttest1est01；

4、 Re 0s2 s2 s同理單位拋物線函數(shù)為其拉氏變換為F s 1, Re 0；f t 1t22s3附錄 1.1.4正弦和余弦時間函數(shù)的拉氏變換正弦函數(shù)的拉氏變換為L sintF s 0sinttestdt010ejtej testdt2j1esjdt1e sj tdt2j02j1s11j2jjss22同理求得余弦函數(shù)的拉氏變換為LcostF s 2 s2常用的拉氏變換法就（不作證明）1. 線性性質(zhì)拉氏變換也遵從線性函數(shù)的齊次性和疊加性；拉氏變換的齊次性是一個時間函數(shù)乘以常數(shù)時,其拉氏變換為該時間函數(shù)的拉氏變換乘以該常數(shù),即 L af t aF s 拉氏變換的疊加性是：如 f t 和 f 2

5、t 的拉氏變換分別是 F s 和 F s ,就有L f t f 2 F s F 2 2微分定理 原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的拉氏變換為df t L sF s f 0dt式中 f 0f t 在 t 0 時的值；同樣,可得 f t 各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換是2d f t 2L 2 s F s sf 0 f 0dt3d f t 3 2L 3 s F s s f s sf 0 f 0dtL L L L L L L LLn d f t n s F s sn1f s sn2f0L Lfn10dtn假如上列各式中全部的初始值都為零,就各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換為L f sF s 2s F s 3s F s L f L f L L L

6、L L L L LL fn n s F s 圖 1 平移函數(shù)3積分定理原函數(shù)f t 積分的拉氏變換為f t dt t0F s Lf t dtss起初始值為零時4時滯定理Lf t dtF s sT ,平移后的函數(shù)為f tT ；該函數(shù)滿如圖 A-1 所示,原函數(shù)f t 沿時間軸平移足下述條件0t0時,f t 00tT 時,f tT就平移函數(shù)的拉氏變換為L f tTf tT estdtesTF s 0這就是時滯定理；5初值定理假如原函數(shù)f t 的拉氏變換為F s ,并且 lim ssF s存在,就時間函數(shù)f t 的初值為lim t 0f t lim ssF s 表 A-1 拉普拉斯變換對比表11原函

7、數(shù)1,2,3t2t拉普拉斯函數(shù)2f t F s t1 1 t1seat1sateat1sa2tr1eatr1r1.sarsin taeat2 s2costs2 s2ntn.sn1b1abebtssa sb eatsinn tnsa22neatcosn tsasa22n2entsinn1n2n2 s2nsn12entsinn121s2tan11202 s2nsn6終值定理假如原函數(shù)f t 的拉氏變換為F s ,并且sF s 在 s平面得右半平面和虛軸上是解析的,就時間函數(shù)f t 的穩(wěn)態(tài)值可如下求得lim s 0sF s lim tf t 這確定理對于求暫態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)值是很有用的；但是,當(dāng)sF s

8、 的極點(diǎn)的實(shí)部為正或等于零時,不能應(yīng)用終值定理；這一點(diǎn)必需留意；在下面的例題中,仍要說明；例1應(yīng)用初值定理求F s fs122的原函數(shù)f t 的初始值f0和f0；1 求f0；依據(jù)初值定理0lim ssF s 得2 求f0；由于Lf0lim sss2lim ss140024sfff0ss2tsF s2將已求得的f00帶入上式得Lftss22依據(jù)初值定理得f0lim ssss22lim s11414s2 s可以校核這一結(jié)果的正確性,由LF sft得因例 2 應(yīng)用終值定理求f t5fft2te2t2 t0f0lim t 0te0lim t 0et2 te2 t15 et的終值；Fs51s s所以得也

9、可以按下式求f t 的終值lim tf tlim s 0sF slim s 0s515lim tf tlim5 t5et5沒有終值；例 3 應(yīng)用終值定理Fs2 s2原函數(shù)的終值,并用ftsint 的終值進(jìn)行校核；由于sF ss2s2有兩個極點(diǎn)在虛軸上,所以不能應(yīng)用終值定理；如用終值定理,就得lim tftlim s 0sF slim s 02 ss20這個結(jié)論是錯誤的,由于表A1得知原函數(shù)為ftsint ,該函數(shù)為周期性的簡諧振蕩函數(shù),7. 卷積和定理假如時間函數(shù)1ft 和2ft 都中意條件：當(dāng)t0時,f1tf2t0就1ft和2ft 的卷積為f1tf2ttf 1f2td0由于卷積符合交換律,卷

10、積也可寫成假如1ft 和2ff2tf 1t2tt 0f22tf 1ttdF2sLf2t；那么f 1tf2t 的f 1tfsff 1f 1,t 是可以進(jìn)行拉氏變換的,F 1Lt拉氏變換可求得如下Ltf 1f2tdF 1s F 2s0這稱為卷積定理；依據(jù)卷積符合交換律得Ltf2f 1tdF2s F 1s0因此Lf 1tf2tLf2tf 1tF 1s F2saF2s F 1s8. 位移性質(zhì)假如 LftFs ,就有F sa ,Res0L eatf t附錄 1.2拉普拉斯反變換求反變換的運(yùn)算公式是f t21jcjst F s e dsc用上式求反變換明顯是很復(fù)雜的,但是對與絕大多數(shù)把握系統(tǒng),并不需要利用

11、這一公式求解反變換,而是 依據(jù)下面的方法求反變換；在把握系統(tǒng)中,拉氏變換可以寫成以下一般形式一般 nsm ；式AF sb smb sm1z 2, b m1sb mz 稱為復(fù)變函數(shù)A3a sna sn1san1b n3可以分解為諸因式之積：K sz 1ssz mA4F ssp 1sp2sp n式中當(dāng)z 1 ,sz 2, ,sz 時,F s0；因此,z 1z 2, , F s的零點(diǎn)；當(dāng)sp 1, sp 2, , sp 時,F s,因此,p 1,p 2, ,p 稱為復(fù)變函數(shù)F s的極點(diǎn)；對于 A 4 式所示的拉氏變換,可以用部分分式開放,然后查拉氏變換表來求原函數(shù)；1. 只包含不相同極點(diǎn)時的反變換

12、f t 由于各極點(diǎn)均不相同,因此 F s 可以分解為諸分式之和A 1 A 2 A nF ss p 1 s p 2 s p n式中的 A 1 , A 2 , , A 為常數(shù),iA 稱為 s p 的留數(shù),該值可以按下式求出；A i s lim p i s p F s 即當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)求出后,可按下式求原函數(shù)F s A1 F s sLp ispiLL1 sA nnf t f t L1LsA 1p 11 sA 2p2p因L1sAp i iAeipt故得f t Aep t 1A ep t 2L LA ep t n,t0例4求以下拉氏變換得反變換2,求f t L1 F s ；（1）已知F s ss31s將F

13、s 分解為部分分式F s A 1A 2s1s2式中于是f t 2A 1ss32s1ss122,1sA 2ss32s211 sete2 t,t0（2）已知F s 3 ss4s26s5,求f t L1 F s ；1 s2因上式中得分子得冪次大于分母s 得冪次,在求其反變換前,先將分子除以分母,得F s s1ss321s對上式中得三項(xiàng)分別求拉氏反變換式中f t L1F s L1 L1 1L1 ss321 sL1 d ；te2tdt t ；L11L1ss322e1s因此得到原函數(shù)為2包含共軛復(fù)極點(diǎn)得反變換f t d 2ete2 t,t0p ,dt假如F s 有一對共軛極點(diǎn),就可利用下面得開放式簡化運(yùn)算

14、；設(shè)p 為共軛極點(diǎn),就F s A s A 2 A 3L L A n s p 1 s p 2 s p 3 s p n式中的 A 及 A 可按下式求解 F s s p 1 s p 2 s p 1 A s A 2 s p 1由于 1p是一個復(fù)數(shù)值,故等號兩邊都是復(fù)數(shù)值；使等號兩邊的實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分分別相等,得兩個方程式；聯(lián)立求解,即得到 A 及 A 兩個常數(shù)值；例5 已知 F s 2 s 1 A 0 A s2 A 2,求 f t ；s s s 1 s s s 1三個極點(diǎn)分別為s0,s 1,21j30.5j0.86622確定各部分分式得待定系數(shù)因 s12 sss1sA 0s 2 s s1s s01A

15、 2s10.50.866A 1 0.5j0.8662 s s1可得0.5j0.866A 1 0.5j0.866A 20.5j0.866即0.5j0.866A 1 0.5j0.8662A 2 0.5j0.866A 1 0.5j0.866A 2 0.5j0.866使等號兩端得實(shí)部和虛部分別相等,得0.5A 10.5A 20.50.866A 10.866A 20.866解之得A 11,A 20所以F s 1s2s11ss20.52s0.50.50.8662sss0.50.8662就f t L1 1ts0.50.52ss0.520.8662s0.520.8661e0.5cos0.866t0.57e0.

16、5 tsin0.866t ,t03包含有 r 個重極點(diǎn)時的反變換假如有 r 個重極點(diǎn),就F s 可寫為F s sK sz 1sz 2 L Lsz mp0r spr1spr2L Lspn將上式開放成部分分式在上式中,A r1,A r2F s sA 010rsA 02r1L LsA 0 r0sA r11L LsA nL LA 0 r的求法如下：pp 0pprpnL L 的運(yùn)算與在單極點(diǎn)情形下求待定系數(shù)的方法相同,而A 01,A 02A 01 sp 0rF s sp 0A 02dsp 0r F s sp 0dsL L L L L L L LA 0 i i i11.di1sp 0rF s sp 0i

17、ds1L L L L L L L LA 0rr11.drr1sp0rF s sp 0ds1就具有 r 個重極點(diǎn)的拉氏反變換為f t rA 01tr1rA 02tr2LsA 0 r2ep t 0A r1 ep r1 tLA ep t n,t01.2.例6求F s ss31的拉氏反變換A 01A 02A 032 2 s將F s 分解為部分分式F s 2s2s1上式中各項(xiàng)系數(shù)為A 01ss31s22ss221222 2 sA 02d ss31s22sds2 2 sA 03s1 ss3112 2 s于是得F s s12s22s212所以原函數(shù)為附錄 1.3f t t2e2 t2 et,t0用拉氏變換求

18、解系統(tǒng)得暫態(tài)過程上面介紹了用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程的方法,今舉例說明用這種方法求解系統(tǒng)的暫態(tài)過程；例設(shè)一線性系統(tǒng)的微分方程為5dxc6xc6 2 d x cdt2dt并設(shè)初始條件是求輸出量xc t ；x & c02,x c02系統(tǒng)微分方程的拉氏變換為2 s Xc sx c0 x &05sXc 5xc06Xc 6/s代入初始條件的值并整理得Xc s 如下方程2 s212s622 s12s6Xc 2 s s5s6s s3s2將上式開放為部分分式Xc A 0sA 13sA 22s式中A 0Xc s ss0134A 1Xc s s3sA 2Xc s2s25因此利用表A1就可求出上式的拉氏反變換為Xc 1s43s5t2scx t 14 e3 t5 e2上述解由兩部分組成,穩(wěn)態(tài)解為,暫態(tài)解為 4 e3t5 e2t；系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解也可以用終值定理求得lim tx t lim s 0sXc lim s 02 s212