關(guān)于“08高考江蘇物理第14題”的解法研究課件

1、關(guān)于“08高考江蘇物理第14題”的解法研究朱建廉南京市 金陵中學(xué) 在每一年的高考試卷中，都會(huì)有一些試題能夠分別從諸如“試題的背景過程”、“試題的模型特征”、“試題的考查功能”、“試題的表述特色”、“試題的解答方法”等方面引發(fā)一線教師們的興趣?！?8年高考江蘇物理試卷第14題”就是一道從“試題的解答方法”這一側(cè)面引起了一線教師們的極大關(guān)注的試題。本文試圖針對(duì)這一道極富特色的試題，將其中第（3）小題的相應(yīng)解答方法作出全方位的研究，期望能夠從這樣的研究工作中獲得一些啟示。 試題：在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一質(zhì)量為m、帶正電q的小球在O點(diǎn)靜止釋放，小球的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1中曲線所示。已知此曲線

2、的最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到x軸距離的2倍，重力加速度為g。求： （1）小球運(yùn)動(dòng)到任意位置P（x，y）處的速率v； （2）小球在運(yùn)動(dòng)過程中第一次下降的最大距離ym； （3）當(dāng)在上述磁場(chǎng)中加一方向豎直向上、場(chǎng)強(qiáng)大小為E（ ）的勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，小球從O點(diǎn)靜止釋放后獲得的最大速率vm。 說(shuō)明：盡管本文只著重研究第（3）小題的解法，但為維持試題表述的連續(xù)性，仍將試題完整給出。另外，為維護(hù)試題表述的嚴(yán)肅性，將試題的“場(chǎng)強(qiáng)B”、“場(chǎng)強(qiáng)E”等較為隨意的表述分別更改為“磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B”、“場(chǎng)強(qiáng)大小E”。下面針對(duì)試題第（3）小題的各種解答方法實(shí)施研究。1、以“題設(shè)條件遷移法”解答 這一方法實(shí)際上就是命題組所提供的參

3、考解答。解答中的一個(gè)關(guān)鍵步驟是將“加勻強(qiáng)電場(chǎng)前”的一個(gè)重要的題設(shè)條件直接遷移至“加勻強(qiáng)電場(chǎng)后”而協(xié)助試題的解答。故稱作“題設(shè)條件遷移法”。 將加勻強(qiáng)電場(chǎng)前小球運(yùn)動(dòng)軌跡最低點(diǎn)處的曲率半徑所具備的特征“曲線的最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到x軸距離的2倍”直接遷移，認(rèn)為加勻強(qiáng)電場(chǎng)后小球運(yùn)動(dòng)軌跡最高點(diǎn)處的曲率半徑具備著相同的特征，即（1-3）由此即可解得小球獲得的最大速率為（1-4） 分析1：這一解答方法所存在著的問題是：形如（1-3）式所給出的題設(shè)條件的直接遷移，對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)顯得過于突然。因?yàn)槿魪闹袑W(xué)生的知識(shí)局限和思維能力出發(fā)，做出如下判斷是在情理之中的： 高中生知識(shí)背景下合乎情理的判斷取電場(chǎng)力和重力的

4、合力為等效重力若等效重力與重力的大小不等則應(yīng)有：當(dāng)然，如果將試題中的另一個(gè)題設(shè)條件（1-5）改為（1-5/）則將由于加上勻強(qiáng)電場(chǎng)后小球所受到的等效重力與加上勻強(qiáng)電場(chǎng)前小球所受到的重力大小相等（1-6）這才能夠保證：按照中學(xué)生的知識(shí)局限和思維能力可以給出形如（1-3）式所示的題設(shè)條件的直接遷移表達(dá)式。2、以“二次方程判別法”解答 之所以將這一方法稱作“二次方程判別法”，是因?yàn)樵谶@一方法的解答過程中根據(jù)相應(yīng)物理規(guī)律列出了關(guān)于某一物理量的二次方程后，又充分利用了相應(yīng)的“二次方程判別式”而協(xié)助求解。 解法2（ 二次方程判別法）：取電場(chǎng)力與重力的合力為所謂的等效重力，即（2-1）在小球由靜止釋放而運(yùn)動(dòng)到

5、圖2所示的最高點(diǎn)的過程中運(yùn)用動(dòng)能定理可得（2-2）而當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到圖2所示的最高點(diǎn)處時(shí)又可根據(jù)牛頓定律得（2-3）在（2-5）式中取小球運(yùn)動(dòng)軌跡最高點(diǎn)處的曲率半徑的最小值為（2-5/）將（2-5 /）式所給出的小球運(yùn)動(dòng)軌跡最高點(diǎn)處的曲率半徑的取值代入（2-3 /）式或（2-3）式即可求得：小球獲得的最大速率為（2- 6） 分析2：這一解法看上去似乎較為簡(jiǎn)單而未超出中學(xué)生的知識(shí)背景，但若仔細(xì)斟酌便不難發(fā)現(xiàn)：形如（2-5 /）式所給出的小球運(yùn)動(dòng)軌跡最高點(diǎn)處的曲率半徑的取值其理由并不充分。若要將小球運(yùn)動(dòng)軌跡最高點(diǎn)處的曲率半徑為何必須在形如（2-5）式中取其最小值的理由闡述清楚，則必須：先將形如（2-5

6、 /）式所給出的小球運(yùn)動(dòng)軌跡最高點(diǎn)處的曲率半徑的取值代入（2-3 /）式或（2-3）式，求得小球獲的最大速率如（2-6）式所給出；然后再將形如（2-6）式所給出的小球的最大速率代入（2-2）式，求得小球運(yùn)動(dòng)軌跡最高點(diǎn)距x軸的距離為（2-7）最后對(duì)照（2-5 /）式和（2-7）式，并將“加勻強(qiáng)電場(chǎng)前”的小球運(yùn)動(dòng)軌跡最低點(diǎn)處“曲率半徑為該點(diǎn)到x軸距離的2倍”的題設(shè)條件直接遷移到“加勻強(qiáng)電場(chǎng)后”，這才將小球運(yùn)動(dòng)軌跡最高點(diǎn)處的曲率半徑為何應(yīng)在（2-5）式中取其最小值如（2-5 /）式所給出的道理說(shuō)清楚。 解法3（微分方程積分法）：由于小球在運(yùn)動(dòng)過程中受到的重力和電場(chǎng)力均為豎直方向上的恒力，所以其動(dòng)力學(xué)

7、方程在水平方向上的微分表達(dá)式應(yīng)為（3-1）考慮到小球所受到的洛侖茲力的水平分力應(yīng)為（3-2）聯(lián)立（3-1）、（3-2）兩式并作變量分離，可將小球運(yùn)動(dòng)過程中的動(dòng)力學(xué)方程的微分表達(dá)形式最終表為（3-3）隨著小球從靜止釋放直至運(yùn)動(dòng)到圖2所示的軌跡最高點(diǎn)的過程，對(duì)應(yīng)著變量和的積分域分別為（3-4）對(duì)形如（3-3）式所給出的微分方程在（3-4）式所給出的積分域內(nèi)求定積分（3-5）得（3-6）同樣考慮到洛侖茲力不做功，故將形如（1-1）式所給出的動(dòng)能定理與（3-6）式聯(lián)立，即可解得小球獲得的最大速率如（1-4）式所給出。 分析3：這一解答方法回避了形如（1-3）式所給出的題設(shè)條件的直接遷移，但所涉及到的數(shù)

8、學(xué)操作顯然又超出了對(duì)中學(xué)生的相關(guān)要求。 4、以“動(dòng)量定理累積法”解法 在這一方法的解答過程中，取各個(gè)變量對(duì)時(shí)間的平均值而代入動(dòng)量定理，把動(dòng)量定理作為牛頓運(yùn)動(dòng)定律對(duì)時(shí)間的累積規(guī)律應(yīng)用于解答過程。故稱作“動(dòng)量定理累積法”。 解法4（動(dòng)量定理累積法）：設(shè)小球由靜止釋放后經(jīng)時(shí)間t運(yùn)動(dòng)到圖2所示的軌跡最高點(diǎn)而獲得最大速率vm，并設(shè)在這一過程中小球所受到的洛侖茲力的水平分力、小球沿豎直方向的分速度等物理量對(duì)時(shí)間的平均值分別為 和，則由動(dòng)量定理可得（4-1） 其中，洛侖茲力的水平分力的對(duì)時(shí)間平均值為（4-2）而小球在這段時(shí)間內(nèi)豎直高度的改變量為（4-3）仍然考慮到洛侖茲力不做功，故將形如（1-1）式所給出的

9、動(dòng)能定理與（4-1）、（4-2）、（4-3）等式聯(lián)立，即可解得小球獲得的最大速率仍如（1-4）式所給出。 分析4：借助于動(dòng)量定理而作累積的解答方法，一方面其實(shí)質(zhì)是上述積分方法的“初等表述”，另一方面也是對(duì)未選“3-5”模塊的考生的一種極大的不公平。 解法5（運(yùn)動(dòng)等效分解法）：設(shè)在小球靜止釋放時(shí)同時(shí)具備著兩個(gè)大小均為v0、方向分別沿x軸正方向和x軸負(fù)方向的速度如圖3所示，并使與沿x軸負(fù)方向的速度所對(duì)應(yīng)的洛侖茲力與重力和電場(chǎng)力的合力平衡，即（5-1）這樣就可將小球的實(shí)際運(yùn)動(dòng)等效分解為兩個(gè)較為簡(jiǎn)單的分運(yùn)動(dòng)，即：以所假設(shè)的速度v0沿x軸負(fù)方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)；以所假設(shè)的速度v0沿逆時(shí)針方向作勻速圓周運(yùn)動(dòng)

10、。當(dāng)其中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)恰好經(jīng)歷半個(gè)周期時(shí)，對(duì)應(yīng)著小球恰好運(yùn)動(dòng)到如圖4所示的運(yùn)動(dòng)軌跡的最高點(diǎn)處，圖中相切于小球運(yùn)動(dòng)軌跡最高點(diǎn)處的兩個(gè)圓分別是：小球的一個(gè)分運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)軌跡圓（小圓）和小球運(yùn)動(dòng)軌跡最高點(diǎn)處的曲率圓（大圓）。此時(shí)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的速度v0也恰好調(diào)整為同方向，所以小球運(yùn)動(dòng)過程中所獲得的最大速率應(yīng)為 （5-2）聯(lián)立（5-1）、（5-2）兩式，即可解得小球獲得的最大速率如（1-4）式所給出。6、以“軌跡參數(shù)方程法”解答 針對(duì)問題的最為徹底的解答方法就是將小球運(yùn)動(dòng)的軌跡定量給出，而將小球運(yùn)動(dòng)的軌跡定量給出的較為便利的形式是“以運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為參量”而給出小球運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)x、y的“參數(shù)方程”。故稱作“

11、軌跡參數(shù)方程法”。 解法6（軌跡參數(shù)方程法）：為了表述方便，將圖4中的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)1800而如圖5所示，在此坐標(biāo)系內(nèi)，小球運(yùn)動(dòng)過程中沿水平方向和豎直方向上的動(dòng)力學(xué)方程的微分表達(dá)式分別為（6-2）（6-1）注意到（6-4）（6-3）由此可解得：小球運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為（6-6）（6-5）同時(shí)亦可得到小球運(yùn)動(dòng)過程中水平分速度和豎直分速度隨時(shí)間變化的函數(shù)分別為（6-8）（6-7）注：形如（6-5）（6-8）四式的獲得較繁瑣，參見附錄。而所求的小球的最大速率vm應(yīng)該為小球運(yùn)動(dòng)到圖5所示的軌跡最高點(diǎn)處時(shí)的最大水平分速度，即 （6-9）由（6-7）、（6-9）兩式即可求得小球獲得的最大速率如（1-4）式所給

12、出。 分析6：最終給出小球運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程如（6-5）、（6-6）式所示，這一解答應(yīng)該算得上對(duì)小球的運(yùn)動(dòng)情況了解得足夠充分了。但從相應(yīng)的數(shù)學(xué)操作上看，仍不適合用于考察中學(xué)生。 結(jié)論：上述各種解答方法的研究及相關(guān)分析表明：“08高考江蘇物理試卷第14題”的第（3）小題實(shí)際上不適合用于考察中學(xué)生。如欲堅(jiān)持作為考題，相應(yīng)的試題表述應(yīng)作適當(dāng)?shù)男薷?，而修改方案可以有如下三種： 方案2：在第（3）小題的表述中明確表達(dá)：形如（1-3）式的題設(shè)條件仍成立。 方案1：即如前文所提及的將形如（1-5）式的題設(shè)條件改為（1-5/）式，以保證考生能夠在（1-6）式成立的條件下順利實(shí)現(xiàn)形如（1-3）式的題設(shè)條件的遷移

13、。 方案3：將相應(yīng)的題設(shè)條件表述充分而將試題題干及第（3）小題的表述修改為 試題表述變例1：在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一質(zhì)量為m、帶正電q的小球在O點(diǎn)靜止釋放，小球的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖（與原題圖同，這里不重復(fù)給出）中曲線所示。小球由靜止釋放后其受力具備著如下特征：受到的兩個(gè)力一個(gè)是大小、方向均恒定的重力，另一個(gè)則是大小總與速率成正比、方向總與速度方向垂直的洛侖茲力。正因?yàn)樾∏蜻\(yùn)動(dòng)初狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)過程中受力具備了上述特征，所以其運(yùn)動(dòng)軌跡的最低點(diǎn)處曲率半徑恰為該點(diǎn)到x軸距離的2倍。若重力加速度大小為g，求：（前兩小題的表述略去） （3）當(dāng)在上述磁場(chǎng)中加上一個(gè)方向豎直向上、場(chǎng)強(qiáng)大小為E，（）的勻強(qiáng)

14、電場(chǎng)時(shí)，小球從O點(diǎn)靜止釋放后獲得的最大速率vm。 試題表述變例2：在場(chǎng)強(qiáng)為B的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一質(zhì)量為m、帶正電q的小球在O點(diǎn)靜止釋放，小球的運(yùn)動(dòng)曲線如圖1所示。重力加速度為g。求： （1）小球運(yùn)動(dòng)到任意位置P（x，y）處的速率v； （2）小球在運(yùn)動(dòng)過程中第一次下降的最大距離ym； （3）當(dāng)在上述磁場(chǎng)中加一豎直向上場(chǎng)強(qiáng)為E（）的勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，小 球從O點(diǎn)靜止釋放后獲得的最大速率vm。 方案4：將相應(yīng)的題設(shè)條件刪去并調(diào)整解答方法。解：（）（）于是有求和另（）等效重力同時(shí)求得于是附錄：小球運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程的導(dǎo)出過程小球運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程按如下步驟導(dǎo)出：（1）小球運(yùn)動(dòng)微分方程的建立小球運(yùn)動(dòng)過程中的動(dòng)力學(xué)方程為（1）（2）（2）小球運(yùn)動(dòng)分速度隨時(shí)間變化規(guī)律的導(dǎo)出對(duì)（2）式求微分，得（3）?。?）將（3）、（4）兩式代入（1）式并整理，得（5）（5）式所給出的二階齊次微分方程的通解為（6）（